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Notions de fonction Initiation Ci-contre, une courbe dans un repère orthonormé. L axe des abscisses (l axe des « x ») est l axe horizontal. L axe des.

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2 Notions de fonction Initiation

3 Ci-contre, une courbe dans un repère orthonormé. L axe des abscisses (l axe des « x ») est l axe horizontal. L axe des ordonnées (l axe des « y ») est l axe vertical. A B C D Lorsque l on donne les coordonnées d un point, on donne d abord labscisse puis lordonnée. Le point A est de coordonnées: ( 2 ; 1 ) Le point B est de coordonnées: ( 1,5 ; -0,5 ) Le point C est de coordonnées: ( 0 ; 0,5 ) Le point D est de coordonnées: ( -1 ; -0,7 ) Notations et vocabulaire Cherche les coordonnées des points A, B, C et D.

4 On dit que: Soit f la fonction définie sur l intervalle [-1;3] ce qui veut dire que l on trace la fonction pour les « x »de -1 à 3 et que pour chaque valeur « x » de cet intervalle, il existe un unique f(x) correspondant. x f( x ) x est l antécédent de f(x) f(x) a pour antécédent x Notations et vocabulaire Images et antécédents x a pour image f(x) f(x) est l image de x ou encore: On dit que : ou encore:

5 Le maximum est la plus grande ordonnée d un point de la courbe On cherche le point de la courbe le plus « haut » On lit l ordonnée de ce point : c est le maximum On dit que 1 est le maximum de f On peut préciser: il est atteint pour x = -1 Notations et vocabulaire

6 Le minimum est la plus petite ordonnée d un point de la courbe On cherche le point de la courbe le plus « bas » On lit l ordonnée de ce point : c est le minimum On dit que -1 est le minimum de f On peut préciser: il est atteint pour x = 0 Notations et vocabulaire

7 Soit f la fonction définie sur [-1,2 ; 2,2] par f(x) = x Ce qui signifie que l on va calculer des images pour les valeurs de « x » comprises entre -1,2 et 2,2. Et voilà la formule que l on va utiliser pour les calculs. Calculer une image

8 Soit f la fonction définie sur [-1,2 ; 2,2] par f(x) = x Calculer l image de 0. Ce qui signifie calculer f(0). f(x) = x f(0) = = 0 - 1= - 1 f(0) = -1 Calcul de f(0): Réponse: l image de 0 est -1. ou Calculer une image

9 Soit f la fonction définie sur [-1,2 ; 2,2] par f(x) = x Calculer l image de 1,3. f(x) = x f(1,3) = 1, = 1,69 - 1= 0,69 f(1,3) = 0,69 Calcul de f(1,3) : Réponse: l image de 1,3 est 0,69. ou Essayez de trouver la réponse avant de cliquer Calculer une image

10 Soit f la fonction définie sur [-1,2 ; 2,2] par f(x) = x Calculer l image de -1,1. f(x) = x f(-1,1) = (-1,1) = 1, = 0,21 f(-1,1) = 0,21 Calcul de f(-1,1) : Réponse: l image de -1,1 est 0,21. ou Essayez de trouver la réponse avant de cliquer Attention: Attention: il est indispensable de mettre des parenthèses autour de -1,1. Calculer une image

11 Soit g la fonction définie sur [-10 ; 10] par g(x) = x 2 + 2x - 6 Calculer l image de 4 par la fonction g. g(x) = x 2 + 2x - 5 g(4) = x4 - 6 = = 18 g(4) = 18 Calcul de g(4) : Réponse: l image de 4 est 18. ou Essayez de trouver la réponse avant de cliquer g(4) Calculer une image

12 Soit g la fonction définie sur [-10 ; 10] par g(x) = x 2 + 2x - 6 Calculer l image de -5 par la fonction g. g(x) = x 2 + 2x - 5 g(-5) = (-5) 2 + 2x(-5) - 6 = = 9 g(-5) = 9 Calcul de g(-5) : Réponse: l image de -5 est 9. ou Essayez de trouver la réponse avant de cliquer g(-5) Calculer une image

13 Soit f la fonction définie sur [-1,2 ; 2,2] par f(x) = x Nous avons calculé précédemment les images de -1,1 ; 0 et 1,3. On peut présenter ces résultats dans un tableau de valeurs x f(x) -1,101,3 f(1,3) = 0,69 f(0) = -1 f(-1,1) = 0,21 0,210,69 Remplir un tableau de valeurs Parfois, on écrit « y » à la place de « f(x)

14 Déterminer graphiquement l image de 0,5 par la fonction f. On place 0,5 sur l axe des abscisses On recherche l ordonnée du point de la courbe qui a pour abscisse 0,5 0,5 -0,8 Ici, on trouve -0,8 Réponse: L image de 0,5 par f est -0,8 Déterminer graphiquement une image Essayez de trouver la réponse avant de cliquer

15 Déterminer graphiquement l image de 3 par la fonction f. On place 3 sur l axe des abscisses On recherche l ordonnée du point de la courbe qui a pour abscisse 3 3 0,6 Ici, on trouve 0,6 Réponse: L image de 3 par f est 0,6 Essayez de trouver la réponse avant de cliquer Déterminer graphiquement une image

16 Déterminer graphiquement l image de 2,5 par la fonction f. On place 2,5 sur l axe des abscisses On recherche l ordonnée du point de la courbe qui a pour abscisse 2,5 2,5 0,5 Ici, on trouve 0,5 Essayez de trouver la réponse avant de cliquer Réponse: Déterminer graphiquement une image L image de 2,5 par f est 0,5

17 Déterminer graphiquement l image de 0 par la fonction f. On place 0 sur l axe des abscisses On recherche l ordonnée du point de la courbe qui a pour abscisse 0 0 Réponse: Ici, on trouve -1 Essayez de trouver la réponse avant de cliquer Déterminer graphiquement une image l image de 0 par f est -1

18 Déterminer graphiquement le ou les antécédents éventuels de 1 par la fonction f. D abord un peu de syntaxe... Il se peut que 0,5 ait un UNIQUE antécédent Il se peut que 0,5 ait PLUSIEURS antécédents Il se peut que 0,5 n ait AUCUN antécédent Déterminer graphiquement un antécédent

19 On place 1 sur l axe des ordonnées puis... On recherche l abscisse du point de la courbe qui a pour ordonnée 1 Ici, on trouve -1 Réponse: Déterminer graphiquement le ou les antécédents éventuels de 1 par la fonction f. Déterminer graphiquement un antécédent Essayez de trouver la réponse avant de cliquer L antécédent de 1 par f est -1

20 On place 0,5 sur l axe des ordonnées On recherche la ou les abscisses du ou des points de la courbe qui ont pour ordonnée 0,5 2,5 0,5 Ici, on trouve -0,9 et 2,5 Réponse: Déterminer graphiquement un antécédent Déterminer graphiquement le ou les antécédents éventuels de 0,5 par la fonction f. Les antécédents de 0,5 par f sont -0,9 et 2,5 -0,9 Essayez de trouver la réponse avant de cliquer

21 On place -0,5 sur l axe des ordonnées On recherche la ou les abscisses du ou des points de la courbe qui ont pour ordonnée -0,5 0,8 -0,5 Ici, on trouve -0,5 et 0,8 Essayez de trouver la réponse avant de cliquer Réponse: Déterminer graphiquement le ou les antécédents éventuels de -0,5 par la fonction f. -0,5 Déterminer graphiquement un antécédent Les antécédents de 0,5 par f sont -0,5 et 0,8

22 On place 1,5 sur l axe des ordonnées On recherche l abscisse du point de la courbe qui a pour ordonnée 1,5 1,5 Il n y a aucun point de la courbe qui convienne !!! Essayez de trouver la réponse avant de cliquer Réponse: Déterminer graphiquement le ou les antécédents éventuels de 1,5 par la fonction f. Déterminer graphiquement un antécédent 1,5 n a pas d antécédent par la fonction f

23 Déterminer graphiquement le maximum de la fonction f. On cherche le point de la courbe le plus « haut » On lit l ordonnée de ce point ; c est le maximum 3 est le maximum de f On peut préciser:il est atteint pour x = 1 3 Réponse: Essayez de trouver la réponse avant de cliquer Déterminer graphiquement un maximum

24 Déterminer graphiquement le maximum de la fonction f. On cherche le point de la courbe le plus « haut » On lit l ordonnée de ce point ; c est le maximum 1 est le maximum de f On peut préciser:il est atteint pour x = 2 2 Réponse: Essayez de trouver la réponse avant de cliquer Déterminer graphiquement un maximum

25 Déterminer graphiquement le maximum de la fonction g. On cherche le point de la courbe le plus « haut » On lit l ordonnée de ce point ; c est le maximum 3 est le maximum de g On peut préciser:il est atteint pour x =1 3 Réponse: Essayez de trouver la réponse avant de cliquer Déterminer graphiquement un maximum

26 Déterminer graphiquement le minimum de la fonction f. On cherche le point de la courbe le plus « bas » On lit l ordonnée de ce point ; c est le minimum -1 est le minimum de f On peut préciser:il est atteint pour x = -1 Réponse: Essayez de trouver la réponse avant de cliquer Déterminer graphiquement un minimum

27 Déterminer graphiquement le minimum de la fonction f. On cherche le point de la courbe le plus « bas » On lit l ordonnée de ce point ; c est le minimum -1,2 est le minimum de f On peut préciser:il est atteint pour x = 0 Réponse: Essayez de trouver la réponse avant de cliquer Déterminer graphiquement un minimum

28 Déterminer graphiquement le minimum de la fonction g. On cherche le point de la courbe le plus « bas » On lit l ordonnée de ce point ; c est le minimum -1 est le minimum de g On peut préciser:il est atteint pour x =1 Réponse: Essayez de trouver la réponse avant de cliquer Déterminer graphiquement un minimum

29 Déterminer quand la fonction f est décroissante. On regarde quand la courbe « descend » puis... On donne l intervalle ou (les intervalles) des valeurs des abscisses correspondantes -1,2 l intervalle [-1,2 ; 1] Réponse: La fonction f est décroissante sur l intervalle [ -1,2 ;1 ] 1 Déterminer le sens de variation Essayez de trouver la réponse avant de cliquer

30 Déterminer quand la fonction f est croissante. On regarde quand la courbe « monte » puis... On donne l intervalle ou (les intervalles) des valeurs des abscisses correspondantes 3,2 l intervalle [ 1 ; 3,2 ] Réponse: La fonction f est croissante sur l intervalle [ 1 ; 3,2 ] 1 Déterminer le sens de variation Essayez de trouver la réponse avant de cliquer

31 Déterminer les variations de la fonction f. 3,2 Réponse: La fonction f est croissante sur l intervalle [1 ; 3,2 ] -1,2 La fonction f est décroissante sur l intervalle [ -1,2 ;1 ] et 1 C est déterminer sur quels intervalles la fonction f est décroissante, sur quels intervalles la fonction f est croissante, sur quels intervalles la fonction f est constante. Déterminer le sens de variation

32 Déterminer les variations de la fonction f. 3,2 -1,2 1 On peut réunir ces informations dans un tableau de variation. x f(x) -1,2 1 3,2 3,8 3,8 Déterminer le sens de variation

33 Déterminer le sens de variation de la fonction f tracée ci-contre La fonction f est décroissante sur les intervalles [ 3 ;5 ] et [ 11 ; 13 ] la fonction f est constante sur l intervalle [ 9 ;11 ] et La fonction f est croissante sur les intervalles [ 0 ;3 ] et [ 5 ; 9 ] Réponse: C est déterminer sur quels intervalles la fonction f est décroissante, sur quels intervalles la fonction f est croissante, sur quels intervalles la fonction f est constante. Déterminer le sens de variation Essayez de trouver la réponse avant de cliquer

34 Donner le tableau de variations de la fonction f tracée ci-contre x f(x) Ici on indique les valeurs des abscisses où les variations changent là on indique par des flèches les variations de la fonction Enfin les valeurs des ordonnées atteintes par la courbe Déterminer le sens de variation Essayez de trouver la réponse avant de cliquer

35 Déterminer quand la fonction f est décroissante. On regarde quand la courbe « descend » On donne l intervalle ou (les intervalles) des valeurs des abscisses correspondantes -3 3 l intervalle [-3;-1] l intervalle [1;3] Réponse: La fonction f est décroissante sur les intervalles [ -3 ;-1 ] et [ 1 ; 3 ] Essayez de trouver la réponse avant de cliquer Déterminer le sens de variation

36 Déterminer quand la fonction f est croissante. On regarde quand la courbe « monte » On donne l intervalle ou (les intervalles) des valeurs des abscisses correspondantes l intervalle [-1;1] Réponse: La fonction f est croissante sur l intervalle [ -1 ;1 ] Essayez de trouver la réponse avant de cliquer Déterminer le sens de variation

37 Déterminer le sens de variation de f. Réponse: La fonction f est décroissante sur les intervalles [ -3 ;-1 ] et [ 1 ; 3 ] la fonction f est croissante sur l intervalle [ -1 ;1 ] et -3 3 Essayez de trouver la réponse avant de cliquer Déterminer le sens de variation

38 Donner le tableau de variation de f. Réponse: -3 3 Essayez de trouver la réponse avant de cliquer Déterminer le sens de variation x f(x) 1 3 1

39 Soit la fonction f (x) = x Tracé de la fonction Pour tracer une fonction il faut placer des points dans un repère. Un point est désigné par 2 coordonnées : - une abscisse (horizontale ) représentée par la lettre x - une ordonnée (verticale ) représentée par f(x) ou y

40 Comment déterminer les coordonnées des points ? On complète un tableau de valeurs Ici on choisit des valeurs de x f (x) = x pour x entre –2 et 2

41 Comment déterminer les coordonnées des points ? On complète un tableau de valeurs x Ici on choisit des valeurs de x f (x) = x pour x entre –2 et 2

42 Comment déterminer les coordonnées des points ? On complète un tableau de valeurs x f(x)f(x) f (x) = x pour x entre –2 et 2 Ici on calcule les valeurs de f (x)

43 Comment déterminer les coordonnées des points ? On complète un tableau de valeurs x f(x)f(x) f (x) = x pour x entre –2 et 2 On choisit des valeurs de x faciles -2-0,500,512

44 Comment déterminer les coordonnées des points ? On complète un tableau de valeurs x -2-0,500,512 f(x)f(x) f (x) = x pour x entre –2 et 2 On calcule les valeurs de la deuxième ligne

45 Comment déterminer les coordonnées des points ? On complète un tableau de valeurs x -2-0,500,512 f(x)f(x) f (x) = x pour x entre –2 et 2 On remplace le x par –2 dans la formule

46 Comment déterminer les coordonnées des points ? On complète un tableau de valeurs x -2-0,500,512 f(x)f(x) f (x) = x pour x entre –2 et 2 f (-2) = (-2) = 5

47 Comment déterminer les coordonnées des points ? On complète un tableau de valeurs x -2-0,500,512 f(x)f(x) f (x) = x pour x entre –2 et 2 f (-2) = (-2) = 5 5

48 Comment déterminer les coordonnées des points ? On complète un tableau de valeurs x -2-0,500,512 f(x)f(x)5 f (x) = x pour x entre –2 et 2 On remplace x par –1 dans la formule

49 Comment déterminer les coordonnées des points ? On complète un tableau de valeurs x -2-0,500,512 f(x)f(x)5 f (x) = x pour x entre –2 et 2 f(-1) = (-1) = 2

50 Comment déterminer les coordonnées des points ? On complète un tableau de valeurs x -2-0,500,512 f(x)f(x)5 f (x) = x pour x entre –2 et 2 f(-1) = (-1) = 2 2

51 Comment déterminer les coordonnées des points ? On complète un tableau de valeurs x -2-0,500,512 f(x)f(x)52 f (x) = x pour x entre –2 et 2 f(-0,5) = (-0,5) = 1,25

52 Comment déterminer les coordonnées des points ? On complète un tableau de valeurs x -2-0,500,512 f(x)f(x)52 f (x) = x pour x entre –2 et 2 f(-0,5) = (-0,5) = 1,25 1,25

53 Comment déterminer les coordonnées des points ? On complète un tableau de valeurs x -2-0,500,512 f(x)f(x)52 1, f (x) = x pour x entre –2 et 2

54 Comment tracer la courbe ? x -2-0,500,512 f(x) 521, f (x) = x On trace un repère On indique léchelle x f(x)f(x) 0 0, ,5 On place les points

55 x -2-0,500,512 f(x) 521, f (x) = x x 0 1 On place ce point de coordonnées -2 et 5 0,5 1 -0,5 f(x)f(x)

56 x -2-0,500,512 f(x) 521, f (x) = x x 0 1 0,5 1 -0,5 -2 f(x)f(x) On place ce point de coordonnées -2 et 5

57 x -2-0,500,512 f(x) 521, f (x) = x x 0 1 0,5 1 -0, f(x)f(x) On place ce point de coordonnées -2 et 5

58 x -2-0,500,512 f(x) 521, f (x) = x x 0 1 0,5 1 -0,5 f(x)f(x) On place ce point de coordonnées -1 et 2

59 x -2-0,500,512 f(x) 521, f (x) = x x 0 1 0,5 1 -0,5 f(x)f(x) On place ce point de coordonnées -1 et 2

60 x -2-0,500,512 f(x) 521, f (x) = x x 0 1 0,5 1 -0,5 f(x)f(x) 2 On place ce point de coordonnées -1 et 2

61 x -2-0,500,512 f(x) 521, f (x) = x x 0 1 0,5 1 -0,5 f(x)f(x) On place ce point de coordonnées –0,5 et 1,25

62 x -2-0,500,512 f(x) 521, f (x) = x x 0 1 0,5 1 -0,5 f(x)f(x) On place ce point de coordonnées –0,5 et 1,25

63 x -2-0,500,512 f(x) 521, f (x) = x x 0 1 0,5 1 -0,5 f(x)f(x) 1,25 On place ce point de coordonnées –0,5 et 1,25

64 x -2-0,500,512 f(x) 521, f (x) = x x 0 1 On fait cela pour tous les points 0,5 1 f(x)f(x)

65 x -2-0,500,512 f(x) 521, f (x) = x x 0 1 On fait cela pour tous les points 0,5 1 f(x)f(x)

66 x -2-0,500,512 f(x) 521, f (x) = x x 0 1 On fait cela pour tous les points 0,5 1 f(x)f(x)

67 x -2-0,500,512 f(x) 521, f (x) = x x 0 1 On fait cela pour tous les points 0,5 1 f(x)f(x)

68 x -2-0,500,512 f(x) 521, f (x) = x x 0 1 On relie les points à la main 0,5 1 f(x)f(x)

69 Résolution déquations de type f(x) = m

70 Placer le nombre m sur laxe des ordonnées

71 Placer le nombre m sur laxe des ordonnées

72 Tracer la droite déquation y = m

73 Tracer la droite déquation y = m

74 Chercher les points dintersection de la droite avec la représentation graphique de la fonction f

75 Chercher les points dintersection de la droite avec la représentation graphique de la fonction f

76 Les solutions de léquation sont les abscisses de ces points

77 Les solutions de léquation sont les abscisses de ces points f(x) = m, a donc graphiquement trois solutions


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