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Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 1 Traitement du Signal Hugues BENOIT-CATTIN.

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1 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 1 Traitement du Signal Hugues BENOIT-CATTIN

2 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 2 1. Les transformées du Traitement du Signal : Fourier, Laplace, Z (1h),TD 2. La chaîne de traitement numérique : échantillonnage, quantification, restitution (2h), TP 3. Introduction aux signaux aléatoires (4h), TD 4. Filtrage numérique (5h),TD,TP 5. Filtrage adaptatif (2h), TP 6. Architecture des DSP (2h), TP 7. Traitement de la parole et du son (8h), TD TP Plan

3 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 3 1. Les transformées du TS Transformée de Fourier –Définition –Échantillonnage et périodisation –Signaux de durée limitée et signaux périodiques –Signaux échantillonnés de durée limitée –Signaux discrets Transformée de Laplace –Définition –Relation avec la transformée de Fourier Transformée en Z –Définition –Relation avec la transformée de Fourier –Relation avec la transformée de Laplace

4 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin Transformée de Fourier (1811) Définition Quelques propriétés –Linéarité –X(f) module |X(f)|, phase Arg[X(f)] –x(t) réel Re[X(f)] paire, Im[X(f)] impaire, module pair, phase impaire –x(t) réel pair X(f) réel pair –x(t) réel impair X(f) imaginaire impair –x(t)*y(t) X(f).Y(f) et x(t).y(t) X(f)*Y(f)

5 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 5 Quelques relations –x(t)* (t-t 0 )= x(t-t 0 ) X(f) exp(-2j f t 0 ) –x(t) exp(2 j t f 0 ) X(f-f 0 ) –x * (t) X * (-f) –x(at) |a| -1 X(f/a) –d n x(t)/dt n (2 j f ) n X(f) Signaux importants – (t) 1 –1(t) ½ (f) + 1/(2 j f ) –cos(2 f 0 t) [ (f-f 0 ) + (f+f 0 )]/2 et sin(2 f 0 t) [ (f-f 0 ) - (f+f 0 )]/2j – (t+nT) F e (f+kF e ) avec F e =1/T –Rect(t) 2a.Sinc( fa)

6 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 6 3Échantillonnage et périodisation Échantillonnage idéal......Transformée de Fourier périodisation en fréquence. Échantillonnage temporel périodisation en fréquence Échantillonnage en fréquence périodisation temporelle

7 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 7 3Signaux de durée finie et signaux périodiques 1 T x(t) 0Ttf X(f)Transformée de Fourier Echantillonnage en fréquence f2 T 00T2T X e (f) x T (t) Transformée inverse de Fourier

8 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 8 3Signaux échantillonnés de durée finie x e (t) 0NTtf X(f)Transformée de Fourier Echantillonnage en fréquence f1 NT 00NT2NT X e (f) x Te (t) Transformée de Fourier 1 T 1 T 0 Périodisation

9 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 9 3Transformée de Fourier des signaux discrets Signal discret x[k] Transformée de Fourier discrète, périodique Fréquence définie sur la période principale de 0 à 1 ou de -½ à ½ Fréquence déchantillonnage réelle F e =1/T e Fréquence définie de 0 à F e ou de -F e /2 à F e /2 Mêmes propriétés que la transformée de Fourier des signaux continus

10 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin Transformée de Laplace (1820) en posant : Définition Introduite pour palier aux limitations de la transformée de Fourier

11 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 11 3Systèmes différentiels et Laplace Pour les systèmes continus linéaires invariant de réponse impulsionnelle h(t) Causal : N M Fonction de transfert zéros pôles Système stable ||h(t)|| 1 < Re(p i ) < 0

12 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 12 3Relations entre Laplace et Fourier Pour s imaginaire pur, et on retombe sur Fourier H(s)=H(f) H(f) = H(s) évaluée sur l'axe imaginaire du plan de Laplace Exemple : h(t)=exp(-at) 1(t) -a s=j un pôle en s=-a v le vecteur du plan complexe reliant les point s et -a

13 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin Transformée en Z Somme de série... donc problèmes de convergence ! Définition Quelques propriétés –Linéarité –Décalage temporel : –Convolution : –Multiplication par série exponentielle :

14 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 14 3Systèmes différentiels et TZ Fonction de transfert Causal : N M Système stable |p i |< 1 H(z)=TZ(h(t))

15 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 15 3Relations entre TZ et Fourier z = exp(j2pf) on restreint z au cercle unité f=1 Re(z) Im(z) f croissante 1 f=0 f=1/2 f=1/4 On retrouve la transformée de Fourier discrète du signal x[k], et sa périodicité

16 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 16 3Relations entre Laplace et TZ Transformée de Laplace de x[kT], signal échantillonné : = X(z) avec z=exp(sT) En posant s = r + jw= r +j2pf on obtient z =exp(rT)exp(j2pfT) c.à.d une périodicite de 1/T dans le plan des Z

17 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 17 Plan de Laplace Plan des Z Re(s)=r Im(s)= Im(z) Re(z) 2 F e =2 /T 0 1 f=0 f=1 0

18 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 18 3Interprétation géométrique de la TZ Plan des Z Re(z) 1 f=0 f=1 0 -a | a|<1 Périodicité de X(f)

19 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin Chaîne de traitement numérique du signal Chaîne de traitement numérique Échantillonnage –Échantillonnage idéal : Th. de Shannon –Filtre anti-repliement –Échantillonnage réel Quantification –Pas, niveaux, erreur et bruit –Quantification scalaire uniforme linéaire –Quantification scalaire non uniforme, loi de compression Restitution –Restitution idéale –Restitution réelle

20 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin Chaîne de traitement numérique du signal Avantages des systèmes numériques -Faibles tolérances des composants -Sensibilité réduite, Précision contrôlée -Reproductibilité, pas de réglage -Souplesse, nombre dopérations illimité -Systèmes non réalisables en analogique Inconvénients -Inconvénients des systèmes numériques -Source dénergie nécessaire -Limitations en haute fréquence -CAN/CNA -Bande passante nécessaire importante

21 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 21

22 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 22 Filtre analogique anti-repliement –Eliminer les hautes fréquences (Echantillonneur-bloqueur) –Maintien du signal à lentrée du convertisseur Convertisseur analogique numérique (CAN) –Convertir en binaire lamplitude des échantillons Système numérique de traitement –Calcul sur la suite de valeurs binaires Convertisseur numérique analogique (CNA) –Transformer une suite de valeurs binaires en un signal analogique (Filtre de restitution) –Eliminer les fréquences indésirables à la sortie du CNA

23 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin Echantillonnage Problème Orage Jour Nuit Température Temps Mesurer la température mais... pour quelle application ? Bande passante limitée de la chaîne de mesure analogique. Combien de mesures par jour ? 1 ou (ou plus !) Comment ne pas perdre ou déformer linformation «utile»

24 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 24 3Echantillonnage idéal Périodisation en fréquence

25 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 25 3Echantillonnage idéal : Théorème de Shannon Si F e > 2 F max alors les spectres périodisés ne se recouvrent pas Reconstitution du signal analogique de départ théoriquement possible Si F e < 2 F max il y a recouvrement de spectre On ne peut pas reconstituer le signal analogique de départ et linformation est déformée

26 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 26 3Filtre anti-repliement Pour éviter le repliement de spectre on élimine les fréquences contenues dans le signal analogique supérieures à F e /2 On utilise un filtre passe-bas analogique dit filtre anti-repliement Le filtre anti-repliement définit Fmax !

27 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 27 3Illustration : stromboscope Fréquence déchantillonnage F e = f 0 + Fréquence apparente X e (f) FeFe -F e -f 0 f0f0

28 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 28 3Échantillonnage réel Fréquences résiduelles au delà de F e / 2 –Filtre anti-repliement non idéal –Filtre anti-repliement impossible (CCD) –Bruit de la partie analogique de la chaîne dacquisition Effet de léchantillonneur-bloqueur Échantillonnage des signaux de fréquence proche de F e /2 Fe > (2+k) F max

29 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin Quantification Réduction d un espace de valeurs Espace infini de valeurs Espace fini de valeurs niveaux de quantification Écart entre 2 niveaux consécutifs pas (plage) de quantification ( )

30 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 30 3Erreur (ou bruit) de quantification Le rapport signal sur bruit de quantification P S : puissance du signal m(t) P B : puissance du bruit de quantification x e (t) : signal échantillonné non quantifié x q (t) : signal échantillonné quantifié

31 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 31 3Types de quantification Quantification scalaire = échantillon par échantillon Quantification vectorielle = groupe d échantillons (vecteur) Quantification uniforme = plage constante Quantification non uniforme Quantification optimale = Erreur minimale (plage+niveaux adaptés)

32 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 32 3Quantification scalaire uniforme linéaire Plage de quantification = cte Niveau de quantification = milieu des plages Nombre de niveaux : Nnq = dyn/ Erreur de quantification : - /2 (t) <+ /2

33 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 33 La puissance moyenne du bruit de quantification peut sécrire : où f( ) désigne la densité de probabilité de, supposée constante : La puissance moyenne du signal dépend de sa densité probabilité. Si elle est de type gaussienne avec m max =3 Nnq=2 N

34 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 34 3Bruit de quantification du CAN Plage dentrée du CAN P Nombre de bits en sortie N Pas de quantification = P/2 N Pour P= 8 x (1 ech / > 4, x) on a : Pour un RSB denviron 90 dB (qualité audio) il faut au moins N=16 bits.

35 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 35 3Quantification scalaire non uniforme Quantification uniforme (R S/N ) q est non constant (peut devenir très faible!) dépend de lamplitude du signal Erreur de quantification non constante

36 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 36 Les faibles amplitudes sont « amplifiées » ou « favorisées » par rapport aux fortes valeurs Loi de compression logarithmique Loi de compression Compression (loi) Quantification uniforme Pré-traitement des valeurs et conservation d un quantificateur simple

37 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 37 Soit m(t) le signal à compresser et mc(t) le signal compressé : Les valeurs de A = 87.6 et = 255 sont normalisées. (R S/N ) q est de lordre de 35 dB pour un niveau dentrée maximal de 40 dB Loi de compression logarithmique A,

38 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 38 Lobtention de caractéristiques analogiques de compression et dexpansion réciproques est impossible Approximation par segments 1 1 Compression logarithmique par segment

39 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 39 A chaque valeur échantillonnée et quantifiéemot de n bits -code- EchantillonnageMIC m(t) QuantificationCodage fréquence f e q niveaux n bits CAN (q = 2 n ) 3Modulation d impulsions codées (MIC, PCM) Remarque : le codage toujours de longueur fixe à la numérisation Le codage de source est un traitement numérique, bien qu une loi de compression ait pour conséquence de réduire la redondance !!

40 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 40 Exemple : La téléphonie Lutilisation dun MIC à à compression par segments non uniforme (loi A) permet de coder les 256 niveaux de quantification par : n = log =8 bits Fe=8 kHz D = 8 *8=64 kbit/s

41 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin Restitution 3Restitution idéale, interpolateur idéal

42 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 42 Interprétation temporelle Filtrage passe-bas xkTt Sinc t T e []()*() t xtxtSinc T e ()()*()

43 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 43 Interpolateur idéal de Shannon Linterpolateur de Shannon est irréalisable car il correspond à un filtre non causal

44 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 44 3Restitution réelle (CNA), interpolateur d ordre N T t x(t) Cas N=0 Conséquences spectrale

45 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 45 Conséquences spectrale, interpolateur ordre 0 Filtre de restitution (analogique, passe-bas)


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