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SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 1 Analyse temps-fréquence Spectrogramme Distribution de Wigner Ville.

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1 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 1 Analyse temps-fréquence Spectrogramme Distribution de Wigner Ville

2 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 2 Les signaux non stationnaires Un signal dont la structure change au cours du temps –parole, musique, impacts, chirp, machines tournantes lors d accélération ou décélération, –on souhaite faire l analyse en fréquence de régions locales du signal.i.e. localisée temporellement. ANALYSE TEMPS FREQUENCE Une limite « le principe dincertitude » –B largeur de bande fréquentiel d un signal, –T durée du signal alors : BT 1/2 –plus on veut se localiser sur une portion d un signal –moins on peut spécifier les fréquences précisément

3 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 3 Le spectrogramme formulation DSP x(t) signal stationnaire x(t) – x (f) = x(t).e -2jft 2 est indépendant du temps Spectrogramme : non stationnaire = suite de non stationnarités –S x (t,f) = x(u).h(u-t).e -2jft 2 est fonction du temps et de la fréquence –h(t) est une fenêtre glissante bonne résolution temporelle si h(t) courte bonne résolution fréquentielle si h(t) longue

4 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 4 Représentation Waterfall (ou cascade)

5 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 5 Le spectrogramme Représentation plan

6 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 6 Le spectrogramme quelques propriétés Les plus: –positif, –extension directe de Fourier, interprétation identique en fréquences –pas de termes d interférences Les moins: –principe d incertitude BT 1/2, compromis entre résolutions en fréquence et en temps –la résolution et les lois en fréquence sont fonction de la fenêtre –l optimisation des fenêtres nécessite des informations a priori sur le signal

7 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 7 Spectrogramme: chirp nfft=64

8 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 8 Spectrogramme: chirp nfft=128

9 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 9 Spectrogramme chirp nfft=256

10 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 10 Spectrogramme chirp nfft=512

11 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 11 Spectrogramme: double chirp (nfft=128)

12 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 12 Spectrogramme: double chirp (nfft=256)

13 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 13 Spectrogramme: double chirp (nfft=512)

14 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 14 Spectrogramme: signal d engrenage (nfft=256)

15 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 15 Spectrogramme: signal d engrenage (nfft=1024)

16 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 16 Comment définir une fréquence ? Dans le cas stationnaire –Fourier –« Sinusoïde de durée infinie » Dans le cas non stationnaire –même définition que le cas stationnaire mais QUI VARIE DANS LE TEMPS?? Impossible à cause du principe dincertitude –On définit alors la FREQUENCE INSTANTANEE signal analytique, –cette quantité est fonction du temps, elle correspond à la sinusoïde qui suit au mieux le signal –cependant elle est adaptée à un signal à bande étroite (.i.e. une composante)

17 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 17 Fréquence instantanée et retard de groupe pour un signal monochromatique Fréquence instantanée x(t) = cos (2..f 0.t) x a (t) = cos (2..f 0.t) + j. sin (2..f 0.t) = e 2.j..f 0.t f i (t) = 1/2. d/dt { arg (x a (t) } = f 0 –localisation en fréquence d une composante temporelle Retard de groupe X a (f) = TF { x a (t) } t g = 1/2. d/df { Arg X a (f) } retard de groupe x(t) = cos (2..f 0.t), x a (t) = e 2..f 0.t –X a (f) = (f-f 0 ) tg=0 x(t) = cos (2..f 0.(t-t 0 )), x a (t) = e 2..f 0.(t-t 0 ) –X a (f)= (f-f 0 ).e -2.j f0t0 t g =t 0 –localisation en temps d une composante fréquentielle

18 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 18 Distributions temps fréquence Objectifs: –Améliorer la résolution en temps et en fréquence de l analyse d un signal non stationnaire Des représentations temps- fréquence ont été développées pour avoir la meilleure répartition de l énergie dans ce plan. Ces représentations sont dites représentations quadratiques –Distribution de Wigner, –Classe générale de Cohen –d autres représentations existent (Choï Williams,..)

19 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 19 Quelles sont les propriétés souhaitées pour une représentation T-F ??

20 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 20 Fréquence instantanée et retard de groupe pour un chirp Chirp (sinus à balayage linéaire d amplitude constante (durée infinie) –x(t) = a. cos ( 2 (t)) = a. cos(2 (f 0 t + b/2.t 2 )) –x a (t) = a. e 2 j(f 0 t + b/2.t^2), X a (t) = A(f) e j (t) fréquence instantanée f(t) = (1/2 ).d (t)/dt = f 0 +b/2.t retard de groupetg(f)= (1/2 ).d (t)/df = -2/b.(f-f 0 ) –réciprocité entre la fréquence instantanée et le retard de groupe Ces notions sont importantes –pour les signaux mono composantes –pour les signaux dont l amplitude varie lentement vis-à-vis de la fréquence la plus basse Dans les autres cas, la fréquence instantanée sera une valeur moyenne

21 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 21 La fonction dautocorrélation et DSP Aléatoire stationnaire Aléatoire, non stationnaire

22 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 22 La fonction dautocorrélation signal déterministe Ecriture de la fonction d autocorrélation Déterministe

23 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 23 Spectre de Wigner Ville : définition Pour un signal déterministe Cas particulier : On obtient la transformation de Wigner Ville

24 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 24 Distribution de Wigner Ville Signaux déterministesSignaux aléatoires Rem: la représentation de Wigner Ville prend en compte TOUT le signal. Pour les signaux déterministes => Représentation de WV Pour les signaux aléatoires => Spectre de WV

25 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 25 Propriétés de la TF de Wigner Ville (1)

26 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 26 Propriétés de la TF de Wigner Ville (2) Inconvénients –Valeurs négatives locales !!! –Interférences entre les composantes des signaux ceci est du au produit x(t-T/2) x(t+T/2) Avantages –meilleure résolution en temps et fréquence puisque on utilise tout le signal –propriétés marginales –estimation des modulations de fréquences –du retard de groupe

27 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 27 Wigner Ville cas discret –l indice l, dans la TFWV directe correspond à l. t/2 –l indice k, dans la TFWV inverse correspond à k/2.M. t D où un échantillonnage 2 fois plus fin! Autre interprétation : le produit des 2 signaux x(t), x(t+T/2) donne dans le domaine fréquentiel une convolution avec un spectre de largeur double! D où la nécessité d échantillonner à une fréquence double de celle de Nyquist!

28 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 28 Transformée de Wigner Ville Utilisation du signal analytique Au lieu d utiliser x(t), on utilise souvent le signal analytique de x(t) Ce signal a un spectre défini uniquement pour les fréquences positives. Ce permet: –d éviter d échantillonner à la fréquence double! –d éviter les interactions entre les fréquences positives et négatives du spectres. Formulation basée sur la TF des signaux remarque: –il n y a pas de pertes d informations –WV est défini pour les fréquences positives, sans pertes d informations

29 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 29 Pseudo Wigner-Ville et Pseudo Wigner-Ville Lissé Pseudo Wigner Ville : lissage en fréquence –version lissée en fréquence –on utilise une portion du signal –moins bonne résolution en fréquence Pseudo Wigner Ville Lissé : lissage en temps et fréquence –convolution bi-dimensionnelle –réduction des interférences –positivité –perte de résolution T-F

30 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 30 Pseudo WV chirp nfft=64

31 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 31 Pseudo WV chirp nfft=128

32 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 32 Pseudo WV chirp nfft=256

33 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 33 Pseudo WV chirp2 nfft=64

34 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 34 Pseudo WV chirp2 nfft=128

35 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 35 Pseudo WV chirp2 nfft=256

36 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 36 Pseudo WV signaux d engrenage nfft=256

37 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 37 Pseudo Xigner Ville Lissé et Spectrogramme Spectrogramme Interprétation: –le spectrogramme correspond à une version lissée du spectrogramme WV de la fenêtre WV du signal

38 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 38 Annexe : représentation générale des représentations quadratiques La classe de Cohen

39 SY16-Traitement du signal : Analyse temps fréquence 39 Cas particuliers de la classe de Cohen Forme générale


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