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1 Du signal continu au numérique Alain Rakotomamonjy - Automne 2001 Échantillonnage, reconstruction et quantification.

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1 1 Du signal continu au numérique Alain Rakotomamonjy - Automne 2001 Échantillonnage, reconstruction et quantification

2 2 Introduction Recrudescence du traitement numérique. –TV numérique, –Enregistrement audio, video –téléphonie mobile. –... Processeurs de signaux. –flexibilité. –Rapidité. Dans ce cours, on se placera dans le contexte de signaux réels Il est nécessaire de comprendre comment se fait le passage du monde analogique à celui du numérique.

3 3 Pourquoi numériser? Calculateur s(t) Systèmes continus - données discrètes - codage en mot binaire - support continu - amplitude continu Interprète Interprète Opérateur d'échantillonnage et de quantification Échantillonnage : prélèvement sur le signal continu des valeurs de s(t) à des instants t n données. Généralement, les t n sont régulièrement espacés. Ce sera le cas étudié ici Quantification : transformation des valeurs s(t n ) en des mots "compréhensibles" par le calculateur.

4 4 Échantillonnage idéal Période d'échantillonnage T e Signal original x(t) Signal numérique x e (t)={x(nT e )} Échantillonneur Échantillonnage idéal : prélèvement pendant un temps infiniment court des valeurs de x(t) à t=nTe x(t) t t x e (t) t x Modélisation mathématique On a la propriété

5 5 TF du signal échantillonné Question : que devient le spectre du signal x(t) après échantillonnage idéal? Or d'après le théorème de Plancherel, on a Et donc Comme le produit de convolution est distributif, et que Le spectre de Xe (f) est donc celui de X(f) "périodisé" avec une période fréquentielle Fe.

6 6 Interprétation du spectre de x e (t) Soit x(t) un signal réel à spectre borné f |X(f)| Fmax -Fmax Si Question : que devient le spectre Xe(f) en fonction de Fe? f |X e (f)| 0 Fmax -Fmax 0 Fe -Fe f |X e (f)| Fmax-Fmax 0Fe -Fe Si (version zoomée) Fe n=0 n=1 n= -1 Les motifs élémentaires du signal périodiques sont disjoints Les motifs élémentaires du signal périodiques se recouvrent Repliement de spectres

7 7 Théorème de Shannon Question : quelle est la condition sur Fe pour que, à partir du signal échantillonné x e (t), on puisse reconstruire intégralement x(t)? Si Le motif principal (n=0) est égale au spectre de x(t), et comme les autres motifs sont disjoints, grâce à un filtre passe-bas idéal,il est possible d'isoler ce motif et donc de retrouver x(t). Si Le motif principal (n=0) est égale au spectre de x(t), mais, il est pollué par le recouvrement d'autres motifs. Il est impossible de retrouver le spectre de x(t). Énoncé du théorème Pour échantillonner un signal sans perte d'information, il faut que la fréquence d'échantillonnage Fe soit supérieure au double de la fréquence maximale du signal. Plus précisément, si on note F max la fréquence maximale du signal, il faut :

8 8 Exemples Te= 0.2 s Te= 0.65 s Exemple 1 : Fe= ????; t= 0:1/Fe:2; x=sin(2*pi*440*t); sound(x,Fe); On échantillonne un "La" à une fréquence Fe donnée

9 9 Échantillonnage réel En pratique, l'échantillonnage ne se fait pas sur un temps infiniment court, et en fait l'échantillon x(nT e ) s'écrit : t x(t) nT e h(t-nT e ) T On moyenne la valeur de x(t) pondérée par h(t-nT e ) sur l'intervalle T Expression du signal échantillonné réel Exemple Échantillonnage réel par moyennage simple On prend h(t) comme t x(t) nT e h(t-nT e ) (n+1)T e On peut également écrire

10 10 TF d'un signal échantillonné Question : que devient le spectre du signal x(t) après échantillonnage réel? L'expression du signal échantillonnée réellement est : On peut également l'écrire Donc, d'après les propriétés des TF, on a D'où Car H(-f)=H * (f) Interprétation - l'expression de X he (f) est identique à Xe(f) à un terme de pondération près. - le terme de pondération n'influe pas sur la condition de Shannon - le terme H*(f) introduit une distorsion sur le spectre par rapport au cas idéal. Cette distorsion est d'autant plus faible que H(f) est constant dans la bande [-Fe/2, Fe/2].

11 11 Exemple d'échantillonnage réel Soit x(t) un signal dont le spectre est On réalise un échantillonnage réel par moyennage simple donc D'après le résultat précédent, on a Fe=20 Hz X he (f) en fonction de X he (f)X (f)|H(f)|

12 12 Cas des signaux à support fréquentiel non borné Dans le cas des signaux à support fréquentiel infini, il est impossible de définir une notion de fréquence maximale. Solution Si on l'échantillonne à une cadence F e, il y a toujours repliement de spectre. On va numériser un signal x 1 (t), qui sera le résultat d'un filtrage passe-bas idéal du signal x(t) à support fréquentiel infini. On peut montrer que x 1 (t) est le signal, ayant un support fréquentiel entre [-Fe/2, Fe/2] qui se rapproche le mieux de x(t) au sens des moindres carrées. f |X(f)| Fe/2 -Fe/2 D'une manière général, afin de garantir la condition de Shannon, il faut utiliser un filtre passe-bas anti-repliement de fréquence de coupure inférieure à Fe/2.

13 13 La reconstruction 1/4 Question : On a échantillonné un signal x(t) en respectant le théorème de Shannon, comment fait on pour reconstruire x(t) à partir des échantillons? Interpolation de Shannon Si on respecte la condition de Shannon, pour reconstruire le signal, il suffit de prendre la TF inverse du motif de base de Xe(f). |X e (f)| Fmax -Fmax 0 Fe n=0 n=1 f Et donc Soit - La connaissance de tout les échantillons est nécessaire pour reconstruire le signal mathématique possible, mais physiquement irréalisable. - cet interpolation est non causale. Ce qui donne en utilisant les propriétés appropriées donc

14 14 On se propose ici d'étudier une méthode de reconstruction causale La reconstruction 2/4 Extrapolateur d'ordre 0 L'idée est simplement de maintenir l'échantillon x(nT e ) jusqu'à l'apparition de l'échantillon x(nT e +T e ). Le résultat obtenu est On cherche à caractériser les différences en étudiant la TF de x o (t) On peut réécrire soit Interprétation ? Extrapolateur d'ordre 0

15 15 La reconstruction 3/4 Interprétation de l'extrapolateur d'ordre 0 La TF du signal reconstruit par l'extrapolateur d'ordre 0 s'écrit Xo(f) = spectre du signal échantillonnée pondérée par la TF du signal porte de reconstruction 1- déformation de la bande centrale entre [-Fe/2, Fe/2] 2- présence de composantes hautes fréquences Atténuation de distorsions 1- augmentation de Fe 2- filtre passe-bas de fc < Fe/2

16 16 La reconstruction 4/4 D'une manière générale, on peut reconstruire le signal à partir des échantillons en utilisant l'équation générale Cela revient à chercher un système dont la réponse impulsionnelle est h(t), car Le problème consiste à trouver un filtre dont la réponse fréquentielle soit : - la plus constante possible dans la bande [-f max,f max ] - la plus faible possible au delà de la bande [-Fe/2, Fe/2]

17 17 La quantification Role Approximer chaque valeur du signal échantillonné x e (t) en un multiple entier d'une quantité élémentaire q appelée "pas de quantification" ou quantum. Si q est constant, on parle de quantification uniforme. Il existe principalement deux modes de quantification - par arrondi : si Alors à x e (t) on associe le code N ou la valeur Nq - par troncature : si Alors à x e (t) on associe le code N ou la valeur Nq Principe La quantification introduit une erreur modélisable mathématiquement, et que l'on peut considérer comme une variable aléatoire.

18 18 Conclusions La condition de Shannon garantit la non perte d'information, dans le cas idéal! Dans le cas pratique, il y a des distorsions dans le signal échantillonné - échantillonnage réel - reconstruction par extrapolation Des précautions sont à prendre afin que le signal échantillonné et le signal reconstruit à partir des échantillons soient le plus fidèle possible au signal original.

19 19 Bibliographie - Bellanger M, Traitement numérique du signal, Dunod, Picinbono B, Theorie des signaux et des systèmes, Dunod, Truchetet F, Traitement linéaire du siganl numérique, Hermes, 1998


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