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Composition fréquentielle du signal audio, séance 4 SSII, oct. 2012 - page 1 Calcul de la composition fréquentielle du signal audio Jean-Paul Stromboni,

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1 Composition fréquentielle du signal audio, séance 4 SSII, oct page 1 Calcul de la composition fréquentielle du signal audio Jean-Paul Stromboni, pour les élèves SI3, nécessite un vidéo projecteur, durée 50mn, octobre 2012 Voici ce que vous devez savoir faire après cette séance : Définir le spectre dun signal sinusoïdal Définir la Transformée de Fourier Discrète (TFD) de taille N Trouver la TFD des signaux constante et sinusoïde. Mesurer leffet de la taille du signal de de la fenêtre dapodisation Utiliser les fonctions fft(.) et spectrogram(.) de MATLAB Quelle est linformation donnée par le spectre dun signal audio ? Quelle est la résolution fréquentielle d'une FFT de taille N= 32 si fe= 8kHz ? Pourquoi diviser le spectre d'amplitude par la taille N de la fenêtre temporelle ? Quelle est la période du spectre d'un signal audio numérique échantillonné à 22050Hz ? Si on calcule M = 2048 valeurs de la TFD, préciser les fréquences fk si fe=8000Hz : Quelle est la durée d'une fenêtre de 1024 échantillons, à fe = 44100Hz Donner la composition fréquentielle de x(t)Pourquoi limiter le calcul du spectre à une fenêtre de taille N échantillons ? Travaux Dirigés : calculer et exploiter TFD et FFT Savez vous répondre aux questions suivantes ?

2 Composition fréquentielle du signal audio, séance 4 SSII, oct page 2 Composition fréquentielle ou spectre Depuis Joseph Fourier ( ), physicien et mathématicien français, on sait décomposer une fonction du temps s(t) quelconque en une somme de fonctions sinusoïdales, ou spectre : Soit s(t), fonction du temps définie quelque soit t, S(f) ci-dessous détermine le spectre de s(t) : Inversement, connaissant le spectre S(f) de s(t), on détermine s(t) par : S(f) est une quantité complexe : Si la composante fréquentielle de s(t) à la fréquence f sexprime par : On aura : et Dans la suite de ce cours, on se limite au module de S(f), cest-à-dire au spectre damplitude :

3 Composition fréquentielle du signal audio, séance 4 SSII, oct page 3 Matlab, Scilab, Goldwave, utilisent la Transformée de Fourier Discrète (TFD) pour calculer le spectre Définition de la TFD : pour un signal x(t) échantillonné à la fréquence fe, MATLAB calcule le spectre en limitant le signal à une fenêtre temporelle de N échantillons : X(f) est le spectre de x(n/fe), X(f) est périodique, la valeur de la période est fe |X(f)| est symétrique par rapport à la fréquence fe/2 la fenêtre de calcul dure NTe (contient N échantillons) Calcul de la TFD : en pratique, on calcule seulement N valeurs de la TFD, les X(f k ) pour les seules fréquences f k : est la résolution fréquentielle Note : pour mieux reconstruire la fonction X(f), on peut calculer et afficher M > N valeurs au lieu de N Algorithme de transformée de Fourier rapide (en anglais Fast Fourier Transform) Si N est une puissance de 2, on accélère le calcul du fait des périodicités et symétries des exponentielles complexes Matlab, Scilab, Goldwave, … utilisent lalgorithme de FFT pour calculer la transformée de Fourier discrète

4 Composition fréquentielle du signal audio, séance 4 SSII, oct page 4 Calcul de la T.F.D. du signal constant de taille N TFD de la fonction constante, du signal de fréquence nulle, ou de la fenêtre rectangulaire de durée NTe Que valent : 1.R(0) 2.R(fe) 3.R(-fe) 4.R(fe/N) 5.La périodicité du dénominateur 6.La périodicité du numérateur

5 Composition fréquentielle du signal audio, séance 4 SSII, oct page 5 Analyse dun exemple : x = 0.75, N = 16, fe = 8kHz Relation entre [0,fe/2] et [fe/2, fe] ? Tracé sur une période [ 0, fe [ Tracé de spectre/N entre 0 et fe Tracé de spectre/N : reporter les N valeurs calculées R(kfe/N), k= 0 … N-1

6 Composition fréquentielle du signal audio, séance 4 SSII, oct page 6 TFD du signal sinusoïdal (sans calcul) Analyser le spectre damplitude suivant (où |S(f)| est déjà divisé par N) Lire fe R(f0) R(fe-f0) R(fe/N) a et f0 Placer les N= 16 valeurs calculées par la TFD f0 varie de 100 Hz, que prévoir ? Tracé de |S(f)|/N sur une période

7 Composition fréquentielle du signal audio, séance 4 SSII, oct page 7 Influence du nombre N déchantillons (fenêtre rectangulaire, ou pas de fenêtre) s= 0.75*cos(2*pi*440*t), D=0.04s, fe=8kHz f0= a0= fe = N = NTe = f = spectre/N = f0= a0= fe = N = NTe = f = spectre/N =

8 Composition fréquentielle du signal audio, séance 4 SSII, oct page 8 Influence de la fenêtre de Hamming Comparaison des spectres d'amplitude de ces deux fenêtres : fe= N= durée= fe/N= fmin= fmax= Hamming amplMax= nbLobes= largeur= Rectangle amplMax= nbLobes= largeur:

9 Composition fréquentielle du signal audio, séance 4 SSII, oct page 9 Influence de la taille N du signal dans le cas de la fenêtre de Hamming Dessiner la forme de la fenêtre de Hamming Comparer au spectre obtenu avec la fenêtre rectangulaire f0= a0= fe = N = NTe = f = spectre/N = s= 0.75*cos(2*pi*440*t), D=0.04s, fe=8kHz

10 Composition fréquentielle du signal audio, séance 4 SSII, oct page 10 Erreur ou problème de synchronisation On illustre avec le signal s suivant composé d'une ou de deux fréquences f0 et f1 : s=a*cos(2*pi*f0*t)+a1*cos(2*pi*f1*t) 1.erreur sur l'amplitude et sur la position de la raie si f1 n'est pas l'une des fréquences calculées : 2.risque de confusion, si les deux composantes de fréquence sont trop proches

11 Composition fréquentielle du signal audio, séance 4 SSII, oct page 11 Spectre et spectrogramme (avec Goldwave) Spectrogramme de s(t), fe=8kHz, f=500Hz, fenêtre rectangulaire, 30fps spectre = composition fréquentielle Spectrogramme=spectre (temps)

12 Composition fréquentielle du signal audio, séance 4 SSII, oct page 12 Spectre et spectrogramme avec MATLAB fe=8000; N=4096; t=[0:16000]/fe; s=0.5*cos(2*pi*1000*t)+ 0.75*cos(4000*pi*t); f=[-N/2:N/2-1]*fe/N; spec= fftshift(fft(s(1:N))) plot(f,abs(spec)), grid, figure spectrogram(s,hamming(N),N/2,N,fe,'yaxis') colorbar Noter pour le spectrogramme : 1.la fenêtre utilisée est une fenêtre de Hamming 2.le code de couleurs donnant lamplitude en dB est à droite

13 Composition fréquentielle du signal audio, séance 4 SSII, oct page 13 Exploitation du tracé du spectre d'amplitude sur les tracés suivants, retrouver : fe, N, a0 et f0, la durée de la fenêtre temporelle et l'axe de symétrie. Que vaut M ? Que vaut f ? Quelle est la relation entre les tracés ?

14 Composition fréquentielle du signal audio, séance 4 SSII, oct page 14 Représentation 3D du spectrogramme pour le signal vocal, on sait que la durée de la fenêtre danalyse ne doit pas dépasser 30ms (?) si fe=8 kHz, cest une fenêtre de 240 échantillons. On calcule la TFD de la fenêtre, on déplace la fenêtre et on recommence On regroupe les résultats dans un spectrogramme, en 3D (cf. ci-dessous) ou en 2D (cf. Goldwave) Quelle est ici la résolution fréquentielle ? Comment obtenir une fenêtre de 20ms, sachant que fe=22050Hz ? Donner la résolution fréquentielle. Voici le spectrogramme de piano_c3.wav tracé par WaveLab : retrouver les informations de fréquence fondamentale, durée du signal, enveloppe …


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