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2 S.S.I. 2005, Comment calculer le spectre dun signal audio Page 1 Comment calculer le spectre dun signal audio Séance 4, très importante, 1 heure Version : 15 mars 2005 Auteur: Jean-Paul Stromboni Objectifs et idées clefs de la séance : Introduire le concept de spectre dun signal audio et expliquer comment un ordinateur calcule spectre et spectrogramme avec lalgorithme de FFT. loreille perçoit le spectre, la composition fréquentielle des sons. on décrit aussi bien un son avec le signal associé ou avec le spectre associé à lorigine du spectre, la décomposition en séries de Fourier (19ème siècle) la transformation de Fourier calcule le spectre dun signal en temps continu un ordinateur utilise la transformée de Fourier discrète et la FFT pour calculer le spectre à court terme et le spectrogramme Savez vous déjà répondre aux questions suivantes ? Quappelle ton spectre, et quelle est linfor- mation contenue dans le spectre dun signal ? Quest ce qui fait distinguer à loreille un piano et une flûte ? Un adulte et un enfant ? Que calcule la transformation de Fourier, et à partir de quelle information ? Quand peut-on décomposer un signal audio en séries de Fourier ? Mais qui était J. Fourier, quand vivait-il et que cherchait il à résoudre avec ses séries ? Quel est lintérêt de la FFT ? Quand doit-on utiliser la Transformée de Fourier Discrète ou TFD ? Dessiner une fenêtre temporelle de durée 20ms et dexpression : Le signal est-il à bande limitée ? Que valent spectre et spectrogramme de:

3 S.S.I. 2005, Comment calculer le spectre dun signal audio Page 2 Loreille humaine perçoit la composition fréquentielle des sons, cest-à-dire le «spectre» Tout un chacun sait (plus ou moins ) différencier une note grave (basse fréquence, donc pitch élevé) et une note aigüe (fréquence élevée), sur une échelle de perception logarithmique allant de 20Hz à 20kHz reproduire un LA3 à 440 Hz reconnaître un instrument de musique selon la richesse harmonique de son timbre comparer lintensité des notes sur une échelle damplitude logarithmique Ces informations sur un son (pitch, timbre, intensité) constituent son spectre: le spectre damplitude ou spectre regroupe lensemble des intensités des composantes fréquentielles du son: amplitude=f(fréquence) un son dont le spectre (damplitude) est nul au- delà dune fréquence F max est dit à bande limitée Le spectre varie au cours du temps : En musique, cela crée le rythme, la mélodie, ou encore lexpression dune interprétation En parole, cela permet de percevoir phonèmes, diphones, et aussi lintonation, ou prosodie, … On représente lévolution temporelle du spectre damplitude dans un spectrogramme : amplitude = g(instant, fréquence)

4 S.S.I. 2005, Comment calculer le spectre dun signal audio Page 3 Un son est aussi bien décrit par les valeurs ins- tantanées du signal associé que par son spectre soit s(t) lexpression temporelle du signal associé t est linstant (en seconde) éventuellement, s(t) est défini dans une fenêtre temporelle débutant en t0 et de durée T : on note S(f) le spectre associé à s(t) f est la fréquence exprimée en Hertz (Hz) on définit S(f) comme la transformée de Fourier de s(t) en distinguant les cas suivants : la décomposition en série de Fourier initiale ne sapplique quà s(t) de durée T (ou T-périodique). si s(t) est apériodique, S(f)= TF[s(t)]. si le signal est échantillonné s(nTe), on utilise la transformée de Fourier discrète et on exécute lalgorithme de FFT qui calcule le spectre. Dans lexemple de la note pure LA3, le spectre se réduit à une composante de fréquence f = 440 Hz Est-ce un signal à bande limitée ? Lutilisation de la fréquence et du spectre peut aussi simplifier certains problèmes : La décomposition en série de Fourier a été proposée au 19ème siècle par J. Fourier pour résoudre léquation de propagation de la chaleur (il cherchait à estimer ainsi lage de la terre !)

5 S.S.I. 2005, Comment calculer le spectre dun signal audio Page 4 À lorigine du spectre, la décomposition en séries de Fourier dun signal de durée finie Le problème posé par Fourier consistait à décrire une fonction du temps s(t) de durée T avec une somme de fonctions sinusoïdales : n est entier le terme n de fréquence n/T est lharmonique Hn le terme de fréquence nulle est la composante continue CC ou valeur moyenne de s(t) (n=0) le terme de fréquence 1/T est dit fondamental F Par exemple, voici la décomposition dun signal triangulaire défini sur lintervalle [-T/2,T/2] : Préciser les amplitudes de CC, F, H3, H5 et H7 T s(t) t 1

6 S.S.I. 2005, Comment calculer le spectre dun signal audio Page 5 La décomposition en séries de Fourier établit le spectre dun signal périodique ou de durée T Que vaut f(t) entre –T/2 et T/2 ? Que vaut f(t) à lextérieur de cet intervalle ? Que représente le diagramme ci-dessous ? Quand T tend vers linfini, 1/T tend vers 0 Les raies ci-dessus se rapprochent et le spectre devient une fonction continue de la fréquence. La décomposition en séries de Fourier devient la transformation de Fourier. 1/9 1/25 1/81 1/49 1

7 S.S.I. 2005, Comment calculer le spectre dun signal audio Page 6 La transformation de Fourier établit le spectre dun signal quelconque Définition de la transformation de Fourier (i 2 = - 1) Quelques propriétés de TF utilisées dans la suite Linéarité TF[produit de convolution] = produit Définition du produit de convolution Dualité de TF et TF -1 (permuter t et f, …)

8 S.S.I. 2005, Comment calculer le spectre dun signal audio Page 7 La transformation de Fourier établit le spectre dun signal apériodique ou de durée infinie Quelques transformées utilisées dans la suite : La distribution ou impulsion de Dirac : la transformée de limpulsion de Dirac est : Définition de la fonction peigne de Dirac La transformée dun peigne est un peigne h 1/h temps 0

9 S.S.I. 2005, Comment calculer le spectre dun signal audio Page 8 La transformation de Fourier établit le spectre dun signal apériodique ou de durée infinie Quelques transformées utilisées dans la suite la transformée du cosinus contient 2 raies : La fonction rectangle (ou fonction porte) La transformée de la fonction rectangle est la fonction sinus cardinal

10 S.S.I. 2005, Comment calculer le spectre dun signal audio Page 9 La transformée de Fourier discrète établit le spectre dun signal en temps discret x(nTe) Transformée de Fourier discrète : La périodicité de TFD est : On ne conserve que N échantillons successifs pour calculer la transformée de Fourier à court terme Et on ne calcule que M fréquences f k de X(f) On aboutit à lalgorithme de FFT (ou Fast Fourier Transform), car le calcul du spectre est plus rapide en particulier si N=M=2 K

11 S.S.I. 2005, Comment calculer le spectre dun signal audio Page 10 Le spectrogramme représente lévolution du spectre à court terme au cours du temps On sait par exemple que le spectre du signal vocal est constant durant 30ms, on utilisera une fenêtre de 240 échantillons avec la fréquence déchantillonnage 8 kHz. On découpe laxe des temps en zones de 30 millisecon- des (240 échantillons), et on calcule le spectre de chaque fenêtre par FFT 240 points. Le spectrogramme qui affiche tous ces résultats et indique donc lévolution temporelle du spectre. Spectrogramme de la note piano_c3.wav (par WaveLab) (retrouver laxe des temps et laxe des fréquences)

12 S.S.I. 2005, Comment calculer le spectre dun signal audio Page 11 Calcul du spectre avec Matlab fe=8000; t=[0:1023]*(1/fe); s=0.5*cos(2*pi*880*t); f=[0:1023]/1024*fe; plot(f,abs(fft(s,1024))) grid, figure f2=[-512:511]/1024*fe; spec= fftshift(fft(s,1024)) plot(f2,abs(spec)) N=? M=? Quest ce qui change ici ?

13 S.S.I. 2005, Comment calculer le spectre dun signal audio Page 12 Calcul du spectrogramme avec Matlab fe=8000; t=[0:16000]*(1/fe); s=0.5*cos(2*pi*880*t)+0.75*cos(4000*pi*t); f=[-512:511]/1024*fe; spec= fftshift(fft(s(1:1024),1024)) plot(f,abs(spec)), grid, figure specgram(s,2048,fe,ones(1,1024)) colorbar Fenêtre Amplitude N M overlap Fenêtre Amplitude N M

14 S.S.I. 2005, Comment calculer le spectre dun signal audio Page 13 Quelques propriétés de la distribution de Dirac qui seront réutilisées dans la suite : La distribution de Dirac peut être présentée comme la limite dune impulsion de largeur h et de hauteur 1/h quand h tend vers 0. En conséquence, lopération suivante permet de prélèver une valeur sur le signal s(t) Le produit de convolution par (t-T) décale le signal s(t) de T : h 1/h temps 0

15 S.S.I. 2005, Comment calculer le spectre dun signal audio Page 14 Revenons aux origines du spectre : la décomposition en séries de Fourier Le problème consiste à décrire une fonction s(t) de durée T sous la forme suivante : n est entier le terme n de fréquence n/T est lharmonique Hn le terme de fréquence nulle est la composante continue CC ou valeur moyenne de s(t) (n=0) le terme de fréquence 1/T est dit fondamental F Fourier propose une méthode basée sur les propriétés des fonctions sinus et cosinus. Notons Et notons On vérifie aisément On en tire


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