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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Angles et distances dans R 2 Angles et distances dans R2R2.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Angles et distances dans R 2 Angles et distances dans R2R2

2 Introduction Dans cette présentation, nous verrons comment utiliser les vecteurs et le produit scalaire pour déterminer : langle entre deux droites, la distance dun point à une droite, le point dune droite le plus rapproché dun point hors de la droite.

3 Angle entre deux droites dans R 2 Pour calculer langle entre deux droites dans R 2, on doit déterminer des vecteurs, normaux ou directeurs, à partir des équations et calculer langle entre ceux-ci. S Rappelons que langle entre deux droites est toujours le plus petit des deux. Il est donc compris entre 0° et 90° alors que langle entre deux vecteurs est compris entre 0° et 180°. On peut rencontrer différents cas. Dans ces deux cas, langle entre les vecteurs est langle entre les droites. On a donc = Vecteurs normaux faisant un angle aigu Vecteurs directeurs faisant un angle aiguVecteurs normaux faisant un angle obtusVecteurs directeurs faisant un angle obtus Langle entre les vecteurs est langle supplémentaire de celui entre les droites. On a donc = 180° – Un vecteur directeur et un vecteur normal faisant un angle aiguUn vecteur directeur et un vecteur normal faisant un angle obtus SS Soit, langle entre les vecteurs (normaux ou directeurs), langle entre les droites est donné par : =, si 0° 90° = 180° –, si 90° 180° Pour obtenir directement langle (entre 0° et 90°), on prend la valeur absolue avant de calculer larccosinus. SS Langle entre les droites est le complémentaire de langle aigu entre les vecteurs. On a donc = 90° – Langle entre les droites est = – 90° Dans les deux cas, langle entre les droites est le complémentaire de langle aigu obtenu en prenant la valeur absolue avant de calculer larccosinus. On prend ensuite = 90° –

4 Exemple Trouver langle entre les droites déquation : 1 : 2x + 3y – 5 = 0 2 : 3x – 4y + 8 = 0 S Représenter graphiquement ces droites et les vecteurs normaux. On a alors : Langle entre les droites est donc = 180 – 70,6°. Les équations cartésiennes permettent de déterminer les vecteurs normaux : = (2; 3) et = (3; –4) N1N1 N2N2 cos = N1N1 N2N2 N1N1 N2N2 = = 6 – –6 Doù = arccos –6 109,4°

5 Angle entre deux droites dans R 2 pour trouver langle entre deux droites dans R 2 1.Déterminer des vecteurs, directeurs ou normaux aux droites. 2.Déterminer langle entre ces vecteurs. 3.Déterminer langle entre les droites à partir de langle entre les vecteurs. Procédure Si les vecteurs sont tous les deux normaux ou tous les deux directeurs : Si lun des vecteurs est normal à une des droites et lautre est un vecteur directeur de la seconde droite : =, si 0° 90° = 180° –, si 90° 180° = 90° –, si 0° 90° = – 90°, si 90° 180°

6 Exercice Trouver langle entre les droites déquation : S Représenter graphiquement ces droites et les vecteurs utilisés. On a alors : Langle entre les droites est donc = 55,5°. Les équations paramétriques permettent de déterminer les vecteurs directeurs : = (3; –2) et= (5; 2)D1D1 D2D2 cos = D1D1 D2D2 D1D1 D2D2 = = 15 – Doù = arccos ,5° 1 : x = 4 + 3t y = 4 – 2t et 2 : x = –1 + 5s y = 3 + 2s

7 Exercice Trouver langle entre les droites déquation : S Représenter graphiquement ces droites et les vecteurs utilisés. On a alors : Langle entre les droites est le complémentaire de celui entre les vecteurs, on a donc = 90° – 63,4°. Les équations permettent de déterminer les vecteurs : = (1; 3) et = (2; 2) N1N1 D2D2 cos = N1N1 D2D2 N1N1 D2D2 = = Doù = arccos ,6° 1 : x + 3y – 15 = 0et 2 : x = 2 + 2t y = 6 + 2t

8 Distances dans R 2 Distance dun point Q à une droite dont on connaît un vecteur normal. On détermine un point P sur la droite ainsi que le vecteur PQ. La distance cherchée est alors la longueur de la projection du vecteur PQ sur le vecteur normal N. Remarque Dans la résolution des problèmes, il nest pas indispensable de faire une représentation graphique aussi détaillée.

9 Distances dans R 2 pour trouver la distance dun point Q à une droite dans R 2 1.Déterminer un vecteur normal à la droite. 2.Déterminer un point P de la droite. 3.Construire le vecteur allant du point P sur la droite au point Q dont on cherche la distance à la droite. 4.Utiliser le produit scalaire pour trouver la projection de ce vecteur sur le vecteur normal. La longueur de cette projection est la distance cherchée. Procédure

10 Exemple Trouver la distance du point Q(4; 7) à la droite déquation : : 2x – 5y + 7 = 0 S d(Q, ) = La distance est donc denviron 3,71 unités. À partir de léquation cartésienne, on obtient le vecteur normal : = (2; –5)N PQ N N = = –10 – En posant x = 9 dans léquation, on trouve 18 – 5y + 7 = 0, doù y = 5. Le point P(9; 5) est donc un point de la droite. = (4; 7) – (9; 5) = (–5; 2).PQ = OQ – OP La distance est la longueur de la projection de ce vecteur sur le vecteur normal à la droite. Cela donne : PQ N = 3,71 On a alors :

11 Exercice Trouver la distance du point Q(5; –4) à la droite déquation : : 3x + 4y – 28 = 0 S d(Q, ) = La distance est donc de 5,8 unités. À partir de léquation cartésienne, on obtient le vecteur normal : = (3; 4)N PQ N N == 15 – En posant x = 0 dans léquation, on trouve 4y – 28 = 0, doù y = 7 Le point P(0; 7) est donc un point de la droite. = (5; –4) – (0; 7) = (5; –11).PQ = OQ – OP La distance est la longueur de la projection de ce vecteur sur le vecteur normal à la droite. Cela donne : PQ N == 5,8 On a alors : 25

12 Distances dans R 2 Distance entre deux droites parallèles dont on connaît un vecteur normal. On détermine un point P sur une des droites et un point Q sur lautre. On détermine alors le vecteur PQ. La distance cherchée est la longueur de la projection du vecteur PQ sur le vecteur N normal aux deux droites.

13 Exemple Trouver la distance entre les droites : S d( 1, 2 ) = La distance est donc denviron 4,16 unités. Les droites sont parallèles et ont comme vecteur directeur = (2; –3).D PR N N == –3 – = (7; –3) – (8; 3) = (–1; –6).PR = OR – OP La distance est la longueur de la projection de ce vecteur sur le vecteur normal aux droites. Cela donne : PR N = 4,16 On a alors : 1 :et 2 : x – 8 2 y – 3 –3 = x = 7 + 2t y = –3 – 3t = (3; 2) est normal aux droites, puisque : Le vecteur DN= 6 – 6 = 0. N Le point P(8; 3) est sur la droite 1 et le point R(7; –3) est sur la droite 2.

14 et le point R(0; 5) est sur la droite 2. Exercice Trouver la distance entre les droites : S d( 1, 2 ) = La distance est donc denviron 9,15 unités. Les droites sont parallèles et ont comme vecteur normal = (2; 3).N PR N N == = (0; 5) – (0; –6) = (0; 11).PR = OR – OP La distance est la longueur de la projection de ce vecteur sur le vecteur normal aux droites. Cela donne : PR N = 9,15 On a alors : 1 : 2x + 3y + 18 = 0 et 2 : 2x + 3y – 15 = 0 Le point P(0; –6) est sur la droite 1

15 Le point le plus près dans R 2 Nous savons trouver la distance dun point Q à une droite, mais comment déterminer le point de la droite qui est le plus proche de Q? On peut développer diverses stratégies pour trouver les coordonnées de ce point. Nous verrons dabord comment utiliser les opérations daddition vectorielle et de produit scalaire pour déterminer le point le plus près, puis nous verrons comment procéder en déterminant lintersection de lieux géométriques. Le point R dune droite le plus proche dun point Q hors de celle-ci est le pied de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite.

16 Exemple Trouver le point de la droite : x – 2y + 4 = 0 le plus proche du point Q(4; 9). On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite. En déterminant la valeur de b, il nous sera possible de connaître le vecteur position du point R. Pour déterminer cette valeur, il faut dabord trouver un point P de la droite. En posant x = 2 dans léquation de, on obtient y = 3. Par conséquent, P(2; 3) est un point de. PR + RQ = PQ La direction de RQ est alors la même que celle du vecteur normal à la droite, N = (1; –2). On a donc RQ = b N. Par laddition vectorielle, on a : S PR + b N = PQ S La multiplication scalaire des deux membres de cette équation vectorielle par le vecteur normal donne : N (PR + b N ) = N PQN PR + b ( N N ) = N PQ Puisque les vecteurs sont orthogonaux, on aN PR= 0, et : bN 2 N PQ = Ce qui donne : 5b = (1; –2) (2; 6) = 2 – 12 = –10 et b = – 2. S Sachant que b = –2, on peut déterminer le vecteur position du point R, puisque : OR = OQ + QR= OQ – RQ= OQ – (–2 N) Cela donne : OR = (4; 9) + 2 (1; –2) = (6; 5) Le point le plus rapproché est donc R(6; 5). = OQ – b N S Remarque Notre démarche a consisté à déterminer que, pour parvenir au point R à partir du point Q, il fallait se déplacer dans la même direction et le même sens que le vecteur normal et parcourir une distance qui est le double de la longueur du vecteur normal. On remarque également que la distance quil faut parcourir pour aller de Q à R est la distance du point Q à la droite.

17 Exemple Trouver le point de la droite : On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite. En déterminant la valeur de a, il nous sera possible de connaître le vecteur position du point R. La direction de PR, où P est un point de la droite, est la même que celle du vecteur directeur D = (4; 2). On connaît déjà le point P(–1; 3) sur la droite. On a donc PR = a D. Par laddition vectorielle, on a : S a D + RQ = PQ S La multiplication scalaire des deux membres de cette équation vectorielle par le vecteur directeur donne : D (a D + RQ ) = D PQ Puisque les vecteurs sont orthogonaux, on aD RQ= 0, et : Ce qui donne : 20a = (4; 2) (8; –1) = 32 – 2 = 30 et a = 3/2. S le plus proche du point Q(7; 2). x = –1 + 4t y = 3 + 2t a ( D D ) + D RQ = D PQ S aD D PQ = 2 Sachant que a = 3/2, on peut déterminer le vecteur position du point R, puisque : OR = OP + PR Cela donne : Le point le plus rapproché est donc R(5; 6). = OP + D 3232 = (–1; 3) (4; 2) = (5; 6) OR Remarque Notre démarche a consisté à déterminer que, pour parvenir au point R à partir du point P, il fallait se déplacer dans la même direction et le même sens que le vecteur directeur et parcourir une distance qui est égale à 3/2 fois la longueur du vecteur directeur.

18 Le point le plus près dans R 2 Approche vectorielle pour déterminer le point R dune droite le plus rapproché dun point Q hors de cette droite par une approche vectorielle. 1.Déterminer un point P quelconque sur la droite. 2.Écrire léquation vectorielle du triangle PQR : 3. Effectuer le produit scalaire des deux membres de léquation par le vecteur normal ou le vecteur directeur, selon le cas. 4.Déterminer la valeur du scalaire, a ou b, dans léquation scalaire obtenue après avoir effectué ce produit. 5.Utiliser ce scalaire pour déterminer le vecteur position du point R cherché. PR + RQ = PQ a D + b N = PQ Procédure

19 Exercice Trouver le point de la droite : 3x – 2y – 15 = 0 le plus proche du point Q(–2; 9). On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite. En déterminant la valeur de b, il nous sera possible de connaître le vecteur position du point R. Pour déterminer cette valeur, il faut dabord trouver un point P de la droite. PR + RQ = PQ La direction de RQ est alors la même que celle du vecteur normal à la droite, N = (3; –2). On a donc RQ = b N. Par laddition vectorielle, on a : S PR + b N = PQ S En posant y = 0 dans léquation de, on obtient x = 5. Par conséquent, P(5; 0) est un point de. La multiplication scalaire des deux membres de cette équation vectorielle par le vecteur normal donne : N (PR + b N ) = N PQN PR + b ( N N ) = N PQ Puisque les vecteurs sont orthogonaux, on aN PR= 0, et : bN 2 N PQ = Ce qui donne : 13b = (3; –2) (–7; 9) = –21– 18 = –39 et b = – 3. S Sachant que b = –3, on peut déterminer le vecteur position du point R, puisque : OR = OQ + QR= OQ – RQ= OQ – (–3 N) Cela donne : OR = (–2; 9) + 3 (3; –2) = (7; 3) Le point le plus rapproché est donc R(7; 3). = OQ – b N

20 Exercice Trouver le point de la droite : On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite. En déterminant la valeur de a, il nous sera possible de connaître le vecteur position du point R. PR + RQ = PQ La direction de PR, où P est un point de la droite, est la même que celle du vecteur directeur D = (3; –2). On connaît déjà le point P(–1; 9) sur la droite. On a donc PR = a D. Par laddition vectorielle, on a : S a D + RQ = PQ S La multiplication scalaire des deux membres de cette équation vectorielle par le vecteur directeur donne : D (a D + RQ ) = D PQ Puisque les vecteurs sont orthogonaux, on aD RQ= 0, et : aD 2 D PQ = Ce qui donne : 13a = (3; –2) (4; –7) = = 26 et a = 2. S le plus proche du point Q(3; 2). x = –1 + 3t y = 9 – 2t a ( D D ) + D RQ = D PQ Sachant que a = 2, on peut déterminer le vecteur position du point R, puisque : OR = OP + PR Cela donne : OR = (–1; 9) + 2 (3; –2) = (5; 5) Le point le plus rapproché est donc R(5; 5). = OP + 2 D

21 Le point le plus près dans R 2 Intersection de lieux Le point dune droite le plus près dun point Q hors de cette droite dont on connaît un vecteur normal (équation cartésienne). Le vecteur normal à est un vecteur direc- teur de la droite perpendiculaire à qui passe par le point Q. On obtient une description paramétrique de la perpendiculaire et on peut déterminer le point de rencontre des deux droites. Pour trouver le point de rencontre, il suffit de substituer les équations paramétriques dans léquation cartésienne pour déterminer la valeur du paramètre au point de rencontre. On substitue ensuite cette valeur dans les équations paramétriques pour obtenir les coordonnées du point.

22 Le point le plus près dans R 2 Intersection de lieux Le point dune droite le plus près dun point Q hors de cette droite dont on connaît un vecteur directeur (description paramétrique). Le vecteur directeur de est un vecteur normal à la droite perpendiculaire à qui passe par le point Q. On obtient une équation cartésienne de la perpendiculaire et on peut déterminer le point de rencontre des deux droites.

23 Le point le plus près dans R 2 Intersection de lieux pour déterminer le point R dune droite le plus rapproché dun point Q hors de cette droite par lintersection de lieux. 1.Déterminer une équation de la droite passant par le point Q et perpendiculaire à la droite. 2.Substituer les équations paramétriques dans léquation carté- sienne. 3. Calculer la valeur du paramètre au point de rencontre des droites. 4.Substituer la valeur du paramètre dans les équations paramétriques pour déterminer les coordonnées du point de rencontre qui est le point le plus rapproché. Procédure

24 Exemple En substituant ces équations paramétriques dans léquation de la droite, on obtient : S S La description paramétrique de la droite passant par Q et perpendiculaire à est : x = 4 + t y = 9 – 2t (4 + t) – 2(9 – 2t) + 4 = 0 Doù :4 + t – t + 4 = 0 Cela donne :5 t – 10 = 0 et t = 2 En substituant cette valeur dans les équations paramétriques, on obtient : x = = 6 y = 9 – 2 2 = 5 Le point le plus rapproché est donc R(6; 5). (6; 5) Utiliser la méthode de lintersection de lieux pour trouver le point de : x – 2y + 4 = 0 le plus proche du point Q(4; 9). On cherche le pied R de la perpendiculaire abaissée du point Q sur la droite. Or, cette droite est parallèle au vecteur normal à.

25 Exemple Utiliser la méthode de lintersection de lieux pour trouver le point de : (x – 7; y – 2) (4; 2) = 0 le plus proche du point Q(7; 2). x = –1 + 4t y = 3 + 2t Léquation cartésienne de la droite passant par Q et perpendiculaire à est donnée par : Doù :4x – y – 4 = 0 Et :4x + 2y – 32 = 0 En substituant les équations paramétriques de dans léquation de la perpendiculaire passant par Q, on obtient : S S 4(–1 + 4t) + 2(3 + 2t) – 32 = 0 Doù :–4 + 16t t – 32 = 0 Cela donne :20 t – 30 = 0 et t = 3/2 En substituant cette valeur dans les équations paramétriques de, on obtient : x = –1 + 4(3/2) = 5 y = 3 + 2(3/2) = 6 Le point le plus rapproché est donc R(5; 6). (5; 6)

26 Exercice Utiliser la méthode de lintersection de lieux pour trouver le point de : 3x – 2y – 15 = 0 le plus proche du point Q(–2; 9). En substituant ces équations paramétriques dans léquation de la droite, on obtient : S S La description paramétrique de la droite passant par Q et perpendiculaire à est : x = –2 + 3t y = 9 – 2t 3(–2 + 3t) – 2(9 – 2t) – 15 = 0 Doù :–6 + 9t – t – 15 = 0 Cela donne :13t – 39 = 0 et t = 3 En substituant cette valeur dans les équations paramétriques, on obtient : x = – = 7 y = 9 – 2 3 = 3 Le point le plus rapproché est donc R(7; 3). (7; 3)

27 Exercice Utiliser la méthode de lintersection de lieux pour trouver le point de : (x – 3; y – 2) (3; –2) = 0 le plus proche du point Q(3; 2). x = –1 + 3t y = 9 – 2t Léquation cartésienne de la droite passant par Q et perpendiculaire à est donnée par : Doù :3x – 9 – 2y + 4 = 0 Et :3x – 2y – 5 = 0 En substituant les équations paramétriques de dans léquation de la perpendiculaire passant par Q, on obtient : S S 3(–1 + 3t) – 2(9 – 2t) – 5 = 0 Doù :–3 + 9t – t – 5 = 0 Cela donne :13t – 26 = 0 et t = 2 En substituant cette valeur dans les équations paramétriques de, on obtient : x = – = 5 y = 9 – 2 2 = 5 Le point le plus rapproché est donc R(5; 5). (5; 5)

28 Conclusion À partir de léquation ou des équations dune droite, on peut déterminer un vecteur normal ou un vecteur directeur. En utilisant ces vecteurs, on peut déterminer : langle entre deux droites, la distance dun point à une droite, la distance entre deux droites parallèles, le point dune droite le plus rapproché dun point hors de la droite.

29 Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature. Section 10.3, p Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines. Section 9.3, p Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature. Section 10.4, p Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines. Section 9.4, p


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