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Programme de seconde 2009 Fonctions. 2 Un principe affirmé pour lensemble du programme Progresser dans la maîtrise du calcul algébrique sans recherche.

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1 Programme de seconde 2009 Fonctions

2 2 Un principe affirmé pour lensemble du programme Progresser dans la maîtrise du calcul algébrique sans recherche de technicité, toujours dans la perspective de résolution de problèmes ou dapprentissage de la démonstration. Les intentions du programme

3 3 Motiver lintroduction doutils par la résolution de problèmes : Problèmes se ramenant à une équation du type f(x) = k Problèmes doptimisation ou du type f(x) > k (fonction donnée ou à associer au problème) Les intentions du programme

4 4 Développer lesprit critique Distinguer un nombre de ses valeurs approchées. Distinguer la courbe représentative dune fonction des dessins obtenus à laide dun traceur de courbe ou à la main. Les intentions du programme

5 5 Donner lenvie de chercher, valoriser la prise dinitiative… Exemple: « La somme dun nombre strictement positif et de son inverse est toujours supérieure ou égale à 2 » Que pensez-vous de cette affirmation ? Argumentez En situation dévaluation: « Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans lévaluation » Les intentions du programme

6 6 tableur, traceur de courbes, logiciels de géométrie dynamique, logiciels de calcul numérique, logiciel de programmation logiciels de calcul formel. Le programme a été conçu pour être enseigné et mis en œuvre avec loutil informatique Les intentions du programme

7 7 Au collège Objectifs en classe de troisième faire émerger progressivement, sur des exemples, la notion de fonction en tant que processus faisant correspondre, à un nombre, un autre nombre ; faire apparaître les fonctions linéaires et affines comme des exemples particuliers de tels processus et synthétiser le travail conduit sur la proportionnalité dans les classes antérieures exploiter des exemples issus de situations concrètes ou de thèmes interdisciplinaires ;

8 8 Commentaires du programme de troisième Toute définition générale de la notion de fonction et la notion densemble de définition sont hors programme. La détermination dun antécédent à partir de lexpression algébrique dune fonction nest exigible que dans le cas des fonctions linéaires ou affines. Au collège

9 9 Capacités Déterminer limage dun nombre par une fonction déterminée par une courbe, un tableau de données ou une formule. Déterminer un antécédent par lecture directe dans un tableau ou sur une représentation graphique. Déterminer une fonction affine à partir de la donnée de deux nombres et de leurs images. Connaître et utiliser la relation y=ax + b entre les coordonnées ( x,y ) dun point M qui est caractéristique de son appartenance à la droite représentative de la fonction affine xax + b. Lire et interpréter graphiquement les coefficients dune fonction affine représentée par une droite. Déterminer la fonction affine associée à une droite donnée dans un repère. Au collège

10 10 Collège : quelques évaluations de ce nouveau programme Le DNB 2009 Sujet métropoleSujet métropole Exercice 3 et problème

11 11 Évaluation diagnostique septembre 2009 (1000 élèves dun district)

12 12

13 13 Réponses correctes 77,0% 75,5% 49,6% 38,4%

14 14 Seconde : programme 2009 A disparu dans le programme 2009 Valeur absolue et distance Caractérisation des fonctions affines par le fait que l'accroissement de la fonction est proportionnel à l'accroissement de la variable La représentation graphique des fonctions cosinus et sinus.

15 15 Seconde : programme 2009 Des contenus à introduire en situation Nature et écriture des nombres Ordre et intervalles Nouveau Encadrer une racine dune équation grâce à un algorithme de dichotomie. Fonctions polynômes de degré 2. Fonctions homographiques. (Identifier lensemble de définition dune fonction homographique). Un exemple : linfluence du ventlinfluence du vent

16 16 La boîte au lycée La boîte au collège Un exemple du collège au lycée

17 17 Pour fabriquer une boîte (sans couvercle), on découpe un carré de même dimension à chaque coin dune plaque de carton carrée de côté 20 cm. On veut fabriquer une boîte de volume maximal. Activité dintroduction Un problème doptimisation : le volume de la boîte Au collège : Approche de la notion de fonction x 20 cm x …….

18 18 Approche de la notion de fonction Activité dintroduction : déroulement Construction de boîtes avec différentes dimensions pour les découpes carrées et calcul des volumes. Tableau de valeurs sur tableur Représentation graphique sur tableur Volume en fonction du côté de la découpe carrée Réponse au problème posé

19 19 Registre numérique Registre algébrique x le côté de la découpe carrée V(x) le volume de la boîte V(x) = x(20 – 2x)(20 – 2x) V: x x(20 – 2x)(20 – 2x) Registre graphique

20 20 Dans une feuille de carton carrée de côté 10 cm on enlève à chaque coin un carré de côté x cm. On replie le carton suivant les pointillés montrés pour fabriquer une boîte à fond carré de hauteur x cm. 1. Calculer le volume de cette boîte pour x = 1, x = 2 et x = 3. Pour quelles valeurs x peut-on calculer ce volume ? 2. Écrire un algorithme qui permet de calculer le volume de la boîte v(x) en fonction de x. Des fonctions aux algorithmes La boîte au lycée

21 21 3. Enregistrer dans votre calculatrice l'un des programmes suivants : Texas Instruments ClrI/O Disp « Entrer un nombre entre 0 et 5 » Prompt X 4X*(X-5)^2 Y Disp Y End Casio : ClrText « Entrer un nombre entre 0 et 5 » « X » ? X 4X*(X-5)^2 Y Y Que calcule ce programme ? 5. Quel volume maximal de la boîte peut-on espérer ? 6. Comment faut-il choisir x pour obtenir ce volume maximal ? La boîte au lycée

22 22 La boîte au lycée On sintéresse cette fois à une boîte de longueur L et de largeur l. Des considérations physiques nous indiquent quil existe une valeur x pour laquelle le volume est maximal. On veut un algorithme qui restitue la valeur x si on lui donne les dimensions de la boîte et la précision voulue.

23 23 Version ALGOBOX La boîte au lycée

24 24 Version ALGOBOX

25 25 La longueur dune courbe

26 Phase 1 26

27 Phase 2 27

28 Synthèse par le professeur des deux premières phases Synthèse du travail effectué et mise en évidence des éléments importants pour la réalisation de lalgorithme (symétrie, nombre de subdivision de lintervalle [0,1]). Animation 28

29 Phase 3: Algorithme Exemple On partage le segment [0, 1] en n intervalles. En partant de lorigine et tant que lon a pas atteint le point de coordonnées (1,1), on calcule la longueur L de la ligne brisée constituée des segments dextrémités les points de la parabole dabscisses i/n. On affiche la longueur de larc de parabole sur [-1,1] qui égale à deux fois la longueur L. 29 En langage naturel

30 Phase 3: Algorithme Entrée Saisir n, nombre de subdivisions de [0,1] Traitement Affecter à Long la valeur 0. Affecter à i la valeur 0. Tant que i

31 Phase 4: traduction de lalgorithme en langage Python from math import * def distance(x1,y1,x2,y2): return sqrt((x2-x1)**2+(y2-y1)**2) n=int(input("Nombre de subdivisions de l'intervalle [0,1] ")) Long=0 i=0 while i


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