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Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J.M. Gorce 1 Séries de Fourier Tout signal périodique (T) de puissance finie peut.

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1 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J.M. Gorce 1 Séries de Fourier Tout signal périodique (T) de puissance finie peut être décomposé en une somme de sinus et de cosinus. 1(4/ ) 1+ 3 (4/3 ) A n = (4/5 ) (4/7 ) Continu / Fondamental / harmoniques

2 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J.M. Gorce 2 Quelques exemples de signaux périodiques Sinusoide Rectangle périodique Triangle périodique Dent de scie

3 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J.M. Gorce 3 Séries de Fourier complexe De {A n,B n } à X n en utilisant la notation complexe A

4 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J.M. Gorce 4 T=5 Regraduons l axe des n en fréquence... Pour un cosinus ? Pour un sinus ? Pour ça ? Le spectre du signal

5 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J.M. Gorce 5 Transformée de Fourier des signaux continus périodiques Signal périodique Spectre discret

6 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J.M. Gorce 6 Et la puissance d un signal périodique ? Identité de Parseval Densité Spectrale de Puissance

7 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J.M. Gorce 7 Du périodique au non-périodique

8 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J.M. Gorce 8 Transformée de Fourier des signaux continus Regraduons en f

9 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J.M. Gorce 9 Représentation de la TF Module / Argument Parties réelle & imaginaire |X(w)| Arg(X(w))

10 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J.M. Gorce 10 –Linéarité –X(f) module |X(f)|, phase Arg[X(f)] –x(t) réel Re[X(f)] paire, Im[X(f)] impaire, module pair, phase impaire –x(t) réel pair X(f) réel pair –x(t) réel impair X(f) imaginaire impair –x(t)*y(t) X(f).Y(f) et x(t).y(t) X(f)*Y(f) Quelques propriétés de Transformée de Fourier – x(t)* (t-t 0 )= x(t-t 0 ) X(f) exp(-2j f t 0 ) – x(t) exp(2 j t f 0 ) X(f-f 0 ) – x * (t) X * (-f) – x(at) |a| -1 X(f/a) – d n x(t)/dt n (2 j f ) n X(f) !

11 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J.M. Gorce 11 – (t) 1 –1(t) ½ (f) + 1/(2 j f ) –cos(2 f 0 t) [ (f-f 0 ) + (f+f 0 )]/2 –sin(2 f 0 t) [ (f-f 0 ) - (f+f 0 )]/2j – (t+nT) F e (f+kF e ) avec F e =1/T –Rect(t) 2a.Sinc( fa) Quelques signaux et leur Transformée de Fourier

12 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J.M. Gorce temps (sec) amplitude représentation des signaux en temps fréquence (Hz) amplitude représentation des signaux en fréquence

13 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J.M. Gorce fréquence (Hz) amplitude représentation des signaux en fréquence temps (sec) amplitude représentation des signaux en temps

14 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J.M. Gorce temps (sec) amplitude représentation des signaux en temps fréquence (Hz) amplitude représentation des signaux en fréquence

15 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J.M. Gorce temps ( sec) amplitude représentation des signaux en temps fréquence (MHz) amplitude représentation des signaux en fréquence

16 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J.M. Gorce fréquence (MHz) Énergie (dB) représentation des signaux en fréquence temps ( sec) amplitude représentation des signaux en temps

17 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J.M. Gorce 17

18 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J.M. Gorce 18 Et l énergie d un signal ? Identité de Parseval Densité Spectrale d Energie

19 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J.M. Gorce 19 Transformée de Fourier & Systèmes Un SLTI va être caractérisé par sa réponse impulsionnelle h(t) La transformée de Fourier de h(t) donne la réponse en fréquence du système H(f) h(t) x(t) y(t)=x(t)*h(t) H(f) X(f) Y(f)=X(f). H(f) TF L inverse est aussi vrai

20 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J.M. Gorce 20 Bande passante et largeur de bande Bande passante –Caractérise un système –Module de la rép. en fréquence –Définie à -3dB (1/ 2) (Pm/2) Largeur de bande –Caractérise un signal –Densité Spectrale –Espace des fréquences utiles !

21 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J.M. Gorce 21 Tranformée de Fourier des signaux échantillonnés Fréquence d échantillonnage F e =1/T e La transformée de Fourier est discrète et donne un spectre périodique Le spectre est représenté de 0 à F e ou de -F e /2 à F e /2 Rque : pour des signaux discrets, on pose T e =1=F e, (et n=t) x e (t) 0 NTe t f |X(f)|Transformée de Fourier 1 Te 0

22 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J.M. Gorce 22 Tranformée de Fourier des signaux échantillonnés périodiques Fréquence d échantillonnage F e =1/T e, Période du signal NT e, Fréquence du signal F=1/NT e La transformée de Fourier est discrète et donne un spectre périodique et discret Le spectre est constitué de N raies, il est représenté de 0 à F e ou de -F e /2 à F e /2 f1 NT e 00 2NT e X e (f) Transformée de Fourier 1 TeTe x e (t) Rque : pour des signaux discrets, on pose T e =1, (et n=t)

23 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J.M. Gorce 23 Du continu au discret, on échantillonne Échantillonnage idéal......Transformée de Fourier périodisation en fréquence. Échantillonnage temporel Périodisation en fréquence Échantillonnage en fréquence Périodisation temporelle

24 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J.M. Gorce 24 Tourne...

25 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J.M. Gorce 25 x e (t) 0NT t f X(f)Transformée de Fourier (DCFT) Echantillonnage en fréquence f1 NT 00NT2NT X e (f) x Te (t) Transformée de Fourier (DDFT) 1 T 1 T 0 Périodisation et retourne...

26 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J.M. Gorce 26 Et le numérique ? L avant ? L après ? T e ? Un signal numérique est fini (N points), pour faire sa TF, on le périodise implicitement On rajoute éventuellement des 0 (Nz), pour avoir une TF sur (N+Nz) points.

27 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J.M. Gorce 27 3 Les différentes TF

28 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J.M. Gorce 28 3 Propriétés

29 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J.M. Gorce 29 3 CCFT connues

30 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J.M. Gorce 30 3 CCFT généralisées connues

31 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J.M. Gorce 31 3 DCFT connues

32 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J.M. Gorce 32 3 CDFT connues

33 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Fourier H. Benoit-Cattin / J.M. Gorce 33 3 DDFT connues


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