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Formules de dérivation (suite) Jacques Paradis Professeur.

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1 Formules de dérivation (suite) Jacques Paradis Professeur

2 Département de mathématiques2 Plan de la rencontre Rappel : composition de fonctions Dérivée de fonctions composées Dérivation en chaîne Dérivées successives Application

3 Département de mathématiques 3 Volet historique (1 de 3) Origine de lintérêt porté au calcul différentiel La période de la Révolution scientifique ( ) Copernic ( ) place le Soleil au centre de lunivers Galilée ( ) étudie les lois de la chute des corps Lépoque des grands explorateurs est engagé Les bateaux européens sillonnent les océans Mise au point des canons qui révolutionne lart de la guerre Létude du mouvement devient central Mouvement des corps, des astres Mouvements des bateaux Mouvements des boulets de canons

4 Département de mathématiques 4 Volet historique (2 de 3) Émergence de trois grands types de problèmes concernant directement le calcul différentiel : 1. Connaissant la distance parcourue à tout moment, est-il possible de connaître la vitesse et laccélération à chaque instant? 2. La direction du déplacement dun objet en mouvement étant donné par la tangente à la trajectoire de lobjet, est-il possible de déterminer précisément les tangentes à certaines courbes? Problème sous-jacent : celui de loptique (la fabrication des miroirs paraboliques et des lentilles lunettes pour la navigation, lobservation astronomique ou pour la vue)

5 Département de mathématiques 5 Volet historique (3 de 3) Émergence de trois grands types de problèmes concernant directement le calcul différentiel : (suite) 3. Le mouvement impliquant des distances, est-il possible de déterminer des valeurs qui rendent maximales ou minimales ces distances? Problèmes sous-jacent : En balistique, quel angle donné au canon permettant datteindre une cible la plus éloignée possible? En astronomie, quelles sont les distances maximale et minimale dune planète par rapport au Soleil? En optique, le trajet de la lumière dans un corps transparent peut-il être analysé sous langle du plus court chemin entre deux points?

6 Département de mathématiques 6 Composition de fonctions (1 de 3) Soit f(x) et g(x) deux fonctions La fonction composée, notée f g, est définie par (f g)(x) = f[g(x)] g x g(x) f f[g(x)] f g

7 Département de mathématiques 7 Composition de fonctions (2 de 3) Exemple : Soit f(x) = x 2 – 4x et g(x) = x 2 -3x +2 Alors (f g)(x) = f[g(x)] = ? De plus (g f)(x) = g[f(x)] = ? Exercice : Soit f(x) = x 2 – 4x et Alors (f g)(x) = f[g(x)] = ? De plus (g f)(x) = g[f(x)] = ?

8 Département de mathématiques 8 Composition de fonctions (3 de 3) Exemple : Soit H(x) = (x 2 -3x +2) 3 Si H(x) = f[g(x)], définir f(x) et g(x). Exercice : Soit H(x) = Si H(x) = f[g(x)], définir f(x) et g(x).

9 Département de mathématiques 9 Dérivée de fonctions composées Généralisation : Si H(x) = [f(x)] r, où r IR, alors H(x) = r [f(x)] r-1 f(x) Exemple : Si H(x) = (x 3 – x 2 + 4) 5, alors H(x) = 5(x 3 – x 2 + 4) 4 (3x 2 – 2x) Exercice : Si f(x) =, trouver f(x).

10 Département de mathématiques 10 Soit Dérivation en chaîne x x+ x u x u=g(x) Si x 0, alors u 0

11 Département de mathématiques11 Soit f(x) une fonction continue, la fonction dérivée de f(x) est définie par : f(x) = = y Définition x y P Q1Q1 x x+x

12 Département de mathématiques12 Dérivation en chaîne (Exemples) Ex. 1 : Soit y = u 3 + u et u = 4x 2 – x +16, trouver dy/dx au point dabscisse x = 1. Ex. 2 : Une particule se déplace le long dune courbe y = x 2 + x – 4. Son abscisse est donnée par la fonction x(t) = 2t 2 – t +2. Trouver dy/dt pour t = 2.

13 Département de mathématiques13 Dérivation en chaîne (généralisation) Si z = f(y), y = g(u) et u = h(x) Alors Exemple : Trouver dz/dx pour x = 2 si z = 3y 2 + 1, y = 1 – 4u 5 et u = 2x - 5.

14 Département de mathématiques 14 Dérivées successives Soit y = f(x), une fonction dérivable, Sa dérivée f(x) est aussi une fonction qui peut donc être dérivable, et ainsi de suite. Doù Dérivée première :yf (x) Dérivée seconde :yf (x) Dérivée troisième :yy (3) f(x)f (3) (x) Dérivée n e : y (n) f (n) (x)

15 Département de mathématiques 15 Exemple Soit f(x) = x 4 – x 3 – 7x 2 + x + 6 Alors f(x) = 4x 3 – 3x 2 – 14x+ 1 De plus, f(x) = 12x 2 – 6x – 14 Mais encore, f(x) = 24x - 6 On continue, f (4) (x) = 24 Pour finir, f (5) (x) = 0

16 Département de mathématiques 16 Application (rappel) Soit x(t) la position dun objet à linstant t, La vitesse moyenne de cet objet sur un intervalle de temps [t i, t f ] est définie par : La vitesse instantanée de cet objet au temps t est définie par :

17 Département de mathématiques 17 Application Soit x(t) la position dun objet à linstant t, La vitesse instantanée de cet objet au temps t est définie par : v(t) = x(t) Laccélération instantanée de cet objet au temps t est définie par la variation instantanée de la vitesse en fonction du temps : a(t) = = v(t) = x(t)

18 Département de mathématiques 18 Application (Exemple) La fonction x(t) décrit la position dune particule qui se déplace le long dun axe gradué, où x est en mètres et t, en secondes. a) Écrire la fonction vitesse et la fonction accélération. b) Donner la position, la vitesse et laccélération à t = 1. c) À quel moment la particule est-elle immobile?. d) Déterminer la distance totale parcourue par la particule entre les instants t = 0 et t = 5.

19 Département de mathématiques 19 Devoir Exercices 4.3, page 155, nos 1, 2, 3, 4a, 4b, 5, 6 (Trouver uniquement f, f et f), 7a, 7b et 7c. Exercices 5.1, page 189, nos 1 à 3. Exercices récapitulatifs, page 164, nos 1(sauf l ), 3 (facultatif), 4a, 4b, 4c, 8 et 9 Réponses pour les exercices récapitulatifs :

20 Département de mathématiques 20 Réponses

21 21 Réponses au numéro 3, page 164

22 Département de mathématiques 22 Une lentille convergente élémentaire composée d'une seule surface sphérique de réfraction

23 Département de mathématiques23 Épicicle et déférent : Département de mathématiques 23


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