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1 4. La transformée en z Définition Un formalisme adapté au filtrage et à lanalyse en fréquence des signaux échantillonnés et à lautomatique numérique.

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2 1 4. La transformée en z Définition Un formalisme adapté au filtrage et à lanalyse en fréquence des signaux échantillonnés et à lautomatique numérique problèmes liés à la convergence : importance du domaine de définition en général une couronne incluant le cercle de rayon 1 1 Re(z) Im(z) t entier : pas déchantillonnage égal à 1 lien avec la transformée de Fourier x(t) signal étudié z variable complexe

3 2 Exemple convergence si 1 Re(z) Im(z) |a| 1/|b| séries géométriques (fractions rationnelles) x(t)x(t) t (entier) a et b peuvent être complexes

4 3 équivalente numérique de léquation différentielle linéraire à coefficients constant du premier ordre associée à une équation récurrente (filtrage)

5 4 exponentielle divergente si a>1 1 Re(z) Im(z) |a| oscillations à ½ fréq. déch. très amorti : a proche de zéro peu amorti a proche de 1 a négatif a > 1 Effet de la valeur de a

6 5 fractions rationnelles : pôles et zéros 1 Re(z) Im(z) |a| convergence si racines du d é nominateur et du num é rateur

7 6 équivalente numérique de léquation différentielle linéaire à coefficients constant du deuxième ordre de la forme associée à une équation récurrente (filtrage) t

8 7 Argument des pôles et fr é quence des oscillations 1 Re(z) Im(z) 1 Re(z) Im(z) Oscillations lentes (basses fr é quences) Oscillations rapides (hautes fr é quences) t t

9 8 Module des pôles et amortissement pôles pr è s du cercle de rayon 1 pôles proches de l origine 1 Re(z) Im(z) |a| 1 Re(z) Im(z) |a| Tr è s oscillant Tr è s amorti t t

10 9 Module des pôles et stabilité pôles extérieurs au cercle 1 pôles intérieurs au cercle 1 1 Re(z) Im(z) |a| 1 Re(z) Im(z) |a| instable (divergence) stable (convergence) t t

11 10 La transformée dune séquence de durée finie Le retard de k échantillons est associé à z -k est un polynôme La transformée dun signal composé dun seul échantillon pour t=0 est une constante La transformée dun signal composé dun seul échantillon pour t=1 est Quelques propriétés immédiates de la transformée en z

12 11 Transformée dune convolution discrète Même démonstration que dans le cas de la transformée de Fourier dune convolution (commutativité)

13 12 Transformée dune convolution discrète cf : produit de polynômes les coefficients du produit sobtiennent en calculant une convolution discrète

14 13 Inversion de la transformée en z dans les cas simples : décomposition en fractions rationnelles du premier degré : le signal x est une somme dexponentielles la transformée inverse dun polynôme est une séquence de durée finie Attention au domaine de convergence ! alors En traitement du signal ce domaine contient le cercle de rayon 1 C contour dans le domaine de convergence : cercle de rayon 1 (expression donnant lamplitude de lharmonique dune série de Fourier) (a peut être complexe)

15 14 Lien avec la transformée de Fourier Lien avec la transformée de Laplace lintérieur du disque de rayon 1 se transforme dans le demi plan partie réelle négative fréq. graduation linéaire en angle du cercle de rayon un correspond à une graduation linéaire de laxe des fréquences Re(z) Im(z)

16 15 Re(z) t x(t) n y(n)=x(t) pour n=t signal à temps continu signal échantillonné X( ) transformée de Fourier X( ) périodisation transformée en z échantillonnage X ( )= Y ( e j ) - - Im(z) Y(z) - Y(z) domaine temporel domaine fréquentiel z=e j enroulement sur le cercle 1


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