La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

1 Echantillonnage, Filtrage numérique (convolution discrète) Analyse en fréquence (transformée de Fourier discrète) TRAITEMENT NUMERIQUE DES IMAGES.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "1 Echantillonnage, Filtrage numérique (convolution discrète) Analyse en fréquence (transformée de Fourier discrète) TRAITEMENT NUMERIQUE DES IMAGES."— Transcription de la présentation:

1 1 Echantillonnage, Filtrage numérique (convolution discrète) Analyse en fréquence (transformée de Fourier discrète) TRAITEMENT NUMERIQUE DES IMAGES

2 2 échantillonnage (pixelisation) de 4x4 à 128x128 pixels

3 3 mais une « brosse » dimpulsions variant en amplitude daprès la théorie de léchantillonnage, limage nest pas un pavage de pixels attention à linterprétation de léchantillonnage x y x y

4 4 la transformée de Fourier dune brosse périodique dimpulsions de Dirac b(x,y) est une brosse dimpulsions de Dirac B(u,v) dans le domaine des fréquences la transformée de Fourier de limage échantillonnée est périodique pour reconstituer limage continue dans le domaine spatial, il faut que son support soit limité dans le domaine des fréquences la fonction dinterpolation idéale est la tranformée de fourier inverse de la fonction support dans le domaine des fréquences (carré en général) dans le domaine spatial :léchantillonnage correspond au produit de f(x,y) par b(x,y) dans le domaine des fréquences : convolution de F(u,v) et de B(u,v) interprétation fréquentielle de léchantillonnage

5 5 Fréquence Rappel du cas monodimensionnel : - léchantillonnage se traduit par la périodisation de la transformée de Fourier - pour retrouver le signal initial, il ne faut pas que les répliques se chevauchent - récupération du signal initial par filtrage passe bas

6 6 Rappel : la transformée de Fourier dune suite régulière dimpulsions (théorème de Shannon dans le cas monodimensionnel) par transformée de Fourier un produit dans le domaine spatial devient une convolution s(t)s(t) t S ( ) T.Fourier

7 7 première étape illustration du théorème déchantillonnage des signaux bidimensionnels étude de la fonction déchantillonnage et sa transformée de Fourier

8 8 UNE BROSSE REGULIERE D IMPULSIONS

9 9 EST LE PRODUIT DE DEUX LIVRES x = x y x y x y

10 10 x y x y x y exemple avec moins de pages dans le livre

11 11 la transformée de Fourier de la brosse est la convolution des transformées de Fourier des deux livres (par transformation de Fourier, le produit devient une convolution) les transformées de Fourier des livres sont des peignes dimpulsions leurs supports sont respectivement laxe u et laxe v nous les nommons ¨PX(u,v) et PY(u,v) T.Fourier x y u v u v u v *

12 12 la convolution de PY(u,v) avec une des impulsions (placée en u 0 ) se traduit par la création dune réplique de PY(u,v) translatée en u 0 la convolution de PY(u,v) avec PX(u,v) est la somme de toutes les répliques de peignes décalées, cest-à-dire une brosse u v u v u v

13 13 utilisation de ce résultat pour interpréter leffet de léchantillonnage spatial dans le domaine des fréquences deuxième étape :

14 14 dans le domaine spatial, léchantillonnage dune fonction f(x,y) se traduit comme un produit de f(x,y) par la fonction déchantillonnage (la brosse) avant échantillonnage après échantillonnage x y x y

15 15 autre image où les variations sont plus rapides (il y a plus de hautes fréquences) avant échantillonnage après échantillonnage x y x y

16 16 la transformée de Fourier de la fonction échantillonnée est la convolution de la transformée F(u,v) de f(x,y) par la transformée de Fourier de la brosse qui est elle aussi une brosse la convolution par la brosse est la somme des répliques décalées à la position de chacune des impulsions de la brosse u v u v

17 17 retrouver la fonction dans le domaine spatial est équivalent à la retrouver dans le domaine des fréquences il ne faut garder quune composante fréquentielle il ne faut pas que les répliques décalées se chevauchent u v u v

18 18 ici le pas déchantillonnage est trop grand et les répliques se chevauchent il nest pas possible de retrouver la fonction initiale par une simple sélection u v u v

19 19 sélectionner la réplique = effectuer un filtrage passe bas u v u v

20 20 « spectre » de limage initiale (fonction continue de lespace) « spectre » de limage échantillonnée reconstitution de limage initiale par filtrage passe bas (interpolation) domaine spatial domaine des fréquences échantillonnage reconstruction DANS LE DOMAINE DES FREQUENCES : convolution de la tf par une brosse dimpulsions = répétition du spectre suivant la brosse DANS LE DOMAINE SPATIAL : produit par la « brosse » déchantillonnage

21 21 Remarque : il est possible de choisir des motifs de « pavage » différents mieux adaptés aux caractéristiques spectrales de limage à échantillonner ce qui se traduira dans le domaine spatial par un échantillonnage en quinconce plus économique que léchantillonnage sur un motif carré par exemple si le spectre de limage est à symétrie circulaire, le support hexagonal permettra un pavage plus compact que le support carré

22 22 effectuer le filtrage dans le domaine spatial calcul de la réponse impulsionnelle du filtre par transformée de Fourier inverse : cest la transformée de Fourier inverse dun pavé (produit de deux créneaux monodimensionnels en u et v) x y x y

23 23 pour reconstruire limage à partir de ses échantillons (pixels) il faut que son support spectral soit limité à la moitié de la fréquence déchantillonnage dans les deux directions u et v ; on en déduit (par transformée de Fourier inverse de la fonction constante sur un support carré) la réponse impulsionnelle du filtre interpolateur interpolation idéale (voir le cours de traitement numérique du signal)

24 24 NOTER LES OSCILLATIONS « Parasites »

25 25 application à la rotation p q lantécédent dun pixel nappartient pas à la grille ! calcul par interpolation de

26 26 impulsion « parfaite » avant rotation impulsion après rotation on voit les oscillations des fonctions sinc

27 27 reconstruction par interpolation échantillonnage difficulté : somme infinie, la convergence nest pas assurée ! combien faut il calculer de termes pour que le résultat ait une précision suffisante (par exemple 10bits soit 1/1000) approximation : par des fonctions prenant en compte un nombre plus réduit de pixels dans le voisinage de léchantillon traité surfaces de Bézier

28 28 reconstruction pratique interpolation linéaire par morceaux réponse impulsionnelle pyramidale

29 29 éventuellement interpolation plus élaborée tenant compte des caractéristiques spécifiques de limage : régions lisses, contours nets par exemple

30 30 FAUT IL RESPECTER LES CONDITIONS DE SHANNON ? apparition de franges sur les contours

31 31 inconvénient du filtre passe bas idéal : les oscillations parasites (Gibbs, Fraunhofer, Airy)

32 32 transformée de Fourier discrète bidimensionnelle pas de perte dinformation : calculer autant de valeurs dans le domaine des fréquences que dans le domaine spatial (transformée de Fourier inverse) chaque composante étant calculée par la transformée (expression de la transformée inverse) valeurs discrètes (ici entières) de u et de v tout comme de x et de y

33 33 fréquence (0,0) il est préférable de placer la fréquence (0,0) au centre Présentation visuelle du résulta de la transformée de Fourier discrète la transformée de Fourier discrète (signal échantillonné) est périodique fréquence déchantillonnage ½ fréquence déchantillonnage

34 34 Présentation visuelle du résulta de la transformée de Fourier discrète

35 35 Présentation visuelle du résulta de la transformée de Fourier discrète

36 36 Présentation visuelle du résulta de la transformée de Fourier discrète

37 37 Présentation visuelle du résulta de la transformée de Fourier discrète

38 38 il est préférable de placer la fréquence (0,0) au centre Présentation visuelle du résulta de la transformée de Fourier discrète la transformée de Fourier discrète (signal échantillonné) est périodique

39 39 Calcul basé sur la transformée de Fourier rapide monodimensionnelle on commence par calculer la TF monodimensionnelle de chaque ligne puis la TF monodimensionnelle de chaque colonne de ce tableau intermédiaire

40 40 x y u y u y 1. calcul de la transformée monodimensionnelle de chaque ligne de limage et rangement dans un tableau où la variable en abscisse est u et non plus x u v 2. sur ce deuxième tableau, calcul de la transformée monodimensionnelle colonne par colonne et rangement dans un tableau où la variable en ordonnée est maintenant v f (x,y) G (u,y) F (u,v)

41 41 Convolution 2D par transformée de Fourier / produit / transformée de Fourier inverse IMAGE INITIALE EFFET IMAGE MODIFIEE

42 42 Convolution 2D par transformée de Fourier / produit / transformée de Fourier inverse attention : tout se passe comme si les images et leurs transformées étaient périodiques échantillonnage spatial = périodisation de la transformée de Fourier échantillonnage de la transformée = périodisation dans le domaine spatial valeurs discrètes (ici entières) de u et de v tout comme de x et de y

43 43 Illustration avec la transform é e de Fourier bidimensionnelle Lorsqu on effectue une convolution (n é cessairement circulaire) en utilisant la transform é e de Fourier discr è te, le r é sultat est une fonction p é riodique dont la p é riode est la dimension du signal (ici 128) le r é sultat de la convolution qui d é borde en haut de l image se retrouve reproduit en bas du fait de la p é riodisation implicite convolution de f et de g

44 44 le résultat est réel (mais peut se déduire de la transformée de Fourier) utilisée en compression jpeg et mpeg cos

45 45 application à des médaillons 8x8 ; compression par élimination des composantes de très faible amplitude, et quantification grossière des amplitudes faibles

46 46

47 47 original ou compression à 50% compression à 25%

48 48 transformée en ondelettes (wavelets) JPEG2000 antonini, barlaud, mathieu (traitement dimages SI5) hautes fréquences horizontales basses fréquences horizontales hautes fréquences verticales basses fréquences verticales filtrage

49 49

50 50 points communs entre la DCT et la compression par ondelettes transformée de Fourier 0 bit 2bits 3bits et plus 1 bit les hautes fréquences sont peu énergétiques, il nest pas nécessaire dutiliser beaucoup de bits pour les coder

51 51 signaux aléatoires bidimensionnels les définitions et les propriétés fondamentales sont des extensions directes de celles qui sont données en traitement du signal monodimensionnel filtrage des signaux aléatoires autocorrélation stationnarité : invariance spatiale des propriétés statistiques moyenne, variance densité spectrale transformée de Fourier de la fonction dautocorrélation

52 52 bruit blanc : échantillons indépendants autocorrélation nulle sauf à lorigine m=n=0 (valeur de la variance) densité spectrale constante mais fluctuations importantes autour de cette moyenne constante x y x y u v x y domaine spatial domaine fréquentiel


Télécharger ppt "1 Echantillonnage, Filtrage numérique (convolution discrète) Analyse en fréquence (transformée de Fourier discrète) TRAITEMENT NUMERIQUE DES IMAGES."

Présentations similaires


Annonces Google