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Chapitre 6: Stabilité des systèmes bouclés linéaires R. Beguenane, UQAC, 2005/2006 6GEI630 : Systèmes Asservis Contenu du chapitre 6.1. Introduction 6.2.

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1 Chapitre 6: Stabilité des systèmes bouclés linéaires R. Beguenane, UQAC, 2005/2006 6GEI630 : Systèmes Asservis Contenu du chapitre 6.1. Introduction 6.2. Concept de stabilité 6.3. Critère de stabilité de Routh-Hurwitz 6.4. Stabilité relative des systèmes asservis bouclés 6.5. Stabilité des systèmes asservis à base de variable détat 6.6. Exemples de conception 6.7. Stabilité des systèmes bouclés en utilisant MATLAB 1/14

2 6.1. Introduction La stabilité des systèmes asservis bouclés est une issue importante pour lingénieur de contrôle. Un système bouclé instable est généralement non pratique. Doù le besoin de chercher des méthodes danalyse et de conception des systèmes stables. Un système stable: - Exhibe une sortie bornée en réponse à une entrée bornée. - Il est directement lié au lieu des racines déduit à partir de léquation caractéristique du Système bouclé. - La méthode Routh-Hurwitz est introduite comme moyen utile pour évaluer la stabilité des systèmes. - Cette technique nous permet de déduire le nombre des racines se trouvant dans la moitié droite du plan-s sans calculer les valeurs exactes de ces racines. Ces points seront vu durant ce chapitre, en plus de la notion de stabilité relative.

3 6.2. Concept de stabilité Un système stable est un système dynamique avec une réponse bornée à une excitation bornée.

4 Fonction de transfert en boucle fermée dun système linéaire La réponse impulsionnelle: Est léquation caractéristique dont les racines sont les pôles du système bouclé. Conclusion: pour obtenir une réponse bornée, k et m doivent être >0, i.e. les pôles du système bouclé doivent être dans la moitié gauche du plan-s, donc les pôles de la FT du système doivent avoir des parties réelles négatives. Condition nécessaire et suffisante.

5 Rappel: Réponses impulsionnelles correspondantes aux différentes locations des racines (pôles). NOTE: Les pôles conjugués ne sont pas représentés Système Marginalement stable

6 Le pont Tacoma Narrows (au Puget Sound, Washington, USA) au moment ou les oscillations ont Commencé. Le pont Tacoma Narrows au moment de la catastrophe. NOTE: Le pont était ouvert au trafic le 1 juillet Il oscillait à chaque fois que le vent apparaîtrait. Après 4 mois (i.e. 7 novembre 1940), un vent a produit des oscillations qui augmentait en amplitude jusquà la leffondrement du pont. Exemple dun système instable

7 6.3. Critère de stabilité de Routh-Hurwitz En multipliant les facteurs ensemble et en examinant de plus près, on remarque que les coefficients du polynôme a i doivent être du même signe si toutes les racines sont à gauche du plan-s. Aussi il est nécessaire que tout les coefficients soient non nuls pour que le système soit stable. Toutefois, ce sont des conditions nécessaires mais non suffisantes. En dautres termes, si ces conditions ne sont pas satisfaites, le système nest pas stable, mais linverse nest pas juste. Pour cela, il faut procéder autrement pour sassurer de la stabilité. Exemple Le système nest pas stable, alors que les coefficients du polynôme a i sont positifs. Le critère de Routh-Hurwitz est nécessaire et suffisant pour la stabilité des systèmes linéaires.

8 snsn a n a n-2 a n-4 … s n-1 a n-1 a n-3 a n-5 … s n-2 b n-1 b n-3 b n-5 … s n-3 c n-1 c n-3 c n-5 … s0s0 h n-1 Le critère de Routh-Hurwitz évalue le nombre de racines de q(s) avec partie réelle positive, égale au nombre de changements de signe dans la première colonne du tableau de Routh. Le critère de Routh-Hurwitz est nécessaire et suffisant pour la stabilité des systèmes linéaires.

9 Exemple 1 S3S3 1 2 s2s s1s s0s Le tableau de Routh montre un changement de signe deux fois, ce qui est confirmé par Conditions nécessaires satisfaites puisque tous les coefficients sont positifs, mais Exemple 2 S4S4 1 1 K s3s s2s2 K 0 s1s1 c s0s0 K 0 Pour K positif, les conditions nécessaires satisfaites puisque tous les coefficients sont positifs, mais

10 Exemple 3 s3s3 1 4 s2s2 K s1s1 (8-K)/2 0 s0s0 K 0 Pour 0

11 Exemple 4 s5s s4s4 2 1 s3s3 s2s2 1 s1s1 0 s0s0 1 0 Labsence de changements de signe indique que le système est faussement marginalement stable. Seulement la réponse impulsionnelle croit dans le temps comme t.sin(t+ ). Pourquoi? Indiquant des racines doubles sur laxe imaginaire. Car il ya des racines doubles (deux lignes de zeros). Les deux polynômes auxiliaires en s 2 et s 4 sont:

12 Exemple 5 s5s s4s s3s3 s2s s1s1 0 s0s0 0 Le polynôme auxiliaire en s 2 est: s3s3 1 s2s2 21 s1s s0s Système instable Contrôle dun micro robot à 6 pâtes

13 Exemple: Pour K=40 a < Exemple 6 Contrôle des robots soudeurs Contrôle de la position de soudage dans la fabrique des automobiles pour une réponse rapide et précise. s4s Ka s3s3 (K+6) s2s2 b 3 Ka s1s1 c3c3 s0s0 Ka Modèle mathématique: Équation caractéristique:

14 En général: Système dordre n On normalise avec Règle générale: On utilise le tableau suivant pour déterminer la condition de stabilité pour un système dordre inférieur à 7. Exemple On normalise en divisant par nÉquation CaractéristiqueCritère 2s 2 +bs+1b >0 3s 3 +bs 2 +cs+1bc-1 >0 4s 4 +bs 3 +cs 2 +ds+1bcd-d 2 -b 2 >0 5s 5 +bs 4 +cs 3 +ds 2 +es+1bcd+b-d 2 -b 2 e >0 6s 6 +bs 5 +cs 4 +ds 3 +es 2 +fs+1(bcd+bf-d 2 -b 2 e)e+ b 2 c-bd-bc 2 f-f 2 +bfe+cdf > 0


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