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S.S.I., ESSI1, 26 avril 2005 Page 1 Comment créer des filtres dordre 1 et 2 Séance 7, 1 heure, application de la séance sur les filtres Version : mardi.

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1 S.S.I., ESSI1, 26 avril 2005 Page 1 Comment créer des filtres dordre 1 et 2 Séance 7, 1 heure, application de la séance sur les filtres Version : mardi 26 avril 2005 Auteur: Jean-Paul Stromboni Contenu de la séance : On étudie ici des filtres récursifs dordre un et dordre deux : on pose le problème du filtrage passe bas pour lequel on suggère deux solutions non démontrées : 1/ premier ordre et 2/ second ordre on vérifie avec MATLAB et Goldwave la solution du premier ordre on vérifie de même pour la solution du second ordre et on compare on propose un filtre passe-haut du premier ordre on précise comment on peut réaliser un filtre résonateur Savez vous répondre aux questions suivantes ? Calculer Si et Stabilité et gain statique de Même question pour Quelle est la réponse indicielle du filtre dérivateur ? Quest ce qui différencie F1(z) et F2(z) ? Relation entre et Stabilité et gain statique de Le filtre intégrateur est il passe haut ou passe bas ?

2 S.S.I., ESSI1, 26 avril 2005 Page 2 On peut spécifier un filtre en donnant la réponse fréquentielle souhaitée. Pour atténuer le spectre dun signal audio au-delà dune fréquence f c (fréquence de coupure à 3 dB), la fréquence déchantillonnage étant f e > f c, le gain de la réponse indicielle doit suivre un gabarit : Une première solution simple (à vérifier) consiste à utiliser le filtre F 1 du premier ordre : Voici une autre solution F 2 du second ordre :

3 S.S.I., ESSI1, 26 avril 2005 Page 3 Pour concevoir un filtre discret, on peut utiliser les fonctions suivantes de Matlab Créer un filtre avec la fonction de transfert : ftz=tf(0.1,[1,–0.9],1/8000) %ftz=tf(num,den,Te) calculer la réponse impulsionnelle de ftz [hn,t]=impulse(ftz); % puis plot(t,hn)% pour le tracé, ou impulse(ftz) la réponse indicielle à un échelon de Heaviside [ind,t]=step(ftz); % ou simplement step(ftz)% pour le tracé la réponse harmonique : bode(ftz) % qui la trace, ou [m,p,w]=bode(ftz); Matlab calcule le produit de convolution : yn=conv(hn, xn); ou applique le filtre à partir de lEaD : yn=filter(0.1,[1,-0.9],xn) ; Par exemple : définir avec Matlab le filtre suivant et tracer sa réponse harmonique :

4 S.S.I., ESSI1, 26 avril 2005 Page 4 On évaluera un filtre récursif avec Matlab, puis Goldwave peut le mettre en œuvre Voici lexemple dun filtre passe bas de fréquence de coupure f c =200Hz réalisé avec f e =2000Hz. Le script Matlab suivant calcule la solution 1: Mesurer le gain statique, vérifier fe, fc, et dire comment on programme F1 avec Goldwave fe=2000; a=exp(-2*pi*200/fe);% on trouve a= b=1-a; % Matlab trouve b= F1z =tf([b,0],[1,-a],1/fe) bode(F1z)

5 S.S.I., ESSI1, 26 avril 2005 Page 5 Avec Matlab, on compare les solutions du premier et du second ordre. Conclusion ? La solution F2(z) du problème précédent est le filtre de Butterworth dordre 2. Le script Matlab suivant compare F1z et F2z: Quest ce qui différencie les deux solutions ? Comment programmer F2 avec Goldwave ? fe=2000;fc=200; a=exp(-2*pi*fc/fe),b=1-a; F1z=tf([b],[1,-a],1/fe); b=exp(-sqrt(2)*pi*fc/fe)% b=06413 a=b*cos(sqrt(2)*pi*fc/fe)% a= F2z=tf([1-2*a+b^2,0],[1,-2*a,b^2],1/fe) bode(F1z,F2z)

6 S.S.I., ESSI1, 26 avril 2005 Page 6 Inverser la fonction de transfert inverse la réponse harmonique (gain et déphasage) Calculer la fonction de transfert H(z) du filtre, Quel est le type de ce nouveau filtre ? Retrouver la fréquence à +3dB avec H(z) Ci-dessus la réponse harmonique du filtre :

7 S.S.I., ESSI1, 26 avril 2005 Page 7 On sait calculer le filtre récursif F 2 (z) du second ordre pour créer des résonances Mesurer la hauteur et la fréquence de la réso- nance, le gain statique, quobtient-on si =0 ? Pour amplifier une zone de fréquence du spectre dun signal, on calcule ainsi a et b du filtre F 2 (z) : Pour Matlab trouve a=0.7615, b= est lamortissement réduit, f 0 la fréquence propre, la résonance est dautant plus haute et sa fréquence voisine de f 0 que est proche de zéro.

8 S.S.I., ESSI1, 26 avril 2005 Page 8 On peut même programmer un filtre qui oscillera à la fréquence f 0, avec Vérifier la fréquence doscillation ; quelles sont la fréquence et la hauteur de la résonance? fe=2000; f0=200; b=1; a=cos(2*pi*f0/fe); Ft8=tf([1-2*a+b^2,0],[1,-2*a,b^2],1/fe) bode(Ft8) grid

9 S.S.I., ESSI1, 26 avril 2005 Page 9 Un produit de fonctions de transfert aboutit à la somme des réponses fréquentielles Comment peut-on réaliser ce filtre (dit notch filter) ? Quelle est laction sur le spectre ?


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