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Introduction à lautomatisation -ELE3202- Cours #8: Le modèle détat Enseignant: Jean-Philippe Roberge Jean-Philippe Roberge - Mars 2011.

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1 Introduction à lautomatisation -ELE3202- Cours #8: Le modèle détat Enseignant: Jean-Philippe Roberge Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

2 Cours # 8 Retour sur le sondage du dernier cours Fin de la matière portant sur les systèmes continus: Le modèle détat Ses différentes formes: forme canonique commandable, forme canonique observable, forme canonique diagonale, forme canonique de Jordan Sa solution: la matrice de transition 2 Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

3 Cours # 8 Conception à laide du modèle détat: Critères de commandabilité / Observabilité dun système Commande par retour détats Régulation par placements de pôles Observateurs détats (Prochain cours) Conception pour le suivi de consigne (Prochain cours) Application de ces notions par lexemple du contrôleur dAstolfi 3 Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

4 4 Retour sur le sondage du dernier cours (I)

5 Retour sur le sondage du dernier cours (II) Points à améliorer selon vos commentaires: Présentations Powerpoint plus colorées Plus dexemples pratiques, Plus dexemples provenant de lindustrie, Plus dexercices faits par les étudiants plutôt que par le professeur. Faire plus de liens entre les exercices provenant des notes de cours et ceux présentés en classe. Passer plus de temps sur la théorie. Poser plus de questions aux étudiants sur la matière. Conflits avec le cours MEC3300 Jean-Philippe Roberge - Mars 20115

6 Cours #8

7 Modèle détat (I) 7 Pour faire lanalyse dun système et/ou la conception dun contrôleur, deux approches sont disponibles: La première est basée sur la fonction de transfert du système La deuxième est basée sur le modèle détat du système Question: Quest-ce que le modèle détat? R.: Tout comme la fonction de transfert, le modèle détat permet de représenter un système. Une des principales différences est que contrairement à la fonction de transfert, le modèle détat concerne le domaine temporel. Le principe du modèle détat est de représenté une équation différentielle dordre n par un système déquations différentielle du premier ordre. Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

8 Modèle détat (II) Exemple 1: Système masse-ressort avec friction 8 Par exemple, considérons un système masse-ressort avec frottement, où u(t) est la force verticale appliquée au système): Jean-Philippe Roberge - Mars 2011 Figure tirée de Modern Control Systems, Bishop & Al. Léquation de la dynamique de ce système est: qui est une équation différentielle dordre 2. En posant: On peut ré-écrire léquation de la dynamique tel que:

9 Modèle détat (III) Exemple 1: Système masse-ressort avec friction Jean-Philippe Roberge - Mars Et on peut donc directement ré-écrire les équations de la dynamique en un système déquations différentielles de premier ordre:

10 Modèle détat (IV) Exemple 1: Système masse-ressort avec friction Jean-Philippe Roberge - Mars Par ailleurs, ce système déquations différentielles du premier ordre peut évidemment se ré-écrire sous format matricielle: Supposons que la sortie est la position de la masse, alors on pourrait aussi écrire: Les équations générales du modèle détat sont donc: x est le vecteur détat, u est le vecteur des entrées et y est le vecteur des sorties

11 Modèle détat (V) Exemple 2: Pendule inversé sur chariot Jean-Philippe Roberge - Mars Soit le système suivant: Les équations de la dynamique de ce système (une fois linéarisé) se résument à: On veut stabiliser le pendule ET le chariot, les sorties de ce système sont donc langle du pendule (t) et la position x(t).

12 Modèle détat (VI) Exemple 2: Pendule inversé sur chariot Jean-Philippe Roberge - Mars En posant: On obtient les équations du système sous forme de modèle détats:

13 Modèle détat (VII) Dernier exemple: Circuit RLC Jean-Philippe Roberge - Mars Au tableau...

14 Modèle détat (VIII) Jean-Philippe Roberge - Mars

15 Modèle détat (IX) Définition: L état dun système est lensemble des variables (dites les variables détats) dont les valeurs, jumelées aux valeurs des entrées ainsi quaux équations de la dynamique dun système, déterminent létat futur ainsi que la sortie du système. Elles décrivent la configuration dun système à un moment précis et peuvent être utilisées pour déterminer la réponse future de ce système, étant donné la connaissance du signal dentrée et des équations décrivant la dynamique. Note importante: Les variables détats qui décrivent un système ne sont pas un ensemble unique, plusieurs ensembles de variables détats peuvent généralement être choisies. En effet, revisitons lexemple du circuit RLC (tableau) Jean-Philippe Roberge - Mars

16 Modèle détat (X) Aussi, il est assez simple de passer du modèle détat dun système (dans le domaine temporel) à la fonction de transfert du modèle (dans le domaine de Laplace) : Modèle détat: En appliquant la transformée de Laplace de chaque côté des équations: En ré-arrangeant et en considérant les conditions initiales nulles, pour les états: Jean-Philippe Roberge - Mars

17 Modèle détat (XI) Donc, en substituant cette expression dans léquation de la sortie: La fonction de transfert est donc: Par ailleurs, Donc les pôles de la fonction de transfert sont aussi les valeurs propres de la matrice A!! Jean-Philippe Roberge - Mars

18 Modèle détat (XII) Exemple dun système de deuxième ordre Jean-Philippe Roberge - Mars

19 Modèle détat (XIII) Exemple dun système de deuxième ordre Jean-Philippe Roberge - Mars

20 Modèle détat (XIV) Jean-Philippe Roberge - Mars

21 Modèle détat (XV) Vous voyez donc bien quun système na pas une représentation unique. Lorsque lon fait un tel changement de variable, on peut ré-écrire le système sous cette forme: Jean-Philippe Roberge - Mars

22 Modèle détat (XVI) Nous pouvons dailleurs nous convaincre que le nouveau système est le même que lancien en retrouvant la fonction de transfert: Jean-Philippe Roberge - Mars

23 Modèle détat (XVII) Bien quil existe une infinité de représentations détat pour une même fonction de transfert, lutilisation de certaines formes « standards » est privilégiée : La forme canonique commandable La forme canonique observable La forme canonique diagonale La forme canonique de Jordan Jean-Philippe Roberge - Mars

24 Modèle détat (XVIII) Forme canonique commandable Soit une fonction de transfert qui sécrit telle que: Une telle fonction peut se ré-écrire : Jean-Philippe Roberge - Mars

25 Modèle détat (XIX) Forme canonique commandable Jean-Philippe Roberge - Mars

26 Modèle détat (XX) Forme canonique commandable Jean-Philippe Roberge - Mars

27 Modèle détat (XXI) Forme canonique observable Jean-Philippe Roberge - Mars

28 Modèle détat (XXII) Forme canonique observable Jean-Philippe Roberge - Mars

29 Modèle détat (XXIII) Forme canonique observable Note: Jean-Philippe Roberge - Mars

30 Modèle détat (XXIV) Forme canonique diagonale Jean-Philippe Roberge - Mars

31 Modèle détat (XXV) Forme canonique diagonale Jean-Philippe Roberge - Mars

32 Modèle détat (XXVI) Forme canonique de Jordan Jean-Philippe Roberge - Mars

33 Modèle détat (XXVII) Forme canonique de Jordan Jean-Philippe Roberge - Mars

34 Solution des équations détat par Laplace (I) Il est possible de trouver aisément la solution des équations détat en utilisant Laplace. En effet, soit le système détat suivant (domaine temporel): En prenant la transformée de Laplace des deux côtés: Donc, la solution: Jean-Philippe Roberge - Mars

35 Solution des équations détat par Laplace (II) On peut écrire ce dernier résultat : Où: En prenant la transformée inverse de Laplace: La solution générale des équations détat est: Jean-Philippe Roberge - Mars Propriété 8: convolution temporelle Matrice de transition

36 Solution des équations détat par Laplace (III) Jean-Philippe Roberge - Mars

37 Solution des équations détat par Laplace (IV) Jean-Philippe Roberge - Mars

38 Solution des équations détat par Laplace (V) Jean-Philippe Roberge - Mars

39 Conception à laide du modèle détat (I) Commandabilité Jean-Philippe Roberge - Mars

40 Conception à laide du modèle détat (II) Observabilité Jean-Philippe Roberge - Mars

41 Conception à laide du modèle détat (III) Exemple – système masse-ressort avec friction Jean-Philippe Roberge - Mars Commandabilité: Observabilité:

42 Conception à laide du modèle détat (IV) Commande par retour détats Jean-Philippe Roberge - Mars

43 Conception à laide du modèle détat (V) Commande par retour détats Jean-Philippe Roberge - Mars

44 Conception à laide du modèle détat (VI) Commande par retour détats Jean-Philippe Roberge - Mars

45 Conception à laide du modèle détat (VII) Commande par retour détats Jean-Philippe Roberge - Mars

46 Conception à laide du modèle détat (VIII) Commande par retour détats Jean-Philippe Roberge - Mars

47 Conception à laide du modèle détat (IX) Commande par retour détats Jean-Philippe Roberge - Mars

48 Conception à laide du modèle détat (X) Commande par retour détats Jean-Philippe Roberge - Mars

49 Conception à laide du modèle détat (XI) Commande par retour détats Jean-Philippe Roberge - Mars

50 Jean-Philippe Roberge - Mars Application de ces notions - Exemple du contrôleur dAstolfi -

51 Contrôleur dAstolfi (I) [5] Jean-Philippe Roberge - Mars Dynamique Distance et angles (Pose) par rapport au but Dynamique de la pose par rapport au but

52 Contrôleur dAstolfi (II) [5] Jean-Philippe Roberge - Mars Dynamique de la pose par rapport au but

53 Contrôleur dAstolfi (III) [5] Jean-Philippe Roberge - Mars

54 Contrôleur dAstolfi (IV) [5] Jean-Philippe Roberge - Mars

55 Prochain cours Jean-Philippe Roberge - Mars Observateurs détats Début de la matière concernant le domaine non-continu (discret): Échantillonnage Transformée en z Choix dune fréquence déchantillonnage Bloqueur dordre 0

56 Références 56 [1]Modern Control Systems – Richard C. Dorf & Robert H. Bishop [2]Control Systems Engineering – Norman S. Nise [3]Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle [4]Linear System Theory – Wilson J. Rugh [5] Exponential Stabilization of a Wheeled Mobile Robot Via Discontinuous Control – A. Astolfi, March 1999 Jean-Philippe Roberge - Mars 2011


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