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Introduction à lautomatisation -ELE3202- Cours #3: Réponse en fréquence, Conception dun système de commande & Exercices Enseignant: Jean-Philippe Roberge.

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1 Introduction à lautomatisation -ELE3202- Cours #3: Réponse en fréquence, Conception dun système de commande & Exercices Enseignant: Jean-Philippe Roberge Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

2 Cours # 3 Bref rappel du cours #2: Transformée unilatérale de Laplace: Utilisation des tables Transformée inverse par décomposition en fractions partielles (3 cas) Fonctions de transfert Simplification des diagrammes fonctionnels (Schéma blocs) Réponse temporelle des systèmes Nouveau : Présentation de lapplet « Exploration du plan-s » Réponse en fréquence Jean-Philippe Roberge - Janvier 20112

3 Cours #3 Conception de boucles de commande (1 ère partie) Analyse de la réponse en régime transitoire Analyse de la réponse en régime permanent Exercices: Issus des questionnaires dexamen Autres Jean-Philippe Roberge - Janvier 20113

4 Retour sur le cours #2 (I) Transformée unilatérale de Laplace 4 Rappel - la transformée unilatérale de Laplace est définie comme: Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

5 Retour sur le cours #2 (II) Transformée unilatérale de Laplace 5Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Nous avions présenté 8 propriétés: Et deux théorèmes: Valeur initiale: Valeur finale:

6 Retour sur le cours #2 (III) Transformée inverse & décomposition en F.P. 6Jean-Philippe Roberge - Janvier er cas – Les pôles de la fonction à décomposer sont réels et distincts: 2 e cas – Les pôles sont réels et complexes: 3 e cas – Les pôles sont réels et multiples:

7 Retour sur le cours #2 (IV) Fonctions de transfert 7Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 La fonction de transfert est la transformée de Laplace de la réponse du système à une impulsion de Dirac, avec conditions initiales nulles. Elle représente la sortie sur lentrée: Y(s)R(s)

8 Retour sur le cours #2 (V) Simplification des diagrammes fonctionnels 8 1) 2) 3) Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

9 Retour sur le cours #2 (VI) Simplification des diagrammes fonctionnels 9 4) Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

10 Retour sur le cours #2 (VII) Simplification des diagrammes fonctionnels 10 5) Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

11 Retour sur le cours #2 (VIII) Réponse temporelle dun système 11 Système normalisé du premier ordre (forme standard dun système de 1 er ordre): Position de lunique pôle dun système du premier ordre: En appliquant un échelon à lentrée du système, la valeur finale de la sortie du système est K: Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

12 Retour sur le cours #2 (IX) Réponse temporelle dun système 12 Système normalisé du deuxième ordre (forme standard dun système de 2 e ordre): Les pôles du système sont situés en: 1) Si : Système sur-amorti 2) Si : Système avec amortissement critique 3) Si : Système sous-amorti Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

13 Retour sur le cours #2 (X) Réponse temporelle dun système 13Jean-Philippe Roberge - Janvier ) 2) 3)

14 Retour sur le cours #2 (XI) Réponse temporelle dun système 14Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

15 Retour sur le cours #2 (XII) Réponse temporelle dun système 15Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

16 Retour sur le cours #2 (XIII) Exploration du plan s 16Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

17 Cours #3

18 Réponse en fréquence (I) 18 Introduction: Quest-ce que la réponse en fréquence? R: Le nom le dit, il sagit de la réponse dun système en régime permanent vis-à-vis un signal dentré qui varie à une certaine fréquence. Q: Pourquoi est-il intéressant de sintéresser à la réponse en fréquence? R: Il existe plusieurs raisons pour lesquelles il est intéressant et important de se soucier de la réponse en fréquence: Technique danalyse très facile à expérimenter en pratique (facile à réaliser, fiable…) Nous renseigne énormément aux niveaux des caractéristiques du système (surtout par rapport à la réponse transitoire) Permet même, dans certains cas, lidentification de la fonction de transfert dun système lorsquon ne la connait pas a priori. Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

19 Réponse en fréquence (II) Le concept de la réponse en fréquence 19 Important: En régime permanent, un système linéaire auquel on applique une entrée de type sinusoïdale génère aussi, à sa sortie, un signal sinusoïdal qui oscille à la même fréquence ω. En effet, considérons un système T(s) stable auquel on applique une entrée sinusoïdale: La sortie du système est donc: Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

20 Réponse en fréquence (III) Le concept de la réponse en fréquence 20 On sintéresse à la réponse temporelle du système, donc, en prenant les transformées inverses: En régime permanent: Il peut alors être démontré (nous allons en faire la preuve dans les prochains transparents) que lorsque t, le système est oscillant et : Donc, la sortie du système oscille en effet à la même fréquence ω, mais à une amplitude et une phase généralement différentes de celles de lentrée. Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

21 Réponse en fréquence (IV) Le concept de la réponse en fréquence 21 Prouvons maintenant que: Par décomposition en fractions partielles: Identifions maintenant les éléments K 1 et K 2 : Donc, on peut ré-écrire: Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

22 Réponse en fréquence (V) Le concept de la réponse en fréquence 22 Évaluons maintenant la transformée inverse de ce dernier résultat: ** Ce quil fallait démontrer Et puisque: On parvient à la conclusion suivante: La réponse en fréquence dun système est entièrement déterminée par: En effet, puisque: la réponse en régime permanent à une entrée sinusoïdale est alors sinusoïdale avec la même fréquence, avec une amplitude |G(jw)| fois celle de lentrée, et avec un déphasage de G(jw) par rapport à lentrée. Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

23 Réponse en fréquence (VI) Le concept de la réponse en fréquence 23Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Vu que la réponse en régime permanent est entièrement déterminée par la quantité complexe G(jw), on appelle G(jw) la réponse fréquentielle du système. La réponse fréquentielle est souvent représentée graphiquement sous forme de diagramme de Bode. Celui-ci comprend deux graphiques: Un graphique de |G(jw)| où |G(jw)| est en décibel (20 log 10 |G(jw)|) ; et Un graphique de G(jw) en degrés. Labscisse est à léchelle logarithmique pour ces deux graphiques.

24 Réponse en fréquence (VII) Le concept de la réponse en fréquence 24Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 La réponse en fréquence dun système G(s) peut être représenté dans le domaine fréquentiel par: Où: La norme et la phase sont donc données par: Attention: Dans le diagramme de Bode, lordonnée du premier graphique est en décibel, donc 20log 10 (|G(jw)|). Le deuxième graphique représente directement φ(w).

25 Réponse en fréquence (VIII) Système du premier ordre 25Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Considérons un système de premier ordre: La fréquence 1/ τ est la fréquence de coupure et le système est atténué de 3 décibels à cette fréquence. Pour les fréquences supérieures, la courbe |G(jw)| suit une asymptote de -20db/décade. Le déphasage passe de 0 à -90 degrés, en passant par -45 degré à la fréquence de coupure

26 Réponse en fréquence (IX) Système du premier ordre 26Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

27 Réponse en fréquence (X) Système du premier ordre 27Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

28 Réponse en fréquence (XI) Système du premier ordre 28Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Démonstration dun outil Matlab: Tf() ltiview

29 Réponse en fréquence (XII) Système du deuxième ordre 29Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Considérons un système du deuxième ordre: Que lon peut ré-écrire:

30 Réponse en fréquence (XIII) Système du deuxième ordre 30Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

31 Réponse en fréquence (XIV) Système du deuxième ordre 31Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

32 Réponse en fréquence (XV) Système du deuxième ordre 32Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Pour il y a une fréquence de résonance (|G(jw)| > 1) : et la valeur de |G(jw)| est donnée par: Ainsi, pour de petites valeurs de < 0.5, on peut utiliser lapproximation : Pour = 0.707, la fréquence w n est la fréquence de coupure avec une atténuation de 3 décibels. Pour les fréquences supérieures, la courbe |G(jw)| suit une asymptote de -40db/décade. Le déphasage passe de 0 à -180 degrés, en passant à -90 degré à la fréquence w n.

33 Réponse en fréquence (XV) Exemple 33Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

34 Réponse en fréquence (XVI) Exemple 34Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

35 Réponse en fréquence (XVII) Exemple 35Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

36 Réponse en fréquence (XVIII) Exemple 36Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

37 Réponse en fréquence (XIX) Exemple 37Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

38 Réponse en fréquence (XX) Exemple 38Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

39 Réponse en fréquence (XXI) Exemple 39Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

40 Réponse en fréquence (XXII) Exemple 40Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

41 Réponse en fréquence (XXIII) Exemple 41Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

42 Réponse en fréquence (XXIV) Exemple 42Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

43 Conception de boucles de commande (I) 43Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

44 Conception de boucles de commande (II) 44Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 La performance dun système de commande est décrite en termes de plusieurs types de critères: 1) La stabilité: Les pôles sont-ils tous à partie réelle négative (demi-plan gauche)? 2) Les spécifications de la réponse temporelle en régime transitoire: P: dépassement (en %), en anglais : overshoot T p : Temps de dépassement T s : Temps de réponse à 2% (ou 5%) K p : Constante derreur de position (vis-à-vis léchelon) K v : Constante derreur de vitesse (vis-à-vis rampe) 3) Les spécifications de la réponse fréquentielle: BW (Band Width): Bande passante M m : Gain à la résonance 4) Latténuation des perturbations

45 Conception de boucles de commande (III) 45Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

46 Conception de boucles de commande (IV) 46Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

47 Conception de boucles de commande (V) 47Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

48 Conception de boucles de commande (VI) 48Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

49 Conception de boucles de commande (VII) 49Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

50 Conception de boucles de commande (VIII) 50Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

51 Conception de boucles de commande (IX) 51Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

52 Conception de boucles de commande (X) 52Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

53 Conception de boucles de commande (XI) 53Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

54 Exercices (I) 54Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

55 Exercices (II) 55Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

56 Exercices (III) 56Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

57 Exercices (IV) 57Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

58 Exercices (V) 58Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011

59 Références 59 Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011 Modern Control Systems – Richard C. Dorf & Robert H. Bishop Control Systems Engineering – Norman S. Nise Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle Linear System Theory – Wilson J. Rugh Caractérisation et conception dune commande robuste pour un système de type pendule inversé - Jean-Philippe Roberge


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