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Département de mathématiques1 Concavité et points d'inflexion Jacques Paradis Professeur.

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1 Département de mathématiques1 Concavité et points d'inflexion Jacques Paradis Professeur

2 2 Département de mathématiques Plan de la rencontre Élément de compétence Concavité vers le haut et le bas Lien entre la concavité et la dérivée seconde Nombre critique et point dinflexion Tableau de variation relatif à f Exemples et exercice Test de la dérivée seconde

3 3 Département de mathématiques Élément de compétence Reconnaître et décrire les caractéristiques d'une fonction représentée sous forme d'expression symbolique ou sous forme graphique Utiliser la dérivée et les notions connexes pour analyser les variations d'une fonction et tracer son graphique Relier la concavité dune fonction au signe de sa dérivée seconde Déterminer les intervalles de concavité vers le haut et de concavité vers le bas Déterminer les points dinflexion dune fonction Construire un tableau de variation relatif à f Donner une esquisse du graphique dune fonction Utiliser le test de la dérivée seconde pour les extremums dune fonction

4 4 Département de mathématiques Concavité (1 de 2) bas haut Soit une fonction f définie sur un intervalle I, f est concave vers le haut sur I si la courbe de f est au-dessus de ses tangentes dans cet intervalle. f est concave vers le bas sur I si la courbe de f est au-dessous de ses tangentes dans cet intervalle. Un point (c, f (c)) est un point dinflexion de f si la courbe change de concavité en ce point.

5 5 Département de mathématiques Concavité (2 de 2) Concavité et signe de la dérivée seconde Concavité f (x) > 0 sur ]a,b[ f(x) concave vers le haut sur [a,b] f (x) < 0 sur ]a,b[ f(x) concave vers le bas sur [a,b] m=0 m>0 f(x) est croissante, doù sa dérivée f > 0 m>0 m=0 m<0 f(x) est décroissante, doù sa dérivée f < 0

6 6 Département de mathématiques Remarque : Le point (c, f(c)) est un point dinflexion de f ssi f(x) change de signe lorsque x passe de c à c +. Nombre critique de f : une valeur c du domaine de f pour laquelle f(c) = 0 ou f(c) nexiste pas. (Un point dinflexion potentiel) Nombre critique / Point dinflexion

7 7 Département de mathématiques x f(x) Tableau de variation relatif à f Valeurs de x Valeurs de f(x) Borne inférieure Borne supérieure Points dinflexion Nombres critiques Pour une fonction définie sur un intervalle :

8 8 Département de mathématiques Exemple 1 Déterminer les intervalles de concavité vers le haut, de concavité vers le bas et les points dinflexion de la fonction f(x) = x 4 – 10x x – 12. Étape 1 : Donner le domaine de la fonction Étape 2 : Trouver f(x) et factoriser, si possible Étape 3 : Identifier les nombres critiques de f Étape 4 : Compléter le tableau de variation relatif à f Étape 5 : Donner une esquisse du graphique de f x - 05 f(x) f(x) inf

9 9 Département de mathématiques Exercice 1 Déterminer les intervalles de concavité vers le haut, de concavité vers le bas et les points dinflexion de la fonction f(x) = x x x + 40 définie sur [-5,2 ; 4,6]. x -5,2-224,6 f(x) f(x) 49, ,3 inf

10 10 Département de mathématiques Exemple 2 Déterminer les intervalles de concavité vers le haut, de concavité vers le bas et les points dinflexion de la fonction f(x) = x -202 f(x) +0 f(x) inf

11 11 Département de mathématiques Test de la dérivée seconde (1 de 2) Soit une fonction f et c un nombre critique de f tel que f(c) = 0. 1) Si f(c) < 0, alors (c, f(c)) est un point de maximum relatif de f. 2) Si f(c) > 0, alors (c, f(c)) est un point de minimum relatif de f. 3) Si f(c) = 0 ou nexiste pas, alors le test ne fonctionne pas et il faut revenir au test de la dérivée première.

12 12 Département de mathématiques Test de la dérivée seconde (2 de 2) Exemple : Soit f(x) = 2x 3 – 0,25x 4 – 0,2x 5, déterminer les points de maximum relatif et les points de minimum relatif de f à laide du test de la dérivée seconde. Étape 1 : Trouver f(x) et factoriser, si possible Étape 2 : Identifier les nombres critiques de f ayant f(x) = 0 Étape 3 : Trouver f(x) (Inutile de factoriser) Étape 4 : Évaluer f(x) pour les nombres trouvés à létape 2 Étape 5 : Utiliser le test de la dérivée première si le test de la dérivée seconde ne permet pas de conclure x0 f(x)+0+ 0

13 13 Département de mathématiques Devoir Série 6.2, page 246, nos 1 à 5. Exercices récapitulatifs, page 284, no 4. 4a) concavité vers le haut : - ; 0,25], concavité vers le bas : [0,25 ;, point dinflexion : (0,25 ; 0). 4c) concavité vers le haut : [2 ;, concavité vers le bas : - ; 2], point dinflexion : (2 ; 16). 4e) concavité vers le haut : [- 2 ; 0], concavité vers le bas : [0 ; 2], point dinflexion : (0, 0).


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