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26/01/20141 Dans ce chapitre, nous allons étudier la réponse temporelle des systèmes élémentaires en automatique. Ces systèmes sont décris par des équations.

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1 26/01/20141 Dans ce chapitre, nous allons étudier la réponse temporelle des systèmes élémentaires en automatique. Ces systèmes sont décris par des équations différentielles ne dépassant pas le 2nd ordre. Leçon 3: Analyse Temporelle Des Systèmes Fondamentaux Introduction Les grandeurs dentrée typiques qui vont être exploitées sont limpulsion, léchelon et la rampe.

2 26/01/20142 I. Etude de lintégrateur Un intégrateur est un système dont léquation temporelle de sa réponse vérifie (K constante réelle) I.1 Réponses impulsionnelle Lorsque lentrée est une impulsion de Dirac, x(t) = (t), léquation de lintégrateur donne : Dou I.2 Réponses indicielle Lorsque lentrée est un échelon, x(t)=u(t), léquation de lintégrateur donne : Dou ? ? ? ?

3 26/01/20143 II. Systèmes du premier ordre Un système est dit du premier ordre ou "à constante de temps" si la relation entre son entrée et sa sortie est une équation différentielle du premier ordre, de la forme : constante de temps du système gain statique

4 26/01/20144 II.1 Exemples de systèmes * Circuit RC avec K = 1 et = RC ?? * Amortisseur ressort x(t) et y(t) étant les variations respectives des positions des points X et Y ?

5 26/01/20145 II.2 Réponse indicielle des systèmes du 1er ordre On applique à lentrée un échelon unitaire donc : après décomposition en éléments simples on obtient: doù Temps de réponse : Le temps de réponse à ±5% de k est tr = 3. Temps de montée : le temps de montée est le temps mis pour atteindre 90% de k. ? ? doù ?

6 26/01/20146 II.3 Réponse à une rampe Si lentrée vaut e(t) = a.t alors: après décomposition en éléments simples on obtient: doù remarquons que s(t) tend vers Ka(t ) (rampe retardée de ) ? ?

7 26/01/20147 II.4 Réponse impulsionnelle La réponse à une impulsion de Dirac e(t) = (t) E(p) = 1 ce qui nous donne La réponse temporelle devient La réponse impulsionnelle est une impulsion. Au bout de 3 la valeur résiduelle vaut 5%, le système est stable ?

8 26/01/20148 III. Systèmes du second ordre Un système du second ordre est décrit par une équation différentielle de la forme À conditions initiales nulles, la transformée de Laplace donne doù k : gain statique W 0 : pulsation propre non amortie coefficient damortissement ?

9 26/01/20149 III.1 Exemples de systèmes circuit RLC doù ce qui nous permet didentifier (pulsation propre dun circuit oscillant LC) (facteur damortissement proportionnel à R, plus R augmente plus lénergie se dissipe vite) ? ? ?

10 26/01/ amortisseur + masse + ressort Le théorème de la résultante dynamique nous permet décrire Ainsi ? Avec ? ? ?

11 26/01/ III.2 Analyse de la réponse La fonctions de transfert du système du second ordre est La décomposition de H(p) en fractions simples dépend des racines de ( /W 0 p + p 2 /W 0 2 ) ou bien (p W 0 p +W 0 2 ) * si >=1 : il sagit là de deux racines réelles et le système est hyper-amorti * Si < 1 : Les deux racines sont complexes et conjuguées, le système est sous-amorti ? Avec ? ? ?

12 26/01/ III.3 Réponse indicielle unitaire Cas où > 1 La réponse du système est apériodique. La décomposition en éléments simples donne : doù ? ?

13 26/01/ Cas où = 1 Cas de lamortissement critique, la réponse du système est toujours apériodique ainsi la réponse temporelle est : ?

14 26/01/ Cas où < 1 La réponse du système est oscillatoire amortie "pseudo-périodique". On a maintenant doù selon que lon choisisse ou lautre des cas ou on aura lun ou Avec

15 26/01/ Quatre paramètres sont intéressants : – le temps de montée tm – le temps du premier maximum tpic – le dépassement D exprimé en % de la valeur finale – la pseudo période Tp La réponse indicielle est donc oscillatoire amortie

16 26/01/ Calcul du temps de montée Le temps de montée tm est le temps que met le système pour atteindre, pour la 1 ère fois, la valeur finale K: A chaque valeur de k correspond un point dintersection avec la droite y(t) = K. Le temps de montée correspond donc au 1 er point dintersection est: ?

17 26/01/ Calcul du temps du premier maximum (ou temps de pic) Les valeurs de t correspondant aux maxima et aux minima correspondent aux instant pour les quels la dérivée de y(t) sannule. On obtient alors: Le premier dépassement correspond au 1 er maximum k=1 doù ?

18 26/01/ Calcul du dépassement : Calcul de la pseudo période Cest le temps observé entre deux maximums successifs Ainsi le dépassement pour cent est ? ?

19 26/01/ IV. Le minimum à apprendre Equation de lintégrateur Système du premier ordre - Temps de réponse à ±5%: tr = 3 - Temps de montée: (90% de k) tm = 2,3 Réponse à une rampe ? ? ? ? (Réponse indicielle) - Fonction de transfert - Allures des courbes Réponse à une impulsion

20 26/01/ Système du second ordre - si 1 : système hyper-amorti. - Si < 1 : système sous-amorti La réponse est apériodique La réponse est pseudo-périodique ? ? ? ? ? - Fonction de transfert Temps de montée ?

21 26/01/ Temps du premier maximum (ou temps de pic) Dépassements Pseudo période ? ? ? ?


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