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Master - Automatique - Chap. III 1 Chapitre III : Description externe des systèmes linéaires invariants (SLI) III-1 Définitions III-2 SLI à temps continu.

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1 Master - Automatique - Chap. III 1 Chapitre III : Description externe des systèmes linéaires invariants (SLI) III-1 Définitions III-2 SLI à temps continu III-3 SLI à temps discret

2 Master - Automatique - Chap. III 2 Chapitre III : Analyse des systèmes linéaires invariants III-1 Définitions 1 Système xixi e s Système : Entité établissant un relation de cause à effet entre un signal dentrée e et un signal de sortie s Deux manières pour décrire les relations entre e et s xi : variables d'état Interne : On décrit létat dun système par n (ordre de système) variables internes x i (appelée variable détat) qui constituent le vecteurs détat : Pour un système donné le vecteur détat nest pas unique. Externe : Cest une approche des systèmes faisant intervenir les paramètres externes du systèmes (évidemment !), cest-à-dire e(t), s(t) et létat initial x(0). La sortie du système sécrit : La sortie du système sécrit : t 0 : instant initial Donc la sortie dépend de la configuration du système à t 0 (x(t 0 )) et de lensemble des valeurs prises par lentrée depuis t 0 (e(t 0,t)), ce qui est le cas pour une intégration.

3 Master - Automatique - Chap. III 3 2 Position de repos et origine de temps de toutes les variables Un système est au repos si sa sortie est dans un état permanent constant, donc si ses dérivées sont nulles. La position de repos constitue généralement lorigine des temps de toutes les variables du système. Pour un système dordre n, la sortie et ses (n-1) premières dérivées peuvent en générale constituer un jeu de variables détat. Par suite, en position de repos létat dun système est nul 3 Réponse forcée et Réponse libre Réponse forcée : Réponse libre : Système au repos 5 Linéarité Pour un système linéaire invariant (SLI) il y a séparabilité : Réponse = Réponse forcée + Réponse libre 4 Invariant La sortie est indépendante du temps Il existe la même définition par rapport aux conditions initiales (CI) Linéaire vis à vis des entrées et des CI

4 Master - Automatique - Chap. III 4 III-2 SLI à temps continu Les SLI sont descriptibles par une équation différentielle linéaire invariantes : En appliquant la TL : La deuxième TL est un peu plus compliquée car le système existait avant t=0 et produisait déjà une sortie à laquelle on commence à sintéresser à t=0. On a ici une expression particulière de létat initiale : Cependant on sintéresse plus aux propriétés et qualités intrinsèque dun système quau calcul de s(t). Aussi on va définir une représentation indépendante des conditions initiales : La réponse impulsionnelle ou la transmittance (domaine de Laplace) 1 Réponse Impulsionnelle et Transmittance ou Fonction de Transfert La Réponse Impulsionnelle f(t) est la réponse forcée à 0 dun système initialement au repos La Transmittance ou fonction de transfert H(p) est la TL de la réponse impulsionnelle. évidemment :

5 Master - Automatique - Chap. III 5 Remarque : La transmittance ne permet de calculer que des réponses forcées Les variables e(t 0 ) et s(t 0 ) (point de fonctionnement ou position de repos) doivent constituer lorigine de e(t) et s(t). Définition équivalente de la Transmittance : Réponse forcée dun système à une entrée e(t) : Pas de conditions initiales donc on a bien la réponse forcée Cas dun retard pur Dans léquation différentielle on trouve à la place de Donc un retard T fait apparaître dans F(p) le facteur e -p T. Forme nomalisée dune transmittance F(p) = rapport de deux polynômes en p à coefficient réels donc il y a des zéros et des pôles : Toutes les transmittances que nous manipulerons entreront dans le cadre suivant:

6 Master - Automatique - Chap. III 6 Exemple : Calcul de la transmittance dun moteur électrique à courant continu. 2 Analyse de la sortie forcée dun SLI causal : Stabilité Stabilité : Entrée bornée Sortie Bornée Un SLI est stable si pour un entrée bornée et non nulle alors il lui correspond une sortie bornée Conséquences sur la Réponse Impulsionnelle (RI) si la RI est absolument sommable Conséquences au niveau de la transmittance F(p) Comme nous lavons vu précédemment (voir II.4), la TL -1 sécrit : f(t) est absolument sommable si Re[p i ] < 0 car on est avec des signaux causals

7 Master - Automatique - Chap. III 7 Donc un SLI de transmittance F(p) est stable si tous les pôles de F(p) sont à partie réelle négative. Sil y a des pôles sur laxe imaginaire, il est dit juste oscillant). Le critère de Routh-Hurwitz permet de déterminer la stabilité dun système sans calculer les pôles (voir suite). La fonction de transfert F(p) est un rapport de deux polynômes en p. Les racines du dénominateur (pôles de la fonction de transfert) sont soit réelles, soit complexes conjuguées. La décomposition de F(p) en éléments simples est (si on suppose, pour simplifier létude, quil ny a pas de racines multiples) donc de la forme : Compte tenu de la forme de F(p) la solution temporelle f(t) est de la forme : On voit que : Si les parties réelles sont toutes négatives, alors la réponse 0 quand t, le système revient à sa position déquilibre, le système est stable. Si un des pôles réels est positifs, le systèmes est instable. Il est de type divergent exponentiel. Si un des pôles complexes est à partie réelle positive, le systèmes est instable. Il est de type oscillatoire divergent. Mise en évidence de l'influence de la position des pôles Si la fonction de transfert possèdent un terme de la forme alors 0 est un pôle double. Ce pole réel entraîne une solution temporelle de la forme qui tend donc vers linfini, le système est instable. Cas des pôles nuls et imaginaires purs Pôles réel double

8 Master - Automatique - Chap. III 8 Si la fonction de transfert possèdent un terme de la forme alors j est un pôle imaginaire pur double. La solution temporelle de la forme : Pôles imaginaire pur double Le système diverge là encore. Si la fonction de transfert possèdent un terme de la forme. Le système ne retourne pas dans position déquilibre, mais ne sen écarte pas non plus car Pôles réel simple Si la fonction de transfert possèdent un terme de la forme. La solution temporelle de la forme : Pôles imaginaire pur simple Le système est oscillant pur de pulsation. Il diverge pas mais oscille toujours. La sortie est donc bornée !. On dit que le système est juste oscillant.

9 Master - Automatique - Chap. III 9 En résumé:

10 Master - Automatique - Chap. III 10 Critères de stabilité Comme nous lavons vu précédemment, la stabilité dun système passe par la détermination des pôles de sa fonction de transfert (F(p)). Ce calcul peut être compliqué et long. Cest pourquoi nous donnons dans la suite deux règles rapides pour savoir si un système est stable ou non. La fonction de transfert peut sécrire : La stabilité de F passe par la résolution de léquation suivante : On peut démontrer quune condition nécessaire de stabilité est que tous les coefficients de D(p) soient du même signe. Cette condition devient suffisante pour les systèmes du premier et du second ordre. Critère de Routh-Hurwitz Ce critère permet détablir la stabilité dun système encore à partir des coefficients de son dénominateur. Il permet aussi de déterminer si le système est juste oscillant et dans le cas dun système instable, il donne le nombre de pôle à partie réelle positive.

11 Master - Automatique - Chap. III 11 Enoncé du critère : Si tous les éléments de la 1ère colonne (pivots) sont de même signe Stabilité et donc Re[pi] < 0 Sil y a changement de signe, il y a pôle à partie réelle >0 Instabilité Une ligne de zéros indique la présence de racines imaginaires pures et le caractère juste oscillant du système. Ces racines sont les zéros de léquation auxiliaire : Pour continuer le calcul on remplace cette ligne par : On forme le tableau suivant : DegréCoefficient Colonne des pivots Si lon trouve un pivot nul, on peut continuer en le remplaçant par. Les caractéristiques du système seront déduites en le faisant tendre vers 0.

12 Master - Automatique - Chap. III 12 Réponse forcée dun SLI stable La réponse dun système peut être décomposée en deux : Régime Libre : CI 0 et e = 0 Régime Forcé : CI = 0 et e 0 Le Régime Forcé est aussi décomposé en deux : Régime Naturel Régime Permanent Système Excitation Réponse Régime libre Régime Forcé Régime Naturel Régime Permanent CI 0 e = 0 CI = 0 e 0 Régime transitoire Préambule : Si lon part de létat de repos, cest notre cas, le régime transitoire nest composé que du régime naturel. Autre avantage il est possible de faire létude de la réponse dun système à laide de la transmittance car CI=0 Partie transitoire s t (t) Partie permanente s p (t)

13 Master - Automatique - Chap. III 13 Calcul de la sotie permanente dun SLI stable dans le cas dune excitation harmonique Soit un système de transmittance F(p) F(j ) est la TF de f(t) ou la TL prise pour p=j Intérêt de ce résultat F(j ) est le gain complexe à la pulsation Ce résultat fournit une méthode didentification (identification harmonique). On peut donc retrouver la transmittance en observant la réponse permanente en régime harmonique. La sortie permanente est du même type que la fonction dentrée.

14 Master - Automatique - Chap. III 14 Allure de la sotie transitoire dun SLI stable en fonction de la position des pôles de la transmittance Soit un système de transmittance F(p), on sait que le régime transitoire se calcul : Si F(p) possède une paire de pôles complexes Si F(p) possède un pôle réel simple

15 Master - Automatique - Chap. III 15 m : représente le facteur damortissement 0 : représente la pulsation caractéristique Domaine de P Re(p) Im(p) InstableStable j -j r + amorti- amorti + rapide - rapide Domaine de Z Re(Z) + rapide - rapide - amorti + amorti Système stable = pôles dans le demi plan de gauche de p Le système est dautant plus amorti que le pôle séloigne de laxe Im(p). Le système est dautant plus rapide que le pôle séloigne de laxe Re(p). Instable Stable Système stable = pôles à lintérieur du cercle unité Le système est dautant plus amorti que le pôle est près de lorigine O. Le système est dautant plus rapide que le pôle séloigne de laxe Re(Z) Influence de la position des pôles sur la rapidité et lamortissement dun système du deuxième ordre

16 Master - Automatique - Chap. III 16 3 Représentations graphiques Elles concernent les différentes représentations de Il y a trois représentations possibles a La représentation de Bode b La représentation de Nyquist ou dans le plan complexe c La représentation de Black Deux courbes : La Courbe obtenue sappelle le lieu de transfert, elle est orientée selon les croissants Im(F) Re(F) elle est orientée selon les croissants Remarque : Les deux dernières représentations sont obtenues à partir de Bode.

17 Master - Automatique - Chap. III 17 Exemple : Tracés des termes fondamentaux BodeNyquistBlack Premier ordre gain phase gain phase Im Re

18 Master - Automatique - Chap. III 18 Second ordre gain phase Im Re Retard pur gain phase Im Re 1

19 Master - Automatique - Chap. III 19 Second ordre m=0.4 m=1

20 Master - Automatique - Chap. III 20 Second ordre m=0.4 m=1

21 Master - Automatique - Chap. III 21 III-3 Les systèmes à temps discret : SLI Numériques, SLI Echantillonnés Les systèmes numériques ou purement discret transforment une suite déchantillons dentrée e(kT) en une suite déchantillons s(kT), par exemple : processeur effectuant un algorithme de filtrage numérique Les systèmes échantillonnés qui sont des systèmes physique donc des systèmes à temps continu mais dont la variable dentrée e(t) est générée par une suite déchantillons e(kT) issu dun processeur, et dont on ne prélève que des échantillons de sortie s(kT) à partir de s(t) aux même instants kT. Système Numérique e(kT) s(kT) Système Continu e(kT)s(kT)e(kT) CNA e(t) CAN s(t) Système échantillonné 1 SLI Numériques Réponse impulsionnelle : réponse forcée a une entrée 0, soit f(kT) la RI Le système sera invariant, si il répond à iT par f(kT-iT) Le système sera linéaire, si pour lexcitation suivante il répond par Réponse forcée : s(kT)=e(kT)*f(kT) Transmittance en Z : Réponse forcée Système Numérique 0 f(kT)

22 Master - Automatique - Chap. III 22 Il existe deux grandes familles de système numériques : Les RII (réponse impulsionnelle infinie) ou système récursifs obtenus par transposition analogique numérique Les RIF (réponse impulsionnelle finie) obtenus par filtrage passe-bas. Il ny a pas déquivalents analogique. En automatique on utilisera que les systèmes RII Systèmes RII ou systèmes récursifs Transposition analogique numérique de léquation différentielle : Transposons en numérique la dérivation : Cest une équation aux différences dordre n. Tout système RII peut être modélisé par cette équation

23 Master - Automatique - Chap. III 23 Transmittance des systèmes RII Prenons la transformée en Z des deux nombre en utilisant le théorème du retard : Rapport de Deux polynômes en Z Pour trouver la RI il suffit de faire la TZ -1 de F(Z) Pour faire la mise en œuvre (au niveau du processeur) dun tel système il suffit de transformer léquation aux différences en équation de récurrence en isolant léchantillon de sortie le plus récent Équation de récurrence A chaque instant kT on applique léquation de récurrence. Pour k=0 on applique les propriétés du signal dentrée qui est causal ce qui signifie que e -1 à e -m =0. Les n valeurs s -1 à s -n représentent les conditions initiales. Si le système est initialement au repos, alors on prend s -1 à s -n =0. Exemple : On suppose le système de transmittance : Déterminer léquation de récurrence, le système est initialement au repos. Puis donner la réponse à léchelon.

24 Master - Automatique - Chap. III 24 Causalité Stabilité Un système F(Z) est causal si sa réponse impulsionnelle (RI) est causal, donc si F(Z) sous sa forme polynomiale ne comporte pas de puissance positive de Z. En effet, puissance positive de Z avance dans le temps Causalité degré(N) degré(D) Ce qui a été dit pour les systèmes analogiques est transposable aux systèmes numériques RII F(Z) est la TL de la réponse impulsionnelle pour Z=e pT, les pôles p i de la transmittance doivent être à partie réelle <0, donc les pôles de F(Z), devront être tels que, cest-à-dire à lintérieur du cercle unité. Un système numérique causal est stable, si les pôles de sa transmittance en Z sont tous en module inférieurs à 1 Test de Stabilité On peut utiliser le critère de Routh Hurwitz dans la mesure où lon trouve un changement de variable qui fait correspondre au cercle unité en Z, un demi plan gauche en W, on utilise pour cela la transformée bilinéaire : En conclusion, on transforme F(Z) en F(W) et on applique le critère de Routh-hurwitz au dénominateur de F(W). Analyse de la sortie dun système numérique On peut transposer ce qui a été fait pour les systèmes analogique, aux système RII La réponse forcée se sépare en une réponse transitoire et une permanente :

25 Master - Automatique - Chap. III 25 Réponse permanente en régime harmonique Allure de la réponse transitoire en fonction de la position des pôle de F(Z) Pôle réel Z i =r Si 0 < r < 1Si –1 < r < 0 Pôle couple imaginaire conjugué + rapide - rapide - amorti + amorti Instable Stable périodique apériodique

26 Master - Automatique - Chap. III 26 Systèmes échantillonné Soit un système analogique de transmittance F(p) dont lentrée est fournie par un convertisseur numérique analogique CNA : F(p) e(kT)s(kT)e(kT) CNA e(t) CAN s(t) F(Z) F(p) e(kT)s(kT)e(kT) Interpolateur I(p) e(t)s(t) T Le signal e(t) est un signal quantifié résultant dune interpolation. Linterpolateur est, sauf cas exceptionnel, un bloqueur dordre zéro (cf I-3-2) B0B0 Réponse impulsionnelle du B 0 t 0 T On peut aussi écrire : On constate que la transmittance dun bloqueur est mixte en p et Z

27 Master - Automatique - Chap. III 27 F(p) ekek sksk B0B0 e(t)s(t) Calcul de F(Z) avec un B 0 ekek sksk s(t) xkxk La variable intermédiaire x(kT) est de nature échantillonnée ekek sksk s(t) xkxk Exemple : 1 er ordre échantillonné: T ekek sksk B0B0

28 Master - Automatique - Chap. III 28 On sait que : Cas dun système ayant un retard pur Tr On choisitT tel que Tr=mT avec m entier. Pour calculer la transmittance en Z il suffit donc de multiplier la transmittance en Z sans retard par Z -m.


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