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Transformée de fourier discréte1 TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE.

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1 transformée de fourier discréte1 TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE

2 transformée de fourier discréte2 Transformée de Fourier Discrète introduction

3 transformée de fourier discréte3 Transformée de Fourier Discrète Théorème de Shannon Signal à bande limitée X(f)=TF (x(t));X(f)=0 pour -fmax < f < +fmax pour échantillonner le signal x(t) sans perdre d information (ie, reconstruction sans erreur), il faut que : sinon on observe un repliement de spectre +fmax -fmax X(f) x(t) ft

4 transformée de fourier discréte4 Transformée de Fourier Discrète périodisation de la TFC par échantillonnage temporel

5 transformée de fourier discréte5 Transformée de Fourier Discrète repliement de spectre dans le domaine fréquentiel

6 transformée de fourier discréte6 Transformée de Fourier Discrète définition

7 transformée de fourier discréte7 Transformée de Fourier Discrète propriétés

8 transformée de fourier discréte8 Transformée de Fourier Discrète discrétisation T/F=Périodisation T/F (1)

9 transformée de fourier discréte9 Transformée de Fourier Discrète discrétisation T/F=Périodisation T/F (2) TEMPSFREQUENCE continucontinu –non périodique- Fourier Continue continu discret –périodique- Série de Fourier discretcontinu –Fourier- périodique discretdiscret –périodique- périodique –T.Fourier Discrète

10 transformée de fourier discréte10 Transformée de Fourier Discréte résolution fréquentielle x(n T) signal –n = [-N/2, N/2-1] N points – T période d échantillonnage, –fe=1/ T fréquence d échantillonnage. –fe 1/(2fmax) Shannon X(m f) = TFD [(x(n T)] –N points en fréquence – f = 1/N T résolution en fréquence si N f

11 transformée de fourier discréte11 Transformée de Fourier Discrète signaux de longueur finie: fenêtres (1)

12 transformée de fourier discréte12 Transformée de Fourier Discrète signaux de longueur finie: fenêtres (1) Exemple de troncature dun signal par une fenêtre rectangulaire 0 N/2

13 transformée de fourier discréte13 Transformée de Fourier Discrète effet d une fenêtre rectangulaire sur une sinusoïde (2)

14 transformée de fourier discréte14 Transformée de Fourier Discrète effet d une fenêtre de Hanning sur une sinusoïde (3)

15 transformée de fourier discréte15 Transformée de Fourier Discrète effet des fenêtres sur une sinusoïde (4)

16 transformée de fourier discréte16 Transformée de Fourier Discrète résumé : échantillonnage temps/fréquence/fenêtre Multiplication/fenêtre tempsfréquence Convolution/fenêtre (fuites)

17 transformée de fourier discréte17 Transformée de Fourier Discrète étude de l effet de convolution :Fenêtre rectangulaire(1) wr(n T)=1 pour n=[0,N-1] Wr(m f) = sin(N.2.pi.m f)/sin(2.pi.m. f) pour m=[0,N-1]

18 transformée de fourier discréte18 Transformée de Fourier Discrète convolution par une fenêtre rectangulaire: sinusoïde(2) Cas d une sinusoïde : – N points, T période d échantillonnage, –fe=1/ T, f=1/ N T –la TFD sera définie pour 0, f, 2. f, 3. f,….k. f …N/2. f – soit x(n T ) = a.sin(2.pi.f0.n/N) cas 1: f0 = k. f cas 2: k. f f0 (k+1). f

19 transformée de fourier discréte19 Transformée de Fourier Discrète convolution par une fenêtre: cas d une sinusoïde(3) f(k-1) f(k)=f0 f(k+1) X(k f ) W(k-1) W(k) W(k+1)

20 transformée de fourier discréte20 Transformée de Fourier Discrète convolution par une fenêtre: cas d une sinusoïde(4) f(k-1) f(k) f(k+1) X(k f ) W(k-1) W(k+1) W(k)

21 transformée de fourier discréte21 Transformée de Fourier Discrète Fenêtres et leur transformée de Fourier résumé (1) Rectangulaire Hanning Blackm an Gaussienne

22 transformée de fourier discréte22 Transformée de Fourier Discrète propriétés des fenêtres : résumé (2) Fenêtre1er lobedécroissance largeur lobe secondairelobes secondairesprincipal (dB)(dB/décade)(* f) Rectangulaire Hanning Hamming Kaiser-Bessel Flattop Gaussienne –rectangulaire : bonne résolution en fréquence, dynamique faible –Hanning :compromis (utilisée en analyse du bruit et vibrations)

23 transformée de fourier discréte23 Transformée de Fourier Discrète Algorithmes rapides : FFT (Fast Fourier Transform)-(1) N Multiplications complexes, (N-1) additions pour chaque m N² multiplications complexes exemple : N= 1000 pts (X) !! Algorithme FFT N=2 k N.log 2 (N)= k.N exemple : N= (X) Plusieurs types d algorithmes

24 transformée de fourier discréte24 Transformée de Fourier Discrète Algorithmes rapides : FFT (Fast Fourier Transform)-(2) Principe : plusieurs algorithmes et architectures associés permettent de réaliser les calculs en temps réel.


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