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Analyse spectrale1 Analyse Spectrale de Fourier - définition de la densité spectrale de puissance - erreurs aléatoires : propriétés des estimateurs - effet.

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1 analyse spectrale1 Analyse Spectrale de Fourier - définition de la densité spectrale de puissance - erreurs aléatoires : propriétés des estimateurs - effet de biais - effet des fenêtres fuites - les Unités

2 analyse spectrale2 Analyse Spectrale de Fourier densité spectrale de puissance : définition x(n) signal aléatoire, stationnaire (ergodique) n: [-,+ ] T=1 2 formulations équivalentes : transformée de Fourier de la Fonction d autocorrélation moyenne (d ensemble) du module carré de la T de Fourier

3 analyse spectrale3 Analyse Spectrale de Fourier densité spectrale de puissance : estimateur x(n) signal aléatoire, stationnaire (ergodique) n: [-1,N], nombre de points fini T=1 2 estimateurs (équivalents quand N>>> ) : corrélogramme périodogramme

4 analyse spectrale4 Analyse Spectrale de Fourier estimateur du périodogramme On utilise l estimateur du périodogramme : calcul avec la FFT. Propriétés de l estimateur : biais : =E [S xx/per (k)] = S xx (k) quand N>> »sans biais asymtotiquement variance : = E[S xx/per (k)- ]² S² xx/per (m) »la variance est très importante !!

5 analyse spectrale5 Analyse Spectrale de Fourier estimateur du périodogramme Bruit blanc filtré passe-bas superposition de [20 FFT]² calculées sur des tranches de 256 points

6 analyse spectrale6 Analyse Spectrale de Fourier périodogramme Moyenné: contrôle de la variance(1) D où l idée de moyenner l estimateur du périodogramme sur plusieurs tranches du signal. (Moyenne d ensemble) -WELCH- S1S1 S2S2 SMSM ( S m )/M SmSm S 12 M m N points par tranche

7 analyse spectrale7 Analyse Spectrale de Fourier périodogramme : effet du moyennage Bruit blanc filtré passe-bas moyenne de [2 FFT]² calculées Moyennage de 20 [FFT]²

8 analyse spectrale8 Analyse Spectrale de Fourier propriétés du périodogramme moyenné Le moyennage permet de diminuer la variance. Le biais ne change pas puisqu il ne dépend que de N (longueur chaque tranche). Propriétés de l estimateur : biais : =E [S xx/per/moy (k)] = S xx (k) quand N>> »sans biais asymtotiquement variance : = E[S xx/per/moy (k)- ]² S² xx (k)/M »la variance diminue en 1/M !! Écart-type: =S(k)/ M ps: les résultats sont obtenus en supposant une distribution gaussienne ainsi qu une indépendance des tranches.

9 analyse spectrale9 Analyse Spectrale de Fourier Périodogramme Moyenné par recouvrement il faut augmenter M pour diminuer la variance le TEMPS d ANALYSE T max >N.M. T peut être prohibitif S1S1 S2S2 SMSM ( S m )/M SmSm S 1 2 M m N points par tranche

10 analyse spectrale10 Analyse Spectrale de Fourier périodogramme moyenné :recouvrement(2) Une méthode pour diminuer T max. On fait recouvrir les tranches. Mais Les tranches ne sont plus indépendantes : la variance décroît moins vite avec N les fenêtres contribuent à rendre indépendantes les tranches Fenêtre rectangulaire Fenêtre type Hanning

11 analyse spectrale11 Analyse Spectrale de Fourier périodogramme :contrôle du biais Estimateur asymtotiquement non biaisé –il faut augmenter N (c est-à-dire augmenter la résolution fréquentielle) pour diminuer le biais si f =1/N T trop grand : –sous estimation des maximum (pics) –sur-estimation des minimum en général T fixé par l analyse N une régle pratique : pour un pic de largeur f0 : –il faut choisir N tel que : f = 1/N T < f0/4 –pour un système à 1ddl avec amortissement visqueux. » f0=2 f r r f r f résonance; r amortissement réduit

12 analyse spectrale12 Analyse Spectrale de Fourier effet des fenêtres : exemple Démo fuites (voir DFT) –1 sinusoïde dont la fréquence correspond à une raie FFT –1 sinusoïde dont la fréquence se situe entre 2 raies - comparaison des fenêtres de Hanning et rectangulaire l effet des raies latérales dues à une fenêtre font augmenter la puissance. Ceci est corrigé en divisant par la puissance équivalente de la fenêtre. Voir tableau chapitre DFT. La correction est faite sur les analyseurs.

13 analyse spectrale13 Analyse Spectrale de Fourier Ajout de zéros : zeros padding Objectifs : augmenter la taille de la tranche pour avoir N = puissance de 2 augmenter la résolution ??? Intérêts : les transitoires, signaux courts résultats : interpolation entre les points DFT calculés sans l ajout de zéros la fonction d interpolation est liée à la fenêtre de pondération l

14 analyse spectrale14 Analyse Spectrale de Fourier Ajout de zéros : exemple démo fouzéros

15 analyse spectrale15 Analyse Spectrale de Fourier Unités : signaux continus Signaux périodiques Signaux non-périodiques

16 analyse spectrale16 Analyse Spectrale de Fourier Unités : signaux discrets Discret : –T N. T –dt T –df f=1/N T – l ENERGIE totale T= N. T V².sec or à cause de la division par N dans la DFT inverse, Parseval s écrit: rem: on introduit un facteur 2 pour tenir compte des fréquences négatives

17 analyse spectrale17 Analyse Spectrale de Fourier Unités : résumé x( ) en Volts Puissance DS PuissanceEnergieDS Energie V²V²/HzV².secV².sec/Hz=V².sec² amplitude VV/ HzV. secV.sec

18 analyse spectrale18 Analyse Spectrale de Fourier Unités : signaux discrets, exemple


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