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1 Comment décimer les sons numériques Jean-Paul Stromboni, mars 2005 ESSI 1, module SSI, Amphi Est vidéo projecteur Durée : 1h Dans cette séance, on voit.

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1 1 Comment décimer les sons numériques Jean-Paul Stromboni, mars 2005 ESSI 1, module SSI, Amphi Est vidéo projecteur Durée : 1h Dans cette séance, on voit : un modèle mathématique de léchantillonnage le phénomène daliasing du spectre du signal échantillonné comment reconstruire le signal à partir des échantillons pourquoi et comment décimer (sous-échantillonner) pourquoi et comment sur échantillonner Où en est-on ? Signal numérique spectre décimer échantillonner filtrer Filtres simples Nous sommes ici !

2 Page 2 Donner le signal échantillonné s* asso- cié à : A quoi correspond la décimation dun signal avec M=2 ? Quel est le spectre du signal échantillonné s*(t) précédent ? Quappelle ton aliasing du spectre ? Donner le filtre reconstructeur de Shannon pour s*(t) Expliquer la raison et donner le principe du filtre anti-aliasing Peut-on décimer les signaux continus et les signaux discrets ? Dans quel cas le filtre de Shannon reste til inefficace ? Savez vous répondre aux questions suivantes ?

3 Page 3 On notera maintenant signal échantillonné s*(t) le produit du signal s(t) par la fonction peigne de Dirac Le signal continu : Le signal discret : Le signal échantillonné : On distingue :

4 Page 4 Le spectre du signal échantillonné s*(t) sobtient en répétant le spectre de s(t) autour des multiples de f e Léchantillonnage détermine donc une démultiplication, (en anglais aliasing) du spectre S(f) du signal s(t) : On a vu que la transformée de Fourier dun peigne est un peigne :

5 Page 5 On peut illustrer laliasing ou démultiplication du spectre sur le cas particulièrement simple dun signal s 1 (t) sinusoïdal

6 Page 6 Reprendre pour s 2 (t) ci-dessous et donner le spectre de s 2 * (t) En dautres termes, comment gommer les répliques du spectre, tout en conservant loriginal … Comment retrouver le spectre de s 2 (t) à partir du spectre de s 2 *(t), cest le problème que se pose C. E. Shannon (~ 1947)

7 Page 7 La réponse de Shannon à cette question, cest … un filtre Un filtre multiplie les composantes du spectre dun signal par un coefficient atténuateur ou amplificateur selon la fréquence. Les effets du filtre de Shannon sont résumés par sa réponse fréquentielle, ici par exemple pour f e =8kHz : Décrire les effets du filtre de Shannon ci-dessus :

8 Page 8 Retrouver le spectre de s 2 avec le filtre de Shannon précédent

9 Page 9 Pour retrouver s(t) à partir des échantillons s(nTe) dans s*(t), on élimine du spectre de s*(t) par filtrage tous les alias hors de [-fe/2, fe/2] pour récupérer le spectre de s(t), puis on trouve s(t) par Transformée de Fourier inverse, en dautres termes : On en tire une formule, dite formule de Shannon, applicable si et seulement si la condition de Shannon est respectée. filtre reconstructeur de Shannon Doù le moyen de retrouver s(t) à partir de s*(t) … si la contrainte de Shannon est vérifiée

10 Page 10 La formule de Shannon (pour information) On sait maintenant trouver la formule de Shannon qui calcule s(t) à partir des échantillons s(nT e ) : 1.Puisque s(t) est la transformée inverse dun produit (cf. ci-dessous) 2.la transformée de Fourier dun produit est un produit de convolution 3.Puisque le produit de convolution par limpulsion de Dirac décale

11 Page 11 On ne peut pas reconstruire le spectre de s 3 (t) ci-dessous Doù vient le problème ?

12 Page 12 Pour pouvoir supprimer proprement les alias, il ne doit pas y avoir de mélanges des alias, ou recouvrements du spectre Si fe diminue, ou si le spectre du signal s(t) est trop large, les alias se mélangent, le filtre de Shannon est incapable de récupérer s(t). La parade est le filtre antialiasing ou prefilter (à expliquer)

13 Page 13 La méthode la plus simple pour compresser un son numérique consiste à le « décimer » cest-à-dire à le sous-échantillonner Symbole : Décimer ou sous-échantillonner un signal discret x(nT e ) dans un rapport M, cest ne conserver quun échantillon tous les M échantillons La décimation réduit le nombre déchantillons dans un facteur M, leffet sur la fréquence déchantillonnage est une division par M Par conséquent, il peut savérer nécessaire de préfiltrer le signal hors de avant de le décimer pour éviter des recouvrements du spectre t s(nTe)

14 Page 14 Leffet de la décimation sur le spectre dun signal est égal à leffet dune division de la fréquence déchantillonnage Puisque : Cest donc : Conserver un échantillon sur M revient à diviser par M la fréquence déchantillonnage f e Avec MATLAB, pour décimer le vecteur sig dans un facteur M: >> sdecime = s(1:M:length(sig)) est divisé par M et il y a M fois plus dalias

15 Page 15 Pour décompresser un signal décimé, on doit le suréchantillonner Lopération inverse du sous- échantillonnage consiste à ajouter dans un premier temps M -1 échantillons nuls entre deux échantillons du signal décimé. Il faut ensuite lisser les M-1 valeurs nulles ajoutées en appliquant un filtre interpolateur pour reconstruire un signal audio de bonne qualité. Symbole : t

16 Page 16 Effet du sur-échantillonnage sur le spectre Pour sur-échantillonner un signal, on insère tout dabord M-1 échantillons nuls entre deux échantillons : Avec MATLAB, pour faire cette opération sur le vecteur x, on procède en deux temps : xM = zeros(1, M*length(x)); xM(1:M:M*length(x)) = x;


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