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1 3. Léchantillonnage des signaux Cest une nécessité pour le traitement numérique : On ne sait traiter que des données quantifiées Comment reconstituer.

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2 1 3. Léchantillonnage des signaux Cest une nécessité pour le traitement numérique : On ne sait traiter que des données quantifiées Comment reconstituer le signal à temps continu (« analogique ») à partir des échantillons ? Les conditions de Nyquist/Shannon quelques diapos dillustrationquelques diapos dillustration (mouvement stroboscopique) temps

3 2 image sous échantillonnée : moiré image haute définition illustration dun échantillonnage insuffisamment dense en numérisation dimage

4 3 Représentation correcte du signal échantillonné (cohérence avec les formalismes mathématiques) Cest une suite dimpulsions de Dirac modulées en amplitude ATTENTION : Ne pas confondre avec la sortie dun bloqueur dordre 0 (interprétation erronée courante en traitement dimages !) temps

5 4 3.1 Interprétation de léchantillonnage dans le domaine des fréquences - Conditions pour que linformation contenue dans le signal ne soit pas perdue : Théorème de Nyquist Shannon - Méthode de reconstruction du signal à temps continu : Interpolation idéale à partir des échantillons

6 5 T période fixe déchantillonnage Formalisation de lopération déchantillonnage en utilisant les impulsions de Dirac produit de x(t) et de s(t) s(t)s(t) x(t)x(t) y(t)y(t) x(t)x(t) t t t T T suite régulière dimpulsions de Dirac (peigne de Diracs)

7 6 Daprès la définition de limpulsion de Dirac, la transformée S( ) de s(t) est une fonction périodique de la fréquence : harmoniques de même amplitude aux fréquences multiples de 2 / T s(t)s(t) t S ( ) 2 / T T s(t) : séquence périodique dimpulsions de Dirac (peigne) ; Calcul de la transformée de Fourier du peigne dimpulsions

8 7 produit de x(t) et de s(t) Dans le domaine temporel dans le domaine des fréquences, le produit se traduit par une convolution transformée de Fourier Calcul de la transformée de Fourier du signal échantillonné

9 8 dans le domaine temporel : produit de x(t) par le peigne dimpulsions de Dirac s(t) dans le domaine des fréquences : convolution de leurs transformées de Fourier X( ) et de S( ) la convolution de X( ) par une impulsion ( - ) décalée de est X( - ) la convolution par le peigne dimpulsions de Dirac (somme dimpulsions décalées) est la somme des répliques décalées : la T.F. du signal échantillonné est la périodisation de la T.F. X( ) du signal x(t) X( ) ( - ) X( - ) X( - ) S( )

10 9 La transformée de Fourier du produit est une convolution on remplace S( ) par son expression daprès la définition de limpulsion de Dirac La transformée de Fourier dun signal échantillonné est la somme des répliques décalées de la transformée de Fourier du signal à temps continu Interprétation de léchantillonnage dans le domaine des fréquences X( - )

11 10 temps fréquence impulsions déchantillonnage T.F. de lopérateur déchantillonnage T.F. périodique du signal échantillonné signal échantillonné signal à temps continu T.F. du signal à temps continu

12 11 analyse de léchantillonnage effet stroboscopique comment observer un mouvement rapide périodique : en ne visualisant quune image sur N

13 12 fréquence faible Fréquence de la rotation 24 fois plus petite que la fréquence déchantillonnage Hz temps fréquence 0 1 s

14 13 Mouvement à fréquence positive (convention du sens des aiguilles)

15 14 Changement de signe : fréquence négative

16 15 fréquence moitié Fréquence de la rotation 2 fois plus petite que la fréquence déchantillonnage temps fréquence Le sens de rotation napparaît plus 0 1 s 24 Hz

17 16 Le sens de rotation napparaît plus

18 17 un peu en dessous de la fréquence d échantillonnage 23 Fréquence de la rotation légèrement plus petite que la fréquence déchantillonnage : le mouvement apparaît inversé temps fréquence 0 1 s 24 Hz

19 18 Au lieu de la fréquence, on observe la fréquence - ech qui est négative - ech voir leffet stroboscopique cinema télévision

20 19 références Effet stroboscopique : Plateau, von Stampfer (1830) Analyse du mouvement, Chronophotographie : Muybridge, Marey (1870) Cinématographe : Edison, Lumière (1890) Théorie de léchantillonnage pour les transmissions : Nyquist (1928), Shannon (1948) Consultez les différents sites qui leur sont consacrés ! Une illustration sonore du repliement

21 20 Joseph Antoine Ferdinand Plateau Simon von Stampfer persistance rétinienne

22 21 Jules Janssen, astronome, 1874 Le revolver photographique Etienne Jules Marey, 1881 Louis Aimée Augustin LE PRINCE 1888 Eadweard J. Muybridge, 1878 Roundhay Garden Scene

23 22 Reconstitution idéale du signal à temps continu éliminer les répliques par filtrage passe bas condition : elles ne doivent pas se chevaucher X( )=0 pour | |> fréquence déchantillonnage (signaux réels) plus généralement largeur du support inférieure à la fréquence déchantillonnage (signaux complexes) Théorème de Nyquist Shannon (whittaker, kotelnikov) remarque : phénomène de Gibbs si le filtrage crée une discontinuité dans la T.F du signal fréquence

24 23 La fréquence déchantillonnage est insuffisante les répliques de X ( ) se chevauchent X ( ) Y ( ) laugmentation de la fréquence déchantillonnage va supprimer ce chevauchement des répliques et permettre la reconstruction du signal à temps continu Y ( ) ech transformée de Fourier du signal échantillonné

25 24 réalisation du filtre passe bas dans le domaine temporel sa réponse impulsionnelle est la transformée de Fourier inverse du créneau (cas où la période échantillonnage vaut 1) fréquence

26 25 Réponse impulsionnelle du filtre : transformée inverse du créneau reconstitution du signal à temps continu le résultat du filtrage est une somme de fonctions h(t) décalées de nT ech et modulées en amplitude par les valeurs des échantillons x(nT ech ) temps

27 26 Aux instants déchantillonnage nT ech toutes les composantes de la somme sont nulles sauf une qui a pour valeur celle de léchantillon x(nT ech ) reconstitution du signal à temps continu temps

28 27 En pratique bloqueur dordre zéro, interpolation linéaire interpolation plus élaborée (splines, courbes de Bézier, etc...) Inconvénients : Coût, convergence lente temps

29 28 DISTORSION APPORTEE PAR DIFFERENTES INTERPOLATIONS RECONSTRUCTION EXACTE (SINC) BLOQUEUR (CRENEAU) INTERPOLATION LINEAIRE (TRIANGLE) temps fréquence ½ fréquence déchantillonnage période déchantillonnage

30 29 Echantillonnage dun signal sinusoïdal difficulté à interpréter lallure temporelle dun signal échantillonné « complexe » sauf parfois dans le domaine des basses fréquences (variations très lentes) Ceci est une sinusoïde de fréquence 0.97 (les conditions de Shannon sont vérifiées) on y voit plutôt le battement avec la 1/2 fréquence déchantillonnage et guère la forme originale temps

31 30 Quantification (p. ex. complément à 2), précision 128 bits (jeux video) permettent de mesurer (en angströms = m) le diamètre de lunivers visible (13,7×10 9 x 2 années-lumière (1,3×10 26 m) ) écart type de lerreur de quantification pour une précision q : 0.29xq offset q erreur de quantification après soustraction de loffset valeurs quantifiées donnée analogique

32 31 codage en virgule fixe entiers ? fractionnaires ? multiplication de 2 nombres de N bits : résultats sur 2.N bits On nen conserve que N poids fort : fractionnaires (entre -1 et +1) poids faibles : entiers x x x,,,,,,

33 32 codage en « double » IEEE 64 bits mantisse m 53 bits (avec signe)exposant E 11 bits x=m*2 E permet déviter les débordements au détriment de la précision attention à laddition de deux nombres dordres de grandeur très différents et à la soustraction de deux nombres très proches précision dynamique


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