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Notes de cours Analyse Cepstrale ANALYSE CEPSTRALE Définitions et applications.

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1 notes de cours Analyse Cepstrale ANALYSE CEPSTRALE Définitions et applications

2 notes de cours Analyse Cepstrale ANALYSE CEPSTRALE contenu Annulation d écho Définitions –cepstre de puissance –cepstre complexe –propriétés Quelques applications –mesures de fonction de transfert et de coefficient de réflexion –annulation d échos –analyse des vibrations d engrenages

3 notes de cours Analyse Cepstrale ANALYSE CEPSTRALE le problème de l annulation d échos x(t)= s(t) + s r (t) –s(t) son direct, s r (t) son réfléchi le problème de l annulation d échos –comment extraire s(t) de x(t), i.e, supprimer l écho ?

4 notes de cours Analyse Cepstrale Signal + Echo formulation du problème Hypothèses simplificatrices –la réflexion ne génère qu un retard et une atténuation s r (t)= a 0.s(t-t 0 ) x(t)=s(t)+a 0.s(t-t 0 ) Dans le domaine fréquentiel

5 notes de cours Analyse Cepstrale Signal + Echo illustration Domaine temporel Domaine fréquentiel s(t) a 0 s(t-t 0 ) t0t0 [X(f)] 2

6 notes de cours Analyse Cepstrale Signal + Echo propriétés de la phase Imag Réel 2.pi.f.t 0 1

7 notes de cours Analyse Cepstrale Signal + Echo Effet du logarithme On prend le « Log » pour rendre additif l effet de l écho On en prend la Transformée de Fourier (inverse) f t

8 notes de cours Analyse Cepstrale Le cepstre Plusieurs définitions Cepstre de puissance: Cepstre complexe:

9 notes de cours Analyse Cepstrale Cepstre de puissance Propriétés C x ( ) = [TF -1 (Ln(S xx (f))] 2 –fréquence temps –relation avec la fonction d autocorrélation R( )=TF -1 (S xx (f)) –S xx (f) est réel et pair – le CEPSTRE DE PUISSANCE EST REEL, PAIR

10 notes de cours Analyse Cepstrale Cepstre complexe Propriétés C x ( ) = TF -1 [Ln(X(f)] –X(f)=X Réel (f) + j.X Imag (f)=[X(f)].e j (f) –Ln(X(f))=Log[X(f)] + j. (f) x(t) est réel X réel pair et X imag impair (f) est impair [X(f)] est pair Ln [X(f)] est pair –le CEPSTRE COMPLEXE EST REEL ET CAUSAL

11 notes de cours Analyse Cepstrale Cepstres de puissance et complexe Cas de signaux à minimum de phase Soit x(t), X(f) = TF(x(t)) = [X(f)].e j (f) x(t) à minimum de phase H{ln[X(f)]}= (f) –C x ( ) = TF -1 { Ln (X(f))} = Ln[X(f)] + j. (f) C x ( ) est réel et causal ( >0) c est la somme dune partie paire et d une partie impaire –TF -1 {Ln[X(f) 2 ]} est la partie paire, ie, le cepstre de puissance –TF -1 { (f)} est la partie impaire, ie, le cepstre de phase 1 2 1

12 notes de cours Analyse Cepstrale Cepstre complexe Redéploiement de la phase C x ( ) = TF -1 { Ln (X(f)) } = Ln[X(f)] + j. (f) –pour évaluer (f), on obtient une fonction variant entre - et +, qu il est nécessaire de « redéployer » (Unwrapping) – (f) doit être une fonction continue en f. Il existe des algorithmes dédiés (algorithmze de Triboulet 1977) f

13 notes de cours Analyse Cepstrale Cepstre Propriétés, application à la déconvolution Système linéaire temps : y(t)=h(t)*x(t)produit de convolution fréquence :Y(f)=H(f).X(f)produit cepstre :C y ( ) = C h ( ) + C x ( ) somme (du fait du Log!) d où les applications de déconvolution pour séparer x (t) (l entrée) de h(t) (le milieu) –annulation d échos, –identification des sources (sismique, etc..) h(t) x(t)y(t)

14 notes de cours Analyse Cepstrale Déconvolution via le cepstre Exemple de l annulation d échos x(t)=s(t)+a 0.s(t-t 0 ), X(f)=S(f)[1+a 0.e -2 jft0 ] c x (t) = c s (t) +TF -1 {Ln(1+a a 0.cos(2 ft 0 )} on « liftre » c s (t) S(f)= TF{exp(c s (t))} et s(t)=TF -1 {S(f)} remarque: –le processus de reconstruction suppose les signaux à minimum de phase tt

15 notes de cours Analyse Cepstrale Cepstre complexe Exemple d annulation d échos

16 notes de cours Analyse Cepstrale Cepstre Vocabulaire vocabulaire (Bogert 1963): SpectreCepstre FréquenceQuéfrence FiltrageLiftrage HarmoniqueRahmonique PériodeRépiode PhaseSaphe AmplitudeGamnitude

17 notes de cours Analyse Cepstrale Cepstre ANNEXES A: Propriétés de symétrie et de parité par Transformées de Fourier Directe et inverse B: Systèmes à minimum de phase C: caractérisation de matériaux (acoustique)

18 notes de cours Analyse Cepstrale Annexe A: Propriétés de la Transformée de Fourier (1/3) –ie, x(t) X(f) x(-t) X(-f) x(t) –TF directe sur x(t) = TF inverse sur x(-t) FFFF

19 notes de cours Analyse Cepstrale Annexe A: Propriétés de la Transformée de Fourier (2/3) x(t) réelX(f) = X*(-f) Re(X(f)) = Re(X(-f)) Im(X(f) = - Im(X(-f)) x(t) réel pairx(t) = x(-t) X(f)=X(-f) Im(X(f)) = 0 x(t) réel impairx(t) = -x(-t) Re (X(f)) = 0

20 notes de cours Analyse Cepstrale Annexe A: Propriétés de la Transformée de Fourier (3/3) Signal temporelSpectre réel, pairréel, pair réel, impairimag, impair imag, pairimag, pair imag, impairréel, impair réelcomplexe conjugué pair complexe conjugué pairréel

21 notes de cours Analyse Cepstrale Annexe B: Systèmes à minimum de phase (1/2) Plusieurs définitions : –x(n) est à minimum de phase ssi ln[X(w)] et Arg(X(w)) forment une paire de Hilbert –H{Ln[X(w)]} = Arg(X(w)) –un système linéaire de fonction de transfert H(w) est dit à minimum de phase ssi H(w) est stable et d inverse stable, ie, ses pôles et ses zéros sont à l intérieur du cercle unité (système discret), ou à gauche de l axe jw (système continu)

22 notes de cours Analyse Cepstrale Annexe B: Systèmes à minimum de phase (2/2) X 1 (f) = TF(x 1 (t))X 2 (f) = TF(x 2 (t)) (1) X 1 (f) = X 2 (f) (2)Arg(X 1 (f))>Arg (X 2 (f)) Si x 1 (t) est tel que (1) et (2) sont vérifiées quelque soit x 2 (t) vérifiant (2), alors x 1 est dit à phase minimum.( en réalité maximum) x 1 (n) x 2 (n) Arg(X(f)

23 notes de cours Analyse Cepstrale Annexe C: Caractérisation de matériaux (1/3) Caractérisation acoustique dun matériau: x(t)= p(t) + (r 1 /r 2 ).p(t)*h(t-t 0 ) r 1, r 2 coefficients de réflexion t 0 =(r 2 -r 1 )/c –X(f)=P(f){1+(r 1 /r 2 ).H(f).e -2 fto } –on veut estimer h(t) la réponse impulsionnelle de la surface réfléchissante –ou on veut estimer r 1, r 2 Haut parleur micro

24 notes de cours Analyse Cepstrale Annexe C: Caractérisation de matériaux (2/3) Expression du cepstre de puissance –[X(f)] 2 =[P(f)] 2. {1+(r1/r2).H(f). e -2 fto }. {1+(r1/r2).H * (f). E +2 fto } on utilise le développement –Ln(1+z)=z-z 2 /2+ z 3 /3,…. Pour [z]<1 –d où: 2.Ln [X(f)] = 2.Ln(P(f)] + {(r1/r2).H(f). E +2 fto - 1/2.(r1/r2 )2.(H(f). E +2 fto ) 2 + 1/3.(r1/r2) 3.H * (f). E +2 fto +…...} le cepstre est de la forme: –Cx (t) = Cp(t) + (r 1 /r 2 ).C h (t-t 0 )-1/2.(r 1 /r 2 )2.C h (t-t 0 )* C h (t-t 0 )…+... –X (t) = P(t) + (r 1 /r 2 ).h(t-t 0 ) -1/2.(r 1 /r 2 )2.h(t-t 0 )* h(t-t 0 )…+...

25 notes de cours Analyse Cepstrale Annexe C: Caractérisation de matériaux (3/3) Illustration du cepstre de puissance –on peut retrouver h(t) si le cepstre de p(t) est « séparable » t0t0 2t 0 P(t) a 1.h(t-t 0 ) a 2.h(t-t 0 )* h(t-t 0 )


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