La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Produit scalaire Produit scalaire.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Produit scalaire Produit scalaire."— Transcription de la présentation:

1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Produit scalaire Produit scalaire

2 Introduction Nous allons maintenant présenter une autre opération sur les vecteurs, le produit scalaire. Nous allons définir cette opération sur les vecteurs algébriques puis nous verrons linterprétation géométrique de cette opération sur des vecteurs de R 2 et des vecteurs de R 3.

3 Un marchand livre des fruits dans les édifices à bureaux du centre-ville. Le tableau ci-contre indique les fruits commandés par les employés dun bureau ainsi que le prix unitaire de ces fruits. La Fruiterie mobile Prix unitaire Quantité Pomme 0,75 8 Poire 0,80 6 Prune 0,50 4 Ce tableau comporte deux vecteurs, un vecteur des prix unitaires et un vecteur des quantités. Pour établir la facture du client, le marchand peut effectuer lopération suivante sur ces vecteurs : Vecteur des prix unitaires : Vecteur des quantités : u = (0,75; 0,80; 0,50) v = (8; 6; 4) u v = (0,75 8) + (0,80 6) + (0,50 4) = 12,80 $ Lopération consiste à faire la somme des produits des composantes de même rang. Cette opération entre deux vecteurs donne un scalaire, que nous appellerons produit scalaire.

4 Produit scalaire Définition Cette définition suppose que les vecteurs algébriques sont exprimés dans la base orthonormée usuelle de R n. Elle est valide dans R 2 et dans R 3 aux même conditions. Soit u = (u 1 ; u 2 ;...;u n ) et v = (v 1 ; v 2 ;...;v n ), deux vecteurs de R n. Le produit scalaire de u par v, noté u v, donne un scalaire défini par légalité suivante : u v = u 1 v 1 + u 2 v u n v n Remarque : Ainsi, le produit scalaire des vecteurs u = (2; –5; 4) et v = (8; 2; –3) est : u v = (–5) (–3) = –6

5 Produit scalaire Propriétés du produit scalaire 1.Commutativité 2.Associativité pour la multiplication par un scalaire 3.Distributivité sur laddition vectorielle 4. Pour tout vecteur u, v et w et pour tout scalaire p et q : u v = v u (pu) (qv) = pq(u v) u (v + w) = u v + u w u u = u 2 On démontre la quatrième propriété de la façon suivante : u u = u u … + u n 2, par définition du produit scalaire; = u 2, puisque u = u u … + u n 2.

6 , puisque ; c = u v – Produit scalaire de vecteurs géométriques Considérons deux vecteurs géométriques u et v, de longueur a et b respectivement. Posons c la longueur du troisième côté du triangle construit sur ces vecteurs. Par la loi des cosinus, c2 c2 = a2 a2 + b 2 – 2ab cos, où est langle entre les vecteurs. De plus : c2 c2 = u v – 2 = – – + uvuuvuvv, par la distributivité du produit scalaire sur laddition vectorielle;, puisque ; u u = u 2, par la commutativité du produit scalaire; u 2 v 2 u v – 2= + uv – 2= a 2 + b 2. On a donc : uv – 2a2a2 + b 2, doù : = a2 a2 + b 2 – 2ab cos uv = ab cos = u v cos = ( ) ( ) u v – u v –

7 Produit scalaire de vecteurs géométriques Définition Soit u et v deux vecteurs géométriques. Le produit scalaire de u par v, noté u v, donne un scalaire défini par légalité suivante : Remarque : u v = u v cos, Cette définition, qui est équivalente à celle donnée pour des vecteurs algébriques, va nous permettre de développer diverses applications du produit scalaire. où est langle entre les vecteurs.

8 e 3 = 1 SS Exemple AB CDb)b) a) On a :etu = = 8 = 2 2 (u e 3 ) = 45° De plus,, doù cos (u e 3 ) = 2222 Par conséquent : u e 3 = ue3e3 cos (u e 3 ) = = 2 S a) On peut également procéder en exprimant les vecteurs dans la base. Cela offre un avantage intéressant puisque les vecteurs de la base sont perpendiculaires et que cos 90° = 0. Dans le cas présent, on a : u = e e 3 Doù :, par les propriétés; = ( 1 ) = 2 u e 3 = (e e 3 ) e 3 = e 1 e (e 3 e 3 ) S b) En exprimant les vecteurs dans la base, on obtient : e 2 – e 3 AB = e 1 – e 2 CD = AB CD = et, doù : AB CD ( ) e 2 – e 3 e 1 – e 2 = 0 – 4 – = –4 = –4. = (e 2 e 1 ) – (e 2 e 2 ) – (e 3 e 1 ) + (e 3 e 2 ) On a donc : u e 3 a)a) Dans la figure ci-contre, lunité de mesure est larête dun cube et les vecteurs e 1, e 2 et e 3 forment une base de lespace. Déterminer les produits scalaires suivants :

9 Produit scalaire nul Soit u et v deux vecteurs géométriques non nuls tels que u v = 0. il faut que lun des facteurs du produit soit nul. Les deux vecteurs étant non nuls, la seule possibilité est donc : Puisque : u v = u v cos, cos = 0, doù = arccos 0 = 90° Réciproquement, si u et v sont perpendiculaires, on a : u v = u v cos = u v cos 90° = 0 Théorème Soit u et v deux vecteurs géométriques non nuls. Le produit scalaire de ces vecteurs est nul si et seulement si les vecteurs u et v sont perpendiculaires. Produit scalaire nul

10 1.Écrire léquation Angle entre deux vecteurs Soit u et v deux vecteurs non nuls. on peut calculer le cosinus de langle entre les vecteurs de la façon suivante : Puisque : u v = u v cos, cos = u v, doù = arccos u v Procédure pour calculer langle entre deux vecteurs algébriques 2.Calculer 3.Déterminer langle entre les vecteurs à laide de la fonction arccosinus. 4.Interpréter le résultat selon le contexte. cos = u v u v = u v cos..

11 Posons : La molécule de méthane (CH 4 ) est de forme tétraédrique. Elle est composée dun atome de carbone et de quatre atomes dhydro- gène. Exemple On a donc = arccos (–1/3) = 109,47°. cos = u v == –1 3 1 – 1 – u = CH A = (–1; –1; 1) et v = CH B = (–1; 1; –1) Langle entre les liaisons chimiques est de 109,47°. On peut faire le même calcul en choisissant les autres liaisons. S La figure ci-contre est la représentation dune telle molécule dans R 3. Calculer langle entre les liaisons chimiques.

12 Interprétation géométrique Soit u et v deux vecteurs non nuls. Le produit scalaire : u v = u v cos, donne un scalaire qui est formé du module du vecteur u et de la longueur dirigée de la projection du vecteur v sur la droite support de u. Cette interprétation est également valide lorsque langle entre les vec- teurs est compris entre 90° et 180°. Puisque le produit scalaire est commutatif, on peut dire que le produit scalaire de deux vecteurs donne le produit du module de lun des deux et de la longueur dirigée de la projection orthogonale du second sur le premier.

13 Vecteur projection Soit u et v deux vecteurs non nuls. Déterminons ce scalaire. Il existe donc un scalaire k tel que v u = ku. Notons v u la projection orthogonale du vecteur v sur le vecteur u. Notons w le vecteur joignant lextrémité de v à lextrémité de v u. On a alors :, par substitution;Doù :, par distributivité; et k =. Doù : k u u = u v u v u –u v + k u u = 0 u ( –v + ku) = 0 w = –v + ku, par addition vectorielle et u w = 0, car u w. v u = ku = u v u u v u a la même direction que le vecteur u.

14 S Exemple (–2) 2 = 8 = 2 2 = 2 unités En exprimant les vecteurs dans la base, on obtient : et, doù : Dans la figure ci-contre, lunité de mesure est larête dun cube et les vecteurs e 1, e 2 et e 3 forment une base de lespace. Déterminer la longueur de la projection du vecteur CD sur le vecteur AB. u = AB =v = CD = ( ) 2 e 2 – 2 e 3 –2 e e 2 u v = AB CD = = – 0 = 4 = –4(e 2 e 1 ) + 4(e 2 e 2 ) + 4(e 3 e 1 ) – 4(e 3 e 2 ) Les vecteurs de la base étant perpendiculaires, on peut déterminer le module des vecteurs. On obtient : 2 e 2 – 2 e 3 –2 e e 2 u = AB =. Cela donne : = AB CD AB = 4 2 v u = u v u

15 Projection orthogonale Théorème Soit u et v deux vecteurs géométriques non nuls. La projection orthogonale du vecteur v sur le vecteur u est le vecteur : Projection orthogonale dun vecteur v u = ku = u v u u La longueur de la projection orthogonale est : v u = u v u Remarque Pour calculer le numérateur du scalaire k, on fait simplement le produit scalaire des deux vecteurs. Le dénominateur est le produit scalaire du vecteur sur lequel on projette et de ce même vecteur. Rappelons la quatrième propriété du produit scalaire : u u = u 2

16 Exemple Trouver la projection orthogonale du vecteur u = (4; 5) sur le vecteur v = (6;–1). Trouver la longueur de ce vecteur. u v = (4 6) + (5 –1) = 24 – 5 = 19 u v v v u v = S La projection orthogonale de u sur v est alors donnée par : (–1) 2 = 37 v = Le module de v est Le produit scalaire de u et v donne : v v = (6 6) + (–1 – ) = = 37 Le produit scalaire de v et v donne : = (6; –1) = –19 37 ; S u v = u v v = = 3,123… 3, La longueur de la projection est denviron 3,12 unités.

17 Exemple Trouver la projection orthogonale du vecteur v = (2; 2; 5) sur le vecteur u = (–3; 7; 8). Trouver la longueur de ce vecteur. u vu v u v u u v u = S La projection orthogonale de v sur u est alors donnée par : u = Le module de u est Le produit scalaire de u et v donne : u Le produit scalaire de u et u donne : = (–3; 7; 8) S v u = u v u = = 4,3457… 4, La longueur de la projection est denviron 4,35 unités. = (–3 2) + (7 2) + (8 5) = – = 48 = (–3 –3) + (7 7) + (8 8) = = 122 = – ; ; (–3) = 122

18 Produit scalaire et travail Le travail (T) effectué par une force qui déplace un objet dépend : de la composante de la force (F) dans le sens du déplacement. de la longueur du déplacement (d) de lobjet; Le travail est donc le produit scalaire du vecteur force par le vecteur déplacement. Lunité de la force est le newton (N) et le déplacement est en mètres (m). Le travail est donné en newtons-mètres (N·m) ou en joules (J). T = d F cos

19 Exemple On veut monter le bloc illustré ci- contre en le tirant avec une force de 350 N faisant un angle de 52° avec lhorizontale. Linclinaison du plan est de 23°. En considérant que la longueur du bloc est négligeable, calculer le travail effectué pour monter le bloc jusquen haut du plan incliné. S Représentons la situation dans un système daxes. Le vecteur déplacement fait un angle de 23° avec lhorizontale et est représenté par le vecteur algébrique : Le vecteur algébrique décrivant la force est : Le travail est donné par le produit scalaire de ces deux vecteurs, soit : d = (10 cot 23°; 10) F = (350 cos 52°; 350 sin 52) T = d F = (10 cot 23°; 10) (350 cos 52°; 350 sin 52°) = 3500cot 23 cos 52° sin 52° = 7834,46… N·m 7,83 kJ. Le travail effectué est denviron 7,83 kJ.

20 Conclusion Le produit scalaire de deux vecteurs est un scalaire qui est le produit des modules des vecteurs et du cosinus de langle entre ceux-ci Le produit scalaire de deux vecteurs algébriques de R 2 ou de R 3 peut être obtenu directement à partir des composantes en effectuant la somme des produits des composantes de même rang. En effet, dans une base orthonormée, les composantes véhiculent linformation sur la direction, le sens et le module des vecteurs, donc sur langle entre ceux-ci. On utilise le produit scalaire pour déterminer langle entre deux vecteurs et la projection orthogonale dun vecteur. Dautres applications seront présentées en géométrie vectorielle. Le travail effectué par une force pour déplacer un objet est le produit scalaire du vecteur déplacement et du vecteur force. La représentation par des vecteurs algébriques simplifie le traitement de linformation pour calculer le travail.

21 Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature. Section 9,1, p Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines. Section 8.1, p Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature. Section 9.2, p Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines. Section 8,2, p


Télécharger ppt "Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Produit scalaire Produit scalaire."

Présentations similaires


Annonces Google