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Systèmes déquations du premier degré à deux variables y 1 = a 1 x + b 1 y 2 = a 2 x + b 2.

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1 Systèmes déquations du premier degré à deux variables y 1 = a 1 x + b 1 y 2 = a 2 x + b 2

2 Un système déquations est un ensemble de deux ou plusieurs équations. y 2 = 2x + 5 y 1 = 3x + 2 Nombre de planches 13 0 1234 5 Salaires comparés Montant gagné ( $ ) 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Si toutes les relations formant le système sont linéaires, le système est également qualifié de linéaire.

3 Résoudre un système d'équations, cest déterminer les coordonnées du point pour lequel les deux équations sont égales. y 2 = 2x + 5 y 1 = 3x + 2 Couple solution: ( 3, 11 ) Le point d'intersection des 2 courbes est le couple solution du système. Nombre de planches 13 0 1234 5 Salaires comparés Montant gagné ( $ ) 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

4 Exemple:Deux amis travaillent dans deux entreprises de fabrication de planches à neige. Tous les deux préparent la finition des planches. Le premier reçoit quotidiennement un salaire de base de 2 $ plus 3$ par planche; l'autre reçoit quotidiennement un salaire de base de 5$ plus 2$ par planche. À partir de combien de planches, les deux auront-ils gagné le même montant ? 1 ère étape: x :le nombre de planches y :le montant gagné 2 e étape: Identifier les variables. Établir le système (cest-à-dire, trouver les équations). y 1 = 3x + 2 y 2 = 2x + 5 et 3 e étape:Résoudre le système pour lesquelles les équations sont égales. (cest-à-dire chercher les valeurs de x et de y Il est donc essentiel de bien lire la situation. le montant gagné = 3,00$ par planche + 2,00$ (salaire de base) le montant gagné = 2,00$ par planche + 5,00$ (salaire de base)

5 Pour résoudre un système, on peut utiliser plusieurs méthodes: Par une table de valeurs: 01234 258 11 14 5791113 x y 1 = 3x + 2 y 2 = 2x + 5 3 e étape:Résoudre le système On peut remarquer que lorsque les deux amis auront fini 3 planches, ils auront le même salaire. y 1 = 3 x + 2y 2 = 2 x + 5 11 = 3 X 3 + 211 = 2 X 3 + 5 Le couple solution ou l'ensemble-solution de cette situation est donc( 3, 11 ). 4 e étape:(cest-à-dire, vérifier si les calculs donnent la même réponse pour les deux équations. Valider la solution Pour une même valeur de la variable x( x = 3 ),la valeur de la variable y est la même dans les deux équations ( y 1 = y 2 = 11 ).

6 Par une table de valeurs: 01234 258 11 14 5791113 x y 1 = 3x + 2 y 2 = 2x + 5 La table de valeurs donne parfois le couple-solution mais ce nest pas toujours le cas. Remarque: 3 e étape:Résoudre le système

7 Par un graphique: y 2 = 2x + 5 y 1 = 3x + 2 Couple solution: ( 3, 11 ) Le point d'intersection des 2 courbes est le couple solution du système. La méthode graphique est intéressante car elle présente la solution d'un seul coup d'œil; cependant, elle est rarement précise. Nombre de planches 13 0 1234 5 Salaires comparés Montant gagné ( $ ) 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 3 e étape:Résoudre le système

8 Par résolution algébrique: y 2 = 2x + 5 y 1 = 3x + 2 Nombre de planches 13 0 1234 5 Salaires comparés Montant gagné ( $ ) 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 à ce point précis, en utilisant cette égalité, on peut résoudre le système rapidement et précisément en procédant par équivalence algébrique. les deux équations sont égales; y 1 = y 2

9 La méthode de comparaison Cette méthode consiste à comparer les deux équations en utilisant le raisonnement suivant: Pour calculer y 1, on doit utiliser y 1 = 3x + 2 Pour calculer y 2, on doit utiliser y 2 = 2x + 5 Sachant quau point dintersection y 1 = y 2 alors on peut poser On se retrouve alors avec une équation dans laquelle, il ny a quune seule variable. équation avec 2 variables On peut alors isoler x pour trouver sa valeur. On compare ainsi les deux équations. 3x + 2 = 2x + 5

10 On peut alors isoler x pour trouver sa valeur. 3x + 2 = 2x + 5-2 3x = 2x + 3-2x x = 3 Connaissant la valeur de x, on peut calculer la valeur de y dans nimporte quelle équation. y 1 = 3 x + 2y 2 = 2 x + 5 11 = 2 X 3 + 511 = 3 X 3 + 2 Couple solution : ( 3, 11 ) Remarque:La méthode algébrique est la méthode la plus précise.

11 Résous le système suivant : y = 5x + 7 5x + 7 = 3x + 15 - 3x 2x + 7 = 15 - 7 2x = 8 22 x = 4 1) Déterminer x :2) Déterminer y : Soit y = 3x + 15 y = 5x + 7 y = 5 X 4 + 7 = 27 Soit y = 3x + 15 y = 3 X 4 + 15 = 27 Couple solution : ( 4, 27 )

12 Résous le système suivant: 2x + y – 5 = 0 y = 2x + 6 Attention : Il faut, en premier, ramener cette équation égale à y. 2x + y – 5 = 0 - 2x y – 5 = - 2x + 5 y = - 2x + 5

13 Résous le système suivant : y = 2x + 6 2x + 6 = - 2x + 5 + 2x 4x + 6 = 5 - 6 4x = -1 44 1) Déterminer x :2) Déterminer y : Soity = -2x + 5 y = 2x + 6 y = 2 X – 0,25 + 6 = 5,5 Soit y = -2x + 5 y = -2 X – 0,25 + 5 = 5,5 Couple solution : ( -0,25 ; 5,5 ) x = -1 4 x = - 0,25

14 Problème Maxime a planté un arbre de 135 cm de hauteur près de sa maison. Cet arbre croît au rythme de 15 cm par année. Anne-Lyne, sa sœur, a planté un arbre dune autre espèce qui mesure 75 cm de hauteur mais qui croît de 20 cm par année. 1 ère étape: x :le nombre dannées y :la hauteur de larbre 2 e étape: Identifier les variables. Établir le système: y 1 = 15x + 135 y 2 = 20x + 75et 3 e étape:Résoudre le système par la méthode de comparaison. Sachant quun point de rencontre y 1 = y 2 alors 15x + 135 = 20x + 75 A) Après combien dannées, les arbres seront-ils de la même hauteur ? B) Quel sera la hauteur de ces arbres ?

15 15x + 135 = 20x + 75 -75 15x + 60 = 20x-15x 60 = 5x 5 5 12 = x 5 e étape: Valider la solution en vérifiant avec les deux équations. y 1 = 15x + 135y 2 = 20x + 75 315 = 15 X 12 + 135315 = 20 X 12 + 75 Ensemble-solution:( 12, 315 ) Connaissant la valeur de x, on peut calculer la valeur de y dans nimporte quelle équation. 4 e étape: y 1 = 15x + 135 = 15 X + 135 12 315

16 Ensemble-solution:( 12, 315 ) A) Après combien dannées, les arbres seront-ils de la même hauteur ? B) Quel sera la hauteur de ces arbres ? Réponse: 12 ans Réponse: 315 cm

17 Remarque: Certains systèmes nont pas de couple solution. Exemple Dans le système suivant : y = 2x + 3 y = 2x + 5 y 2 = 2x + 5 13 0 1234 5 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 y 2 = 2x + 3 Les deux équations ont le même taux de variation et des ordonnées à lorigine différentes. Les droites sont donc parallèles. Elles ne se rencontreront jamais. Ensemble-solution:aucun


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