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Introduction à lautomatisation -ELE3202- Cours #5: Conception de contrôleur: lieu des racines & critère de stabilité de Routh Enseignant: Jean-Philippe.

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1 Introduction à lautomatisation -ELE3202- Cours #5: Conception de contrôleur: lieu des racines & critère de stabilité de Routh Enseignant: Jean-Philippe Roberge Jean-Philippe Roberge - Février 2011

2 Cours # 5 Retour sur le cours #4 Conception de contrôleur: Lieux des racines Critère de stabilité de Routh (1 ère partie): Démonstration générale sur les polynômes dordre n Exemple avec des polynômes dordre 3 et 4 (au tableau) 2 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

3 Un système de deuxième ordre sous forme normalisée (Laplace): Se traduit, dans le domaine temporel par la réponse indicielle: Le comportement de la réponse dun système de deuxième ordre est donc directement lié à ses paramètres ( ζ, ω ) Rappel du cours #4 (I) 3 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

4 Rappel du cours #4 (II) La performance dun système peut sexprimer selon certains critères de performance: Stabilité (les pôles sont-ils tous à partie réelle négative?) Dépassement P (en %), en anglais (« overshoot ») Le temps de dépassement Tp Le temps de réponse Ts à 2%, à 5% La constante derreur de position vis-à-vis léchelon (kp) La constante derreur de vitesse vis-à-vis la rampe (kv) La constante derreur daccélération vis-à-vis la parabole (ka) La bande passante BW (en anglais « bandwidth ») Le gain à la fréquence de résonnance Mm 4 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

5 Rappel du cours #4 (III) Temps de dépassement Tp: En dérivant lexpression de y(t): 5 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

6 Rappel du cours #4 (IV) Le dépassement P Il sagit simplement dévaluer y(Tp): Par conséquent: 6 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

7 Rappel du cours #4 (V) Le temps de réponse Ts: Encore une fois, en observant la réponse temporelle dun système de 2 ième ordre: On sintéresse au moment lors duquel lamplitude du sinus sera environ égale à 0.02 (pour la réponse à 2%) ou 0.05 (pour la réponse à 5%). 7 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

8 Rappel du cours #4 (VI) Lamplitude du sinus peut être approximée par : Donc: Temps de réponse à 2%: Temps de réponse à 5%: 8 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

9 Rappel du cours #4 (VII) Exemple dapplication de ces formules pour un système quelconque de deuxième ordre: Théoriquement, en appliquant les formules que nous venons de démontrer: 9 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

10 Rappel du cours #4 (VIII) En utilisant les outils tf() et ltiview de MATLAB: 10 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

11 Rappel du cours #4 (IX) Type du système et réponse en R.P. Soit un système représenté par le digramme fonctionnel général suivant: Si on sintéresse à la performance de ce système en tant que suiveur (suivi de consigne), on sintéresse donc à la fonction de transfert entre lerreur et lentrée: 11 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

12 Rappel du cours #4 (X) Type du système et réponse en R.P. 1) Si nous injectons un échelon unitaire à lentrée de ce système, alors: 2) Si nous injectons une rampe unitaire à lentrée de ce système, alors: 3)Dans la même veine, en appliquant une entrée parabole: 12 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

13 Rappel du cours #4 (XI) Type du système et réponse en R.P. Nous avions alors introduit la notion de « type du système », qui correspond en fait au nombre de pôle(s) nul(s) de G(s)=G 1 (s)G 2 (s). La notion de type est utile puisquelle permet entre autre de connaître immédiatement lerreur en R.P. dun système face à une entrée connue: Jean-Philippe Roberge - Février 2011

14 Soit: Avec: Alors, lerreur en régime permanent: Rappel du cours #4 (XII) Type du système et réponse en R.P. – Exemple 1 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

15 Donc lerreur en régime permanent se calcule directement à partir de la constante derreur de position (entrée échelon): Donc; Dans Simulink: Rappel du cours #4 (XIII) Type du système et réponse en R.P. – Exemple 1 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

16 Considérons le même système avec, cette fois-ci, une entrée de type rampe. Alors: Rappel du cours #4 (XIV) Type du système et réponse en R.P. – Exemple 1 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Bleu: Référence Vert: Sortie du système

17 Considérons le même système avec, cette fois-ci, une entrée de type parabolique. Alors: Rappel du cours #4 (XV) Type du système et réponse en R.P. – Exemple 1 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Bleu: Référence Vert: Sortie du système

18 Remplaçons maintenant le contrôleur par un intégrateur afin daugmenter le type de G(s): Rappel du cours #4 (XVI) Type du système et réponse en R.P. – Exemple 2 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

19 Avec le même contrôleur (intégrateur), essayons une entrée rampe unitaire: Rappel du cours #4 (XVII) Type du système et réponse en R.P. – Exemple 2 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Bleu: Référence Vert: Sortie du système

20 Avec le même contrôleur (intégrateur), essayons une entrée parabole: Rappel du cours #4 (XVIII) Type du système et réponse en R.P. – Exemple 2 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Bleu: Référence Vert: Sortie du système Erreur en fonction du temps

21 Considérons un nouveau système et remplaçons encore le contrôleur par cette fois-ci un double intégrateur afin daugmenter (encore) le type de G(s): Rappel du cours #4 (XIX) Type du système et réponse en R.P. – Exemple 3 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Bleu: Référence Vert: Sortie du système

22 Avec le même contrôleur (double intégrateur), essayons une entrée rampe unitaire: Rappel du cours #4 (XX) Type du système et réponse en R.P. – Exemple 3 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Bleu: Référence Vert: Sortie du système

23 Avec le même contrôleur (intégrateur), essayons une entrée parabole: Rappel du cours #4 (XXI) Type du système et réponse en R.P. – Exemple 3 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Bleu: Référence Vert: Sortie du système Erreur en fonction du temps

24 Soit maintenant un système affecté dune perturbation non-négligeable. On sintéresse à la performance du système (ici, lerreur en régime permanent) en tant que régulateur (rejet des perturbations). Donc, on cherche la fonction de transfert entre lerreur (sortie) et la perturbation (entrée): Conception de boucles de commande (XX) 24 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

25 Ainsi, pour une perturbation quelconque qui sexprime telle que: Lerreur en régime permanent, en utilisant le théorème de la valeur finale, sera: Donc, simplement par observation de cette dernière expression, lerreur en régime permanent sera: Conception de boucles de commande (XX) 25 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

26 Cours #5

27 Conception de contrôleur (I) 27 À la lumière de lanalyse que nous venons de faire sur la relation entre le type de G(s) et lerreur en régime permanent dun système suiveur ou régulateur, il est évident que pour améliorer la réponse dun système en régime permanent, il suffit simplement dinclure des intégrateurs dans G 1 (s) afin daugmenter le type du système, ou dinclure des gains K afin daugmenter le plus possible la constante derreur Kp, Kv ou Ka. Jean-Philippe Roberge - Février 2011

28 Conception de contrôleur (II) 28 Ce qui est moins évident est la manière daméliorer la performance en régime transitoire du système suiveur. Lanalyse du système normalisé du deuxième ordre fournit cependant des indications sur les positions des pôles qui donnent lieu au comportement désiré. Dans cette section, nous allons étudier la manière dont les pôles se déplacent en fonction de la structure et des paramètres du contrôleur. Ceci nous permettra de déplacer les pôles du système en boucle fermée de façon à obtenir la réponse désirée en régime transitoire. Jean-Philippe Roberge - Février 2011

29 Conception de contrôleur (III) Lieux des racines 29 Le fait dintroduire un contrôleur dans la boucle de commande nous donne des degrés de liberté au niveau du comportement du système en boucle fermée. Les différents gains associés au contrôleur permettent de changer la position des pôles du système en boucle fermée et donc, aussi de modifier le comportement du système en régime transitoire. Par exemple, considérons encore le système général suivant: Jean-Philippe Roberge - Février 2011

30 Conception de contrôleur (IV) Lieux des racines 30 Comme nous lavons déjà démontré, la fonction de transfert dun tel système sécrit tel que: Considérons maintenant un contrôleur de type proportionnel donc la fonction de transfert sécrit: Alors, la fonction de transfert du système se ré-écrit: Les pôles du polynôme caractéristique seront situés tel que: Donc: La position des pôles du système en boucle fermée est affectée par le paramètre K choisi par le concepteur! Jean-Philippe Roberge - Février 2011

31 Conception de contrôleur (V) Lieux des racines 31 Puisque les pôles du système en boucle fermée dépendent de K, il serait utile de pouvoir visualiser sur un graphique le déplacement des pôles du système en fonction de K: ce graphique se nomme le lieu des racines. Jean-Philippe Roberge - Février 2011

32 Conception de contrôleur (VI) Lieux des racines – Exemple tiré de [2] 32 Par exemple, voici la caméra ACS-2000-P1A CameraMan de la compagnie « Parker Vision »: Cette dernière suit le mouvement dun individu vêtu démetteurs infrarouges. Lenregistrement vidéo est donc guidé par le rayonnement infrarouge. Jean-Philippe Roberge - Février 2011

33 Conception de contrôleur (VII) Lieux des racines – Exemple [2] 33 Le diagramme fonctionnel de ce système sécrit comme suit: Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Coordonnées de lindividu Coordonnées de lindividu données par la caméra Amplificateur Coordonnées de lindividu Coordonnées de lindividu données par la caméra En fermant la boucle Où K=K 1 K 2

34 Conception de contrôleur (VIII) Lieux des racines – Exemple [2] 34 La fonction de transfert est donc: Lieux des racines dans Matlab: Jean-Philippe Roberge - Février 2011 K=0 K=25 Remarque: On voit donc quil est possible, dans ce cas-ci, dobtenir un système soit sous- amorti, soit en amortissement critique ou soit sur-amorti: il suffit simplement de bien choisir le gain K! Autre remarque: K=0 donne un système marginalement stable, ce qui est indésirable en pratique!

35 Conception de contrôleur (IX) Lieux des racines 35 À ce point, nous réalisons quune représentation graphique du lieux des racines dun système est très utile pour bien concevoir un contrôleur / boucle de commande. Attardons-nous maintenant à présenter une méthode qui permet de tracer à la main le lieu des racines, et ce, même pour des systèmes complexes. Supposons que G(s) sécrit comme suit: Les zi sont les zéros de la fonction de transfert, tandis que les pi sont les pôles. Jean-Philippe Roberge - Février 2011

36 Conception de contrôleur (X) Lieux des racines 36 Rappelons-nous que la fonction de transfert dun système en boucle fermée avec un contrôleur de type proportionnel est: Et donc que les pôles du système sont les valeurs de s telles que: Par contre, puisque « s » est complexe, cette dernière équation représente en fait deux équations. On pourrait penser à poser: Cependant, de manière générale, on utilise plutôt les notions damplitude et dangle. Jean-Philippe Roberge - Février 2011

37 Conception de contrôleur (XI) Lieux des racines 37 i) La relation damplitude: ii) La relation dangle: Ce système de deux équations étant équivalent à léquation originale, un point s se trouve sur le lieu des racines si et seulement sil répond à ces deux équations. Jean-Philippe Roberge - Février 2011

38 Conception de contrôleur (XII) Lieux des racines - Remarques 38 Étant donné un point qui appartient au lieu des racines, la relation damplitude donne la valeur du gain K qui donne lieu à ce pôle. On pourrait construire le lieu des racines à partir de ces relations par tâtonnements ; cependant, il existe un ensemble de règles, dites les règles dEvans, qui simplifient beaucoup la construction manuelle du lieu. On pourrait aussi construire le lieu des racines en utilisant la commande MATLAB rlocus (tel que démontré précédemment), mais les règles dEvans permettent dobtenir une bonne compréhension de la forme du lieu, compréhension qui est essentielle au choix de la structure du contrôleur ! Jean-Philippe Roberge - Février 2011

39 Conception de contrôleur (XIII) Règles dEvans 39 1) Nombre de branches: Le lieu des racines comprend un nombre de trajectoires qui est égal au nombre de pôles du système en boucle ouverte G(s). 2) Symétrie du lieu: Le lieu des racines est symétrique par rapport à laxe des réels. 3) Points de départ : Pour K = 0, les n branches commencent dans les pôles du système en boucle ouverte de G(s). 4) Points darrivée : Lorsque K, m des n branches se terminent dans les zéros de G(s). Jean-Philippe Roberge - Février 2011

40 Conception de contrôleur (XIV) Règles dEvans 40 5) Centre de gravité des asymptotes : Lorsque K, les n m autres branches tendent vers linfini, en sapprochant dasymptotes sous forme de lignes droites avec le point dintersection: Ce point dintersection est dit le centre de gravité des asymptotes. Les angles des asymptotes sont donnés par Jean-Philippe Roberge - Février 2011

41 Conception de contrôleur (XV) Règles dEvans 41 6) Branches du lieu appartenant à laxe réel : Un point s 0 sur laxe des réels appartient au lieu des racines si et seulement si la somme du nombre de zéros et du nombre de pôles qui se trouvent à la droite de s 0 est un nombre impair. Jean-Philippe Roberge - Février 2011

42 Conception de contrôleur (XVI) Règles dEvans Points de séparation ou points dentrée : Les points pour lesquels des branches du lieu des racines sintersectent sont donnés par les zéros de: Comme G(s) est de la forme : Alors, cela équivaut à écrire que: Jean-Philippe Roberge - Février 2011

43 Conception de contrôleur (XVII) Règles dEvans Angles de départ ou darrivée : À K = 0, les branches quittent les pôles avec un angle qui permet de respecter la relation dangle. Pour le calculer, il suffit de choisir un point près du pôle et de calculer la contribution des tous les angles sauf celle du pôle près du point. On calculera langle de départ afin de respecter la relation dangle. Ainsi: Jean-Philippe Roberge - Février 2011

44 Conception de contrôleur (XVIII) Règles dEvans Croisement de laxe des imaginaires : Si cela est pertinent, le gain et le point au croisement de laxe des imaginaires peuvent être trouvée en utilisant s = j ω dans léquation caractéristique ou en utilisant le critère de Routh (que nous verrons plus tard). Jean-Philippe Roberge - Février 2011

45 Conception de contrôleur (XIX) Règles dEvans – Exemple I 45 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

46 Conception de contrôleur (XX) Règles dEvans – Exemple I 46 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

47 Conception de contrôleur (XXI) Règles dEvans – Exemple II 47 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

48 Conception de contrôleur (XXI) Règles dEvans – Exemple II 48 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

49 Conception de contrôleur (XXII) Règles dEvans – Exemple III La photo et lexemple proviennent de [2] et de [5]. Voici le bras articulé ISAC (Intelligent Soft Arm Control) qui vise à aider les gens à capacité réduite. Le bras utilise une technologie nommée « rubbertuator » qui, en gros, est un actuateur pneumatique composé de tubes en caoutchouc qui se contractent sous pression et qui sallongent lorsque la pression est relachée. Jean-Philippe Roberge - Février

50 Conception de contrôleur (XXIII) Règles dEvans – Exemple III Jean-Philippe Roberge - Février Le diagramme fonctionnel représentant le contrôle de la position de la cuillère est représenté ci-dessous: Vous êtes en présence dun système dordre 5, vous voulez choisir un gain du contrôleur (K) qui placera les pôles du système selon ce que vous souhaitez. Vous tracez donc le lieux des racines en utilisant les règles dEvans. Rubbertuator Contrôleur Position actuelle de la cuillère Y(s) R(s) Position désirée de la cuillère

51 Conception de contrôleur (XXIV) Règles dEvans – Exemple III Jean-Philippe Roberge - Février En utilisant Matlab:

52 Conception de contrôleur (XXV) Critère de Routh-Hurwitz (1 ère partie) 52 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Lors des cours précédents, nous avons insisté sur le fait que pour quun système quelconque soit stable, les pôles de la fonction de transfert de ce dernier doit tous êtres à partie réelle négative (i.e.: demi-plan gauche du plan complexe). Dans certains cas, par exemple pour des fonctions de transfert dordre élevé, il peut être difficile de déterminer les pôles de la fonction de transfert dun système. Pour les systèmes dordre un et deux, les pôles de la fonction de transfert seront à partie réelle négative si tous les coefficients du polynôme caractéristique sont tous du même signe: très simple!

53 Conception de contrôleur (XXVI) Critère de Routh-Hurwitz (1 ère partie) 53 Jean-Philippe Roberge - Février 2011 Pour des système dordre trois et plus, il est toujours nécessaire que les coefficients soient positifs, mais cela nest pas suffisant. Le critère de Routh permet de vérifier la stabilité dun polynôme sans en calculer les racines! En effet, considérons le polynôme caractéristique dun systèeme quelconque :

54 Conception de contrôleur (XXVII) Critère de Routh-Hurwitz (1 ère partie) 54 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

55 Conception de contrôleur (XXVIII) Critère de Routh-Hurwitz (1 ère partie) 55 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

56 Conception de contrôleur (XXIX) Critère de Routh-Hurwitz (1 ère partie) 56 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

57 Conception de contrôleur (XXX) Critère de Routh-Hurwitz (1 ère partie) 57 Jean-Philippe Roberge - Février 2011

58 Conception de contrôleur (XXXI) Critère de Routh-Hurwitz (1 ère partie) Exemple Reprenons lexemple du bras articulé ISAC: En boucle fermée en prenant K=1: Jean-Philippe Roberge - Février Rubbertuator Contrôleur Position actuelle de la cuillère Y(s) R(s) Position désirée de la cuillère

59 Conception de contrôleur (XXXII) Critère de Routh-Hurwitz (1 ère partie) Exemple La table de Routh-Hurwitz est donnée ci-dessous: Conclusion: Avec un gain K=1, le système est stable puisquil ny a aucun changement(s) de signe dans la première colonne de la table de Routh-Hurwitz. Jean-Philippe Roberge - Février

60 Conception de contrôleur (XXXIII) Critère de Routh-Hurwitz (1 ère partie) Exemple Maintenant, en boucle fermée en prenant K=1500: La table de Routh-Hurwitz: Jean-Philippe Roberge - Février

61 Conception de contrôleur (XXXIV) Critère de Routh-Hurwitz (1 ère partie) Exemple La table de Routh-Hurwitz contient deux changements de signes, donc 2 pôles sont situés dans le demi-plan droit du plan complexe et cause linstabilité du système. En effet, les pôles sont: Jean-Philippe Roberge - Février

62 Références 62 [1]Modern Control Systems – Richard C. Dorf & Robert H. Bishop [2]Control Systems Engineering – Norman S. Nise [3]Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle [4]Linear System Theory – Wilson J. Rugh [5] Kara, A., Kawamura, K., Bagchi, S., and El-Gamal, M. Reflex Cibtrik if a Robotic Aid System to Assist the Physically Disabled. IEEE Control System, June 1992, pp Jean-Philippe Roberge - Février 2011


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