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S.S.I., ESSI1, avril 2005 Page 1 Comment on filtre un signal audio Séance 6, importante, 1 heure Version : avril 2005 Auteur: Jean-Paul Stromboni Objectifs.

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1 S.S.I., ESSI1, avril 2005 Page 1 Comment on filtre un signal audio Séance 6, importante, 1 heure Version : avril 2005 Auteur: Jean-Paul Stromboni Objectifs de la séance : Il sagit dintroduire le concept de filtre, de filtre en temps discret, les propriétés et les représentations basiques des filtres. on énumère quatre propriétés importantes des filtres discrets on analyse le cas du filtre linéaire et stationnaire (en anglais LTI) on distingue des représentations équivalentes des filtres que lon relie à léquation aux différences : la fonction de transfert en z, la réponse harmonique, la réponse impulsionnelle on crée un filtre discret avec Goldwave Le filtre suivant est il causal ?Quelle est la fonction de transfert du filtre : Que réalise selon vous le filtre ?Quelle est la réponse impulsion- nelle de Ce filtre est il IIR ou FIRComment trouver la réponse harmonique du filtre précédent ? Celui là est il stable ?Que vaut le gain statique de Savez vous répondre aux questions suivantes ?

2 S.S.I., ESSI1, avril 2005 Page 2 Un filtre est un opérateur capable de modifier la composition fréquentielle dun signal audio. Quand on programme un filtre, on obtient un filtre discret : cela consiste à programmer le calcul des valeurs successives du signal filtré à partir des échantillons dun signal à filtrer En particulier, on utilise un banc de filtre pour découper des bandes de fréquences dans les spectres des signaux à compresser Traduit dans le domaine fréquentiel, filtrer cest multiplier le spectre du signal à filtrer par la réponse harmonique (ou fréquentielle) du filtre: Filtre programmé entrée du filtre signal filtré

3 S.S.I., ESSI1, avril 2005 Page 3 Linéarité, stationnarité, causalité, et stabilité sont des propriétés essentielles des filtres 1.Linéarité, le principe de superposition sapplique : 2.Stationnarité, ou invariance temporelle dit que la relation dentrée sortie est indépendante du temps 3.Causalité : assure quà linstant nTe, la sortie yn ne dépend pas dinstants futurs, (n+k)Te, k>0. Il faut distinguer : signal causal, ou signal nul pour nT e <0 filtre causal, dont la sortie reste nulle tant que son entrée est nulle 4.Stabilité (au sens E.B.S.B) : si lentrée reste bornée en amplitude, la sortie est bornée en amplitude aussi (doù lappellation E.B.S.B). Vérifier les propriétés des filtres ci-dessous :

4 S.S.I., ESSI1, avril 2005 Page 4 Léquation aux différences (ou EaD) permet de programmer un filtre Voici la forme générale dune EaD On note léchantillon ou la valeur Les b k et les a j sont les coefficients du filtre, On note N lordre du filtre, et M+N sa longueur Les x j constituent le signal dentrée du filtre et les y k le signal de sortie ou signal filtré. Un filtre qui calcule y n à partir des seuls x j est dit non récursif ou FIR (pour Finite Impulse Response) Un filtre qui utilise les y k, avec k < n pour calculer y n est récursif ou IIR Exemples, pour T e = 1/2000 s : dérivateur discret filtre intégrateur discret filtre passe bas filtre préaccentuateur

5 S.S.I., ESSI1, avril 2005 Page 5 On peut aussi représenter un filtre linéaire et stationnaire avec sa réponse impulsionnelle On peut donc utiliser la réponse impulsionnelle h (ou RI) pour caractériser un filtre LTI et calculer la sortie par produit de convolution de lentrée avec h. Calculer les réponses impulsionnelles de : et Si on note h(nTe) la réponse impulsionnelle, cest-à- dire la sortie dun filtre en réponse à lentrée (nTe), on déduit de la linéarité et de la stationnarité que : Si nTe) est la fonction de Kronecker, limpulsion discrète, (1 si n = 0, 0 sinon), on vérifie aisément : La relation dentrée sortie dun filtre linéaire et stationnaire (LTI, pour Linear Time Invariant) est un produit de convolution : h caractérise le filtre : réponse impulsionnelle de F

6 S.S.I., ESSI1, avril 2005 Page 6 La fonction de transfert en z représente le rapport sortie sur entrée H(z)=Y(z)/X(z). On définit la transformation en z (Tz) par adaptation de la transformation de Laplace aux signaux discrets 2. Transformée en z du produit de convolution : 1. Théorème du retard de Tz (pour Te=1s ) : Quelle est la fonction de transfert de ? La fonction de transfert en z sobtient à partir de léquation aux différences par transformée en z à conditions initiales nulles :

7 S.S.I., ESSI1, avril 2005 Page 7 La réponse harmonique regroupe les mo- difications du spectre opérées par le filtre Voici par exemple la réponse harmonique RH (ou réponse fréquentielle) calculée par Matlab du filtre Quel est leffet du filtre sur la note pure LA3 ? donner le facteur datténuation ou gain : donner le déphasage : Quel est le gain du filtre à fréquence nulle ? À quelle fréquence le filtre divise til par 2 ? À quelle fréquence retarde til de 45° ? Quel est le gain minimum du filtre, et pour quelle fréquence ?

8 S.S.I., ESSI1, avril 2005 Page 8 On peut relier réponse harmonique, répon- se impulsionnelle et fonction de transfert Pour un filtre dentrée x(nTe), de sortie y(nTe) et de réponse impulsionnelle h(nTe), on vérifie à la fois : La réponse harmonique (ou fréquentielle) dun filtre notée ici R H, est la transformée de Fourier discrète (TFD) de sa réponse impulsionnelle : De plus, la fonction de transfert dun filtre est la transformée en z de sa réponse impulsion- nelle, et réciproquement. En effet : Quelle est la périodicité de R H ? cqfd !

9 S.S.I., ESSI1, avril 2005 Page 9 On peut relier réponse harmonique, répon- se impulsionnelle et fonction de transfert Du fait de lidentité de la transformée en z et de la transformée de Fourier discrète du signal h(nT e ) sil est causal, on passe de lune à lautre par un changement de variable : Question dapplication : préciser les représentations du filtre

10 S.S.I., ESSI1, avril 2005 Page 10 On détermine la stabilité E.B.S.B. et le gain statique avec la fonction de transfert En utilisant la formule des résidus (donnée à titre documentaire en annexe) pour linversion de la transformée en z, on établit la condition suivante de stabilité au sens E.B.S.B. : les pôles de la fonction de transfert du filtre doivent être tous de module strictement inférieur à un. Application : le filtre préaccentuateur est-il stable ? Quel est le gain statique du dérivateur ? En cas de stabilité E.B.S.B., un filtre dentrée constante atteint un régime permanent où la sortie est constante aussi. On nomme alors gain statique le rapport sortie sur entrée. Dans EaD, le régime permanent fait disparaître le temps n : x n+1 = x n =… = X, y n = y n-1 = …=Y Dans FTz, faire tendre z vers 1 donne le gain statique:

11 S.S.I., ESSI1, avril 2005 Page 11 Pour créer un filtre, Goldwave utilise les coefficients de léquation aux différences Le menu de Goldwave Effects/Filter/User defined permet de définir et de nommer des filtres selon léquation aux différences : Pour le filtre monfiltre, retrouver les coefficients a(i) et b(j) à partir de lEaD : Application : comment programmer les filtres dérivateur et pré-accentuateur précédents ?

12 S.S.I., ESSI1, avril 2005 Page 12 Voici les effets du filtre monfiltre sur le son du fichier piano_c3.wav, fe = 2kHz. On voit la note non filtrée, puis la note filtrée Quel est leffet de monfiltre sur piano_c3 et sur son spectre ?

13 S.S.I., ESSI1, avril 2005 Page 13 Annexe : la formule des résidus offre un moyen dinversion de la transformée en z Pour inverser H(z), on peut utiliser une table de transformées en z ou la formule des résidus soit : On définit le résidu de en pôle dordre de par : Application : inverser X(z) ci-dessous Question à creuser : comment prouver avec la formule des résidus la condition de stabilité EBSB donnée plus haut, sachant (1) que la sortie dun filtre LTI est un produit de convolution avec la réponse impulsionnelle et (2) que la transformée en z de la réponse impulsionnelle est la fonction de transfert ?


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