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Dérivation implicite et Taux de variation instantané Jacques Paradis Professeur.

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1 Dérivation implicite et Taux de variation instantané Jacques Paradis Professeur

2 Département de mathématiques2 Plan de la rencontre Taux de variation instantané (exemple) Définition : équation implicite Exemples déquations implicites Dérivées de base Technique de dérivation implicite Exemples de dérivation implicite

3 Département de mathématiques3 Taux de variation instantané (exemple) Du haut dun pont, une pierre est lancée verticalement vers le haut. La position de la pierre au-dessus du fleuve, en fonction du temps t, est donnée par x(t) = 58,8 + 19,6t – 4,9t 2, où t est en secondes et x(t), en mètres. a) Déterminer la fonction donnant la vitesse de la pierre en fonction du temps. b) Déterminer la vitesse initiale de la pierre. c) Déterminer le temps nécessaire pour que la pierre cesse de monter. d) Calculer la vitesse de la pierre après 4 secondes. e) Déterminer la hauteur maximale quatteindra la pierre.

4 Département de mathématiques4 Exemple (suite) Du haut dun pont, une pierre est lancée verticalement vers le haut. La position de la pierre au-dessus de la rivière, en fonction du temps t, est donnée par x(t) = 58,8 + 19,6t – 4,9t 2, où t est en secondes et x(t), en mètres. f) Déterminer la hauteur du pont. g) Déterminer la distance totale parcourue par la balle. h) Déterminer à quelle vitesse la balle touche à leau. i) Déterminer la fonction donnant laccélération de la pierre en fonction du temps. k) Représenter la fonction x(t) sur [0, 6].

5 Département de mathématiques5 Définition Une équation implicite est une relation entre différentes variables où une variable nest pas explicitée en fonction des autres. Équations explicites (habituelles): y = x 2 - 2x + 3 x = 3y 2 – y + 2 Équations implicites: x 2 – 2xy + 2y 3 = 5x 2 y (y 2 + x)/(y 2 – 2xy) =0 Remarque :Il faut noter quune équation implicite nest pas nécessairement une fonction.

6 Département de mathématiques6 Exemples Soit x 2 – xy + y 2 = 3 : Soit x 2 + y 2 =25 Soit x 3 + y 3 = 9xy Soit x 2 – y 2 = 16 Remarque : À lépoque de la création du calcul différentiel, presque toutes les expressions algébriques représentant des courbes prenaient la forme implicite.

7 Département de mathématiques7 Dérivées de base (1 de 2) Dérivée de x par rapport à x : Dérivée de y par rapport à y : Dérivée de y par rapport à x : Dérivée de x 2 par rapport à x :

8 Département de mathématiques8 Dérivées de base (2 de 2) Dérivée de y 2 par rapport à y : Dérivée de y 2 par rapport à x : Dérivée de x 2 y 2 par rapport à x : v uu vu v u = y 2 du/dx du/dydy/dx

9 Département de mathématiques9 Technique de dérivation implicite Soit une équation implicite : F(x,y) = G(x,y) Exemple : x 2 + y 2 = 3 + xy Étape 1 : Calculer la dérivée des deux membres de léquation Exemple : Étape 2 : Isoler dy/dx de léquation obtenue à létape 1. Exemple :

10 Département de mathématiques10 Exemple Trouver la dérivée de y par rapport à x si x 3 + y 3 – 3xy 2 = 4.

11 Département de mathématiques11 Exemple Trouver léquation de la tangente et de la normale à la courbe x 2 +y 2 = 25 au point (3, -4). tangente normale

12 Département de mathématiques12 Exercice Trouver la pente de la tangente au point (1, 4) de la courbe y 3 + x 4 – x 2 y + y 3 = 69.

13 Département de mathématiques13 Devoir Exercices 5.1, page 189, nos 1 à 3, 4 (sauf d et e). Exercices 4.4, page 161, nos 1 à 7 Exercices récapitulatifs, page 164, nos 6 (f est facultatif), 7a, 7b, 7e et 15 Réponses pour le no 6 : d) y = –x/y; e) y = Réponse pour le no 7 e) Exercices récapitulatifs, page 200, no 1 Réponses : a)1 225 m; b) v(t)=-9,8t + 4,9 m/s et a(t) = -9,8 m/s 2 ; c) 4,9 m/s, -14,7 m/s et -9,8m/s 2 ; d) 1 226,225; e) -155 m/s.

14 Département de mathématiques14 Exemples de roses et de cardioïde


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