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Chapitre 8 : Oscillations électriques dans un circuit RLC série.

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1 Chapitre 8 : Oscillations électriques dans un circuit RLC série

2 I Décharge dun condensateur dans une bobine : uRuR YAYA YBYB Doc n°1 1) Etude expérimentale :Voir TPφn°6

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4 2) Influence de lamortissement : 4 régimes possibles (1) et (2) : Lamortissement, dans un circuit RLC série en régime libre (sans apport extérieur dénergie), dépend de la résistance totale du circuit : Rt Rt = R + r.r. a. Régime pseudo-périodique : Celui-ci est observé quand lamortissement est faible cest à dire quand la valeur de R t est petite. On observe un signal périodique dont lamplitude des oscillations décroît au cours du temps. Doc n°2 R t (1) < R t (2) R t (2) > R t (1)

5 On appelle la période dun tel signal la pseudo-période T, temps qui sécoule entre deux valeurs maximales successives, elle est constante.

6 2) Influence de lamortissement : 4 régimes possibles (1) et (2) : Lamortissement, dans un circuit RLC série en régime libre (sans apport extérieur dénergie), dépend de la résistance totale du circuit : R t = R + r. a. Régime pseudo-périodique : Celui-ci est observé quand lamortissement est faible cest à dire quand la valeur de R t est petite. On observe un signal périodique dont lamplitude des oscillations décroît au cours du temps. Doc n°2 R t (1) < R t (2) T R t (2) > R t (1) T

7 On appelle la période dun tel signal la pseudo-période T, temps qui sécoule entre deux valeurs maximales successives, elle est constante. En effet, pseudo-période et non période car le phénomène nest pas réellement périodique (pour ça il faudrait que les amplitudes des oscillations soient constantes). b. Régime apériodique : Quand lamortissement est trop fort (valeur de R t trop grande) alors il ny a plus doscillations. Doc n°3

8 c. Régime critique : Il existe une valeur de Rt Rt pour laquelle on passe du régime pseudo-périodique au régime apériodique. Cette valeur de résistance est nommée résistance critique et le régime correspondant sappelle également le régime critique. d. Régime périodique : Si lamortissement est négligeable (ce qui ne peut exister en pratique pour un circuit libre), le système est le siège doscillations non amorties, le régime est alors périodique. Les oscillations sont de périodes T0.T0. Doc n°4 T0T0

9 3) Interprétation énergétique (6) : En enregistrant la tension uC uC et u R, on accède à lénergie emmagasinée dans le condensateur (1/2×C×u C ²) et à lénergie emmagasinée dans la bobine (1/2×L×(u R /R)²). a. Régime pseudo-périodique : Lénergie totale (E C +E L ) décroît au cours du temps, cette énergie étant progressivement dissipée par effet joules dans la résistance. Doc n°5 Il seffectue un transfert dénergie du condensateur dans la bobine puis de la bobine dans le condensateur et ainsi de suite. Quand E C est max alors E L est nulle et quand E C est nulle E L est max.

10 Doc n°5 On remarque aussi des paliers dans la décroissance de lénergie : en effet, la perte énergétique est due à leffet Joule dans la résistance de puissance R t ×i², et celle-ci est plus importante quand i est important donc quand la bobine emmagasine de lénergie ou quand elle la restitue. On remarque quen globalité, lénergie totale dans le circuit diminue exponentiellement. En effet, lors des « décharges » du condensateur et de la bobine, u C (t) et i(t) sont des exponentielles décroissantes.

11 b. Régime apériodique : Il y a uniquement un transfert dénergie du condensateur dans la bobine et dissipation de celle-ci dans le conducteur ohmique par effet Joule. E C décroît au cours du temps. c. Régime périodique : Alors la dissipation dénergie par effet Joule dans la résistance est négligeable, lénergie totale est constante et il y a un perpétuel transfert dénergie entre le condensateur et la bobine. II Etude de loscillateur non amorti (3) : i i uCuC uLuL Doc n°6 Soit un oscillateur composé dun condensateur préalablement chargé et dune bobine de résistance interne négligeable :

12 a. Etablissement de léquation différentielle : Daprès la loi des tensions (mailles) : Ainsi : u C + u L = 0 b. Vérification de la validité dune solution : Soit une solution de la forme : u C = U m ×cos (ω 0 t + φ) Avec U m, ω 0 et φ sont trois constantes à déterminer. Vérifions quelle satisfait bien à léquation différentielle :

13 Puis En remplaçant dans léquation différentielle : Cette relation doit être vraie quelque soit t ce qui impose : On appelle ω 0 la pulsation propre des oscillations électriques. Elle sexprime en rad.s -1.

14 c. Période propre des oscillations (4) : Elle est liée à la pulsation propre par la relation : On peut vérifier par analyse dimensionnelle que celle-ci est homogène à un temps. En effet : LC = L/R × RC et nous savons, daprès le chap6 et 7, que L/R et RC sont homogènes à un temps. On a donc LC homogène à un temps² et homogène à temps. Donc T 0 sexprime en s. Remarque : Dans le régime pseudo-périodique, la pseudo-période T est peu différente de la période propre T 0.

15 d. Détermination des deux autres constantes U m et φ (4) : Comme la fonction cosinus varie entre -1 et 1 ; la fonction u C varie entre U m et –U m. Ainsi U m est appelée amplitude de la tension u C, elle sera la tension maximale atteinte par u C. u C = U m ×cos (ω 0 t + φ) Rappelons que la solution de léquation différentielle à cette forme : Et à t = 0 on a u C (0) = U m ×cos (φ) ; φ est appelée phase à lorigine des dates, elle sexprime en radian. Ces deux constantes sont déterminées à laide des conditions initiales.

16 Remarque concernant la constante φ: u C (t=0) = Umu C (t=0) = U m ×cos (φ)doù u C (t=0) = 0u C (t=0) = U m ×cos (φ)doù

17 e. Expression de lintensité du courant :

18 III Etude de loscillateur amorti : entretien des oscillations (5) : 1) Apport dénergie : Un oscillateur électrique tel que nous lavons vu est amorti par dissipation dénergie par effet Joule dans le conducteur ohmique. Pour entretenir les oscillations dun circuit RLC libre, il faut apporter au circuit, par lintermédiaire dun dispositif, la même quantité dénergie qui a été perdue. Cest le rôle du dispositif dentretien. 2) Mise en évidence grâce au montage à résistance négative : 2 S 1k R0R0 1 F G 6V H ; 10 1 V de 10 à 200

19 On charge le condensateur (position 1) puis on le décharge dans le dipôle R,L (position 2 et 1) : les oscillations alors décroissent et deviennent nulles en une centaine de ms. Si on injecte alors le montage à résistance négative (position 2) et que lon règle R 0 à environ 80, on observe que les oscillations sont damplitude constante : on a compensé lénergie perdue par effet Joule dans le circuit. 3) Caractéristiques du circuit RLC entretenu : Lénergie perdue correspond à une puissance P J = R×i². Pour entretenir les oscillations, on doit alors insérer une source dénergie qui fournie la tension u S vérifiant : P S = u S ×i = P J = R×i² Ainsi la source doit fournir : u S = R×i

20 Comme il ny a plus damortissement, lénergie est constante (transfert dénergie du condensateur vers la bobine et inversement) : On créé une tension sinusoïdale de période :


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