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Les contenus : quels objectifs ? Dans le domaine numérique, il sagit de 1°) consolider une connaissance des nombres les nombres entiers et leurs différentes.

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1 Les contenus : quels objectifs ? Dans le domaine numérique, il sagit de 1°) consolider une connaissance des nombres les nombres entiers et leurs différentes écritures en classe de première (systèmes de numération, décomposition en produit de nombres premiers) les nombres réels en classe terminale (caractérisation des nombres rationnels grâce à leur écriture décimale)

2 2°) Donner une familiarisation minimale avec des outils incontournables de lanalyse la dérivation en classe de première (études locale et globale) les fonctions exponentielle et logarithme en classe terminale Les contenus : quels objectifs ? Dans le domaine numérique, il sagit de

3 Les contenus : quelles différences avec le précédent programme ? 1°) Les nombres constructibles ne figurent plus dans ce programme MAIS un travail sur les nombres demeure et lapprentissage au raisonnement est très présent.

4 2°) La fonction logarithme était auparavant introduite par quadrature de lhyperbole Les fonctions exponentielles sont maintenant introduites comme prolongement « continu » de suites géométriques travaillées en programme obligatoire maths&info. Les contenus : quelles différences avec le précédent programme ?

5 Ecriture décimale des nombres Le programme propose de compléter les acquis des élèves sur les suites essentiellement dans le but de poursuivre létude des nombres ( rationnels positifs) Le document daccompagnement mentionne trois exercices commentés La banque dexercices pour la série L contient trois exercices « type » Le 7 : complet – dans lesprit du programme avec algorithme et utilisation du tableur. Le 12 et le 13 : contiennent un résultat implicite…

6 Des suites géométriques aux fonctions exponentielles Une démarche clairement exprimée dans le programme « Ce prolongement repose sur un processus dichotomique qui conserve la propriété de transformation dune moyenne arithmétique en moyenne géométrique. On obtient ainsi un nombre croissant de points suggérant la courbe dune fonction. On admet que cette fonction existe, est unique et est strictement positive »

7 Plusieurs documents proposés: ·Etude Préliminaire : suites arithmétiques suites géométriques ·Etude de la croissance dune population de bactéries ·Etude de la croissance dune population de bactéries: Activités «tableur» associées expérimentation immédiate. Des suites géométriques aux fonctions exponentielles

8 Fonctions exponentielles Stade N°1 : Compléter toute suite géométrique de premier terme 1 et de raison strictement positive q par les puissances négatives de q. (Parties A/B Etude Population) On construit ainsi une fonction définie sur Z qui transforme une somme en un produit la moyenne arithmétique en moyenne géométrique. Le processus multiplicatif est conservé

9 Fonctions exponentielles Stade N°2 : Mettre en place un processus dichotomique A chaque étape, entre deux points du nuage précédent, on ajoute un nouveau point ayant pour abscisse la moyenne arithmétique de ces deux points et pour ordonnée la moyenne géométrique de leurs ordonnées (Partie C/D)

10 Fonctions exponentielles On admettra que ce processus permet de définir, pour chaque valeur de q > 0, une fonction dérivable sur R qui transforme les sommes en produits. Partie E : Quelques résultats sur les fonctions exponentielles

11 La fonction exponentielle de base e Elle est présentée comme la fonction exponentielle dont le nombre dérivé en 0 est 1. Le nombre e est limage de 1 par cette fonction. « Faire observer, à laide dun logiciel, quentre toutes les fonctions exponentielles obtenues en faisant varier la raison, une seule semble avoir 1 pour nombre dérivé en 0. »

12 Fonction Logarithme Népérien « On pourra introduire la fonction ln : Soit comme la fonction qui à tout nombre réel strictement positif a associe lunique solution de léquation exp(x) = a. Soit comme la fonction dont la courbe représentative en repère orthonormal est limage de la courbe de exp dans la réflexion dont laxe est la droite déquation y = x. »

13 Le logarithme décimal Procéder comme pour le logarithme népérien à partir de léquation 10 x = a ou de la fonction exponentielle x 10 x « Outre son intérêt historique, qui est à souligner, le logarithme décimal est très utilisé dans des domaines variés : unités physiques relatives à la perception (décibel, savart…),pH, etc. »

14 Les nouvelles fonctions (exp, ln et log) Un volcan et un enregistrement sismique (échelle de Richter) Comprendre le problème des décibels la datation du carbone 14

15 Exercices et Problèmes Etude de situations modélisées faisant intervenir des fonctions exponentielles ou logarithmes. Les problèmes abordés sont issus de domaines divers. · Les exercices proposés ne sont pas toujours « fidèles » au programme et sont donc à adapter. · Ils sont classés dans un ordre aléatoire

16 Exercices et Problèmes Les exercices 1 – 2 – 3 – 6 peuvent se concevoir dans la continuité de la classe de 1ère Math&Info et/ou après létude de la fonction ln Les exercices 4 – 5 permettent un travail sur la fonction ln Les exercices 7 – 8 permettent un travail sur la fonction log

17 Exercices et Problèmes Les exercices 9 – 10 sont plus élaborés et se conçoivent: dans la continuité de la classe de 1ère EOC dans lesprit de la classe de Terminale Raisonnement logique : équivalence Modélisation de situations avec la fonction exponentielle de base e

18 Remarques sur les problèmes Les problèmes 1 – 3 – 5 : RAS Par contre Dans les problèmes 2 – 4 : attention aux questions sur les limites Limites de la fonction exp en + et - Limites de la fonction ln en + et en 0. Aucune définition formelle de la limite dune fonction nest à donner.


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