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Burduja Petru-Cristian Classe a XI-a A Prof. coordonateur : Cristina Anton Data:26 septembrie 2011 Colegiul National Mihai Eminescu, Iasi -D é finition.

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1 Burduja Petru-Cristian Classe a XI-a A Prof. coordonateur : Cristina Anton Data:26 septembrie 2011 Colegiul National Mihai Eminescu, Iasi -D é finition -Repr é sentation graphique -Propriétés: -points dextremum -les fonctions composées -la variation -la parité -la periodicité

2 Lexique la fonction f : A B f d é finie sur A ayant valeurs en B A = ensemble de depart (de d é finition) B = ensemble darriv é e la variable x f ( x) = limage de x par la fonction f lantecedent f : fonction de vers lintervalle courbe repr é sentative fonctions trigonometriques ( sinus, cosinus, tangente ) parité periodicité ( f. periodique) periode T, LA periode T0 sens de variation fonction composée limite a gauche / a droite signe intervalle ouvert tableau de variation représentation graphique fonction affine

3 Example dapplication pratique de fonctions: On teste le voiture dans limage et on mesure la vitesse et le temps necesaire pour arriver a une certaine vitesse pour determiner la performance.

4 D é finition: Une fonction f est connue par son expression f(x). Pour determiner l'image d'un nombre a par une fonction f on calcule f(a) en remplacant tous les x de l'expression par le nombre a, puis on calcule en respectant les ordres de priori té. On note f : x y ou y = f ( x); On lit fonction f qui a x associe y ou y egale f de x. - Df est lensemble de définition de la fonction f; - x est un antécédent de y par la fonction f; - y=f(x)est limage de x par la fonction f; Soit D, un ensemble de nombres réels. D é finir une fonction f sur lensemble Df, cest associer a chaque réel x de Df un unique réel y. Example: Soit f la fonction defini sur [-10, 15] par f(x)=2x+1; Lensemble de definition de f est [-10,15]; On associe le nombre 1 a 2 x 1 + 1=3; Ceci note f(1)=3.

5 Une fonction f est connue par sa courbe. Pour lire l'image de a par f : on repère la graduation a sur l'axe des abscisses, on trace la verticale jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée du point de la courbe. Dans un repère du plan, la courbe représentative de la fonction f est l´ensemble des points M (x, y ) tels que : l'abscisse x décrit l´ensemble de definition D ; l'ordonnée y est l´image de x par f. D é finition:

6 Pour lire les antécédents du nombre b on repère la graduation b sur l'axe des ordonnées, puis on trace la droite horizontale parallèle à l'axe des abscisses : si la droite coupe la courbe, on lit les abscisses de ces points d'intersection. L'ensemble de définition de la fonction est l'ensemble des abscisses des points de la courbe, comme si on " aplatissait " la courbe sur l'axe des abscisses. Le maximum d'une fonction f sur un ensemble D est la plus grande image f(x) atteinte pour un nombre a de D: pour tout réel x de D, on a f ( x) f (a). D é finition:

7 Le minimum d'une fonction f sur un ensemble D est la plus petite image f(x) atteinte pour un nombre a de D: pour tout réel x de D, on a f ( x) f (a). Un extremum est un minimum ou un maximum. Ce nombre est lu en ordonnée et il doit etre atteint. Ainsi l'infini ne peut pas etre unextremum. Soit u et v deux fonctions definies respectivement sur les ensembles Du et Dv. La fonction obtenue en appliquant successivement u, puis v, est la composée de u par v, notée v u. La fonction v u est definie sur l'ensemble D des réels x de Du tels que u(x) appartienne a Dv et par (v u)(x)=v(u(x)). D é finition:

8 Soit f une fonction d é finie sur un intervalle I. Dire que f est une fonction croissante sur I signifie que, pour tout couple (a;b) de réels de I : si a

9 Dire que f est une fonction décroissante sur I signifie que, pour tout couple (a;b) de réels de I :si a

10 x y Le sens de variation dune fonction f est resum é par un tableau. Exemple : Le tableau de variation de la fonction f définie par f(x)=1/2x^2 +3*x-1.5

11 Soit u une fonction définie sur un intervalle I et v une fonction definie sur un intervalle J qui contient tous les réels u(x) avec x dans I. Si les deux fonctions u et v sont strictement monotones et ont le meme sens de variation respectivement sur I et J, alors la fonction v u est strictement croissante sur I. Si les deux fonctions u et v sont strictement monotones et ont des sens de variation contraires respectivement sur I et J, alors la fonction v u est strictement décroissante sur I. La fonction f est dite paire lorsque, pour tout nombre x qui a une image par f : - x a une image par f et f ( x) = f ( x). Dire quune fonction est paire equivaut a dire que sa courbe représentative relativement a un repère admet laxe des coordonnées comme axe de symetrie. Example: la fonction cosinus est paire. D é finition:

12 La fonction f a pour période T signifie que, pour tout nombre x, on a f ( x +T ) = f ( x). Observation:La fonction sinus a la periode T=2 π ; La fonction f est dite impaire lorsque, pour tout nombre x qui a une image par f : - x a une image par f et f ( x) = f ( x). Dire quune fonction est impaire equivaut a dire que sa courbe représentative relativement a un repère admet lorigine du repère comme centre de symetrie. Par example, la fonction sinus est impaire: D é finition:

13 Determiner la parit é du functions suivantes: Determiner les fonctions v u et u v dans le cas suivant: Determiner lensemble de d é finition pour:

14 Source principale: Programs utilisées: Microsoft Office 2007; Mathtype 6.7; Graph 4.3; Paint;


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