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Correction des exercices Chapitre P6 Condensateur et dipôle RC.

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1 Correction des exercices Chapitre P6 Condensateur et dipôle RC

2 Amérique du Nord 2006 Le piège photo I/ Armement du dispositif 1. Le générateur impose la circulation du courant : du + vers le - à lextérieur du générateur. Larmature du haut se charge positivement : i(t) u R (t) u C (t) E +–+– R 0 1 q

3 Daprès la loi d'additivité des tensions: u C (t) + u R (t) = E(1) la loi d'Ohm donne: u R (t) = R.i(t) d'autre part i(t) = et q = C.u C (t) C étant constante, il vient i(t) = C donc u R (t) = R.C En reportant dans (1): u C (t) + R.C = E L'équation différentielle est bien de la forme u c (t) + = E Par identification, on peut déduire l'expression de la constante : = R.C Amérique du Nord 2006 Le piège photo I/ Armement du dispositif i(t) u R (t) u C (t) E +–+– R 0 1 q Équation différentielle vérifiée par u C (t) lors de la charge :

4 2. On a: i(t) = C. d'où l'équation aux dimensions:[C] = De même:u R (t) = R i(t)donne [R] = Donc:[ ] = [R] [C] = = [T] La constante est bien homogène à un temps. Amérique du Nord 2006 Le piège photo I/ Armement du dispositif

5 3. En régime permanent, u c (t) est constante: u c (t) = U C = Cte donc = 0 L'équation différentielle: u c (t) +. = E donne alors: u C (t) + × 0 = E Donc U C = E = 8,0 V. Amérique du Nord 2006 Le piège photo I/ Armement du dispositif

6 4. Montrer que l'expression u C (t) = A.(1 - ) est solution de l'équation différentielle à condition que … u C (t) = A.(1 – ) donc = Lexpression proposée pour u C (t) est donc solution de léquation différentielle Ssi : A.(1 – ) +. = E Donc Ssi A – A + A = E Donc SsiA = E. Amérique du Nord 2006 Le piège photo I/ Armement du dispositif

7 5. On remplace t = 5 dans lexpression de u C (t) proposée par lénoncé : u C (t) = E (1 - ) Pour t = 5 on a: u C (5 ) = E (1 – e –5 ) = 0,99E E Donc pour une durée égale à 5 on peut considérer que la charge du condensateur est totale. Amérique du Nord 2006 Le piège photo I/ Armement du dispositif

8 On évite lutilisation de la tangente à lorigine (peu précise !) On utilise lexpression donnée pour u C (t) Pour t =, u C ( ) = E.(1– e –1 ) = 0,63.E. La droite u C ( ) = 0,63 8,0 = 5,0 V coupe la courbe u C (t) en un point d'abscisse t =. Amérique du Nord 2006 Le piège photo I/ Armement du dispositif u C = 0,63E On détermine l'échelle du graphique 1 : 1,4 s 13,9 cm s 2,2 cm donc = 0,22s. Autre méthode : Pour t = ln 2, u C (t) = E / 2

9 La durée minimale t durant laquelle l'opérateur doit maintenir l'interrupteur en position 1 afin de réaliser la charge du condensateur est t = 5. Soit t = 5 0,22 = 1,1 s. Amérique du Nord 2006 Le piège photo I/ Armement du dispositif

10 1. A partir de cette équation différentielle … u C (t) + = E Donc = Amérique du Nord 2006 Le piège photo II / Méthode dEuler

11 2. u C (t+ t) = u C (t) + t (1) = (2) u C (t = 0,05s) = ???? (1) u C (0,05s) = u C (0) + t AN : u C (0,05s) = × 0,05 = 1,8 V Amérique du Nord 2006 Le piège photo II / Méthode dEuler

12 2. u C (t+ t) = u C (t) + t (1) = (2) = ???? (2) = AN : = = 28 V.s -1 Amérique du Nord 2006 Le piège photo II / Méthode dEuler

13 2. u C (t+ t) = u C (t) + t (1) = (2) u C (t = 0,10s) = ???? (1) u C (0,10s) = u C (0,05s) + t AN : u C (0,10s) = 1, × 0,05 = 3,2 V Amérique du Nord 2006 Le piège photo II / Méthode dEuler

14 2. u C (t+ t) = u C (t) + t (1) = (2) = ???? (2) = AN : = = 22 V.s -1 Amérique du Nord 2006 Le piège photo II / Méthode dEuler

15 3. On peut améliorer la précision en diminuant le pas de calcul t Linconvénient est que les calculs seront plus nombreux pour couvrir la même durée détude Amérique du Nord 2006 Le piège photo II / Méthode dEuler

16 L'énergie initialement emmagasinée par le condensateur doit être la plus importante possible. Or l'énergie électrique stockée par un condensateur de capacité C chargé par la tension E est : E stockée = ½.C.E² Pour que cette énergie soit la plus grande possible, il faut : - augmenter la valeur de la force électromotrice E du générateur idéal de tension, - et/ ou augmenter la valeur de la capacité C du condensateur. La valeur de la résistance R n'a aucun effet sur l'énergie stockée par le condensateur. Amérique du Nord 2006 Le piège photo III / Déclenchement du piège

17 1. u 1 : tension aux bornes du générateur u 1 est constante u 2 : tension aux bornes du condensateur La durée de la charge est dautant plus grande que la constante de temps = RC du circuit est élevée. Comme C est constant, la charge est dautant plus lente que R est élevée Asie 2009 Détermination de la capacité dun condensateur

18 R ( ) Courbe représentant u 1 Courbe représentant u 2 Asie 2009 Détermination de la capacité dun condensateur

19 2. La tangente à la courbe u 2 = u C = f(t), à la date t = 0 s, coupe lasymptote horizontale u 1 = E, à la date t =. Graphiquement, on lit = 0,28 s. Asie 2009 Détermination de la capacité dun condensateur

20 3. = RC Analyse dimensionnelle : voir exo précédent est proportionnelle à R, le coefficient de proportionnalité est C Asie 2009 Détermination de la capacité dun condensateur

21 4. On modélise la courbe = f(R) par une droite passant par lorigine. Le coefficient directeur de cette droite est égal à C. Soit le point K : (R K =1000 ; K = 0,18 s) C = C = = = 1,8 10 –4 F échelle : 1 carreau 0,02 s 1 carreau 100 R ( ) (s) K Asie 2009 Détermination de la capacité dun condensateur

22 Réunion 2004 Le stimulateur cardiaque 1. Charge du condensateur a) La durée de la charge est environ égale à 5. Dans le circuit de charge = r C C est faible puisque C = 470 nF soit 4,70 10 –7 F et la valeur de la résistance r est très faible, donc est proche de 0 s. Le condensateur se charge presque instantanément. vers le circuit de déclenchement SCHÉMA 1 pile spéciale r E C B A i 1K21K2 u C u R R

23 b) Réunion 2004 Le stimulateur cardiaque 1. Charge du condensateur vers Y A vers le circuit de déclenchement pile spéciale r E C B A i 1K21K2 u C u R R

24 c) Réunion 2004 Le stimulateur cardiaque 1. Charge du condensateur Charge du condensateur : u C augmente (très rapidement) Attention : ce phénomène nest pas instantané !!

25 d) i = Lorsque le condensateur est complètement chargé, u C est constante donc = 0 et i = 0 A il n'y a plus de courant qui circule. Réunion 2004 Le stimulateur cardiaque 1. Charge du condensateur r E C B A i 1K21K2 u C u R R q

26 a) signe de l'intensité i du courant lors de la décharge : les électrons accumulés sur larmature B la quittent pour aller vers A, le courant circule donc dans le sens contraire du sens positif : i < 0 D'après la loi d'Ohm: u R = – R.i (signe – car flèche i et flèche u R dans le même sens) q = C.u C i = u C = u R Réunion 2004 Le stimulateur cardiaque 2. Décharge du condensateur r E C B A i 2 u C u R R q i

27 b) u C = u R = – R.i Donc u C + R.i = 0 Doù u C + R C = 0 En divisant par RC : + u C = 0 En posant = R.C, on obtient finalement + u C = 0 Réunion 2004 Le stimulateur cardiaque 2. Décharge du condensateur

28 d) Réunion 2004 Le stimulateur cardiaque 2. Décharge du condensateur = = 0,8 s est labscisse du point dintersection entre la tangente à lorigine et laxe des abscisses R = = = 1,7 M

29 a) On lit : u limite = 2,1 V Par le calcul : u limite = E / e u limite = 5,7 / e = 2,1 V Les deux valeurs sont cohérentes Réunion 2004 Le stimulateur cardiaque 3. Décharge et battements du coeur u limite

30 b ) à t 1 : u C (t 1 ) = u limite Donc E = = E e – 1 Donc = - 1 Doù t 1 = c) t = t 1 = 0,8 s d) Nombre de battements du cœur par minute: Toutes les = 0,8 s 1 battement toutes les 60 s N battements N = = 75 battements par minute Réunion 2004 Le stimulateur cardiaque 3. Décharge et battements du coeur

31 Nvelle Calédonie 2008 Orage 1. Modélisation de léclair nuage-sol 1. D après la loi dadditivité des tensions : u C (t) + u r (t) = 0 (1) Daprès la loi dOhm : u r (t) = r i(t) Dautre part i(t) = avec q(t) = C u C (t) donc i(t) = C Donc : u r (t) = r i(t) = r C On reporte dans (1) en posant = r C : u C (t) + = 0 Finalement : K uCuC urur – q i C r + q Schéma électrique équivalent

32 3) Lexpression u C (t) = U. est solution de (1) si elle vérifie léquation (1) : Or : = = – U Calculons + u C (t) : + u C (t) = - U + U = 0 à tout instant La solution proposée est bien solution de léq différentielle Nvelle Calédonie 2008 Orage 1. Modélisation de léclair nuage-sol

33 Nvelle Calédonie 2008 Orage 2. Foudre et sécurité 1. i(t) = C = – C U = – C U = – Cette expression est bien de la forme i(t) = – I à condition que : I = constante positive

34 Nvelle Calédonie 2008 Orage 2. Foudre et sécurité 2. On a : i(0) = – I e 0 = – I i( ) = – I e - = 0 La seule courbe qui vérifie les deux conditions précédentes sur lintensité est la courbe A.

35 3. Nvelle Calédonie 2008 Orage 2. Foudre et sécurité Méthode pour déterminer : - on calcule i( ) = – I.e –1 = – 0,37. I = – 0,37 30 = –11 kA - on trace la droite horizontale qui coupe i(t) en un point dabscisse égale à. I = – 30 kA i( )=–0,37. I = 30 µs

36 3. Nvelle Calédonie 2008 Orage 2. Foudre et sécurité La durée approximative de la décharge est : t = 5. t = 5 30 = 150 µs. (réponse b).

37 4. E él = ½.C.u C ²: lorsque « le condensateur » est chargé : u C (t) = U doncE él = ½.C.U 2 alorsC = avec U = V (texte encadré « 100 millions de volts ») U = 1, V et E él = 5, J C = C = 1,0 10 –8 F = –9 = 10 nF. Nvelle Calédonie 2008 Orage 2. Foudre et sécurité


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