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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Produit vectoriel Produit vectoriel.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Produit vectoriel Produit vectoriel

2 Mise en situation Le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur. Cela signifie que pour définir le produit, il faut donner la direction, le sens et le module du vecteur obtenu. Lorsque les vecteurs algébriques sont exprimés dans la base orthonormée usuelle, le produit vectoriel de deux vecteurs peut être obtenu par un calcul de déterminant. Nous verrons dabord le produit vectoriel de deux vecteurs algébriques de R 3 en cherchant à déterminer un vecteur perpendiculaire à deux vecteurs donnés. Nous généraliserons par la suite par linterprétation géométrique de ce produit.

3 Produit vectoriel Définition Soit u et v deux vecteurs géométriques. Produit vectoriel de vecteurs géométriques Alors, le produit vectoriel u v donne un vecteur w tel que : sa direction est perpendiculaire au plan défini par u et v; son sens est obtenu en appliquant la règle de la main droite en tournant de u vers v; sa longueur est égale au produit des modules des vecteurs u et v et du sinus de langle entre ces vecteurs.

4 Produit vectoriel Propriétés du produit vectoriel 1.Anticommutativité 2.Associativité pour la multiplication par un scalaire 3.Distributivité sur laddition vectorielle Pour tout vecteur u, v et w et pour tout scalaire p et q : u v = –(v u) (pu) (qv) = pq(u v) u (v + w) = u v + u w (u + v) w = u w + v w

5 Par la règle de la main droite, le sens du produit est le même que le vecteur e 2. Exemple Effectuer, en utilisant cette base, les produits vectoriels indiqués. Exprimer le vecteur obtenu en fonction des vecteurs de la base. Dans la figure ci-contre, les vecteurs géométriques e 1, e 2 et e 3 forment une base. a)e 1 ub)u v a)Le produit vectoriel donne un vecteur perpendiculaire au plan défini par e 1 et u. S De plus, e 1 = 1, u = = 8 = 2 2 et sin 45° = 2222 On a donc, e 1 u = 2. Par conséquent, e 1 u = 2 e 2. e 1 u = 2 e 2 S b)En exprimant les vecteurs u et v en fonction des vecteurs de la base, on obtient : En utilisant les propriétés et le fait que sin 0° = 0 et sin 90° = 1, on obtient : u = 2 e e 3 et v = 2 e 1 + e 2 u v = (2 e e 3 ) (2 e 1 + e 2 ) = 2 e 1 – 4 e 2 – 2 e 3 = 4 (e 1 e 1 ) + 2 (e 1 e 2 ) + 4 (e 3 e 1 ) + 2 (e 3 e 2 ) = 4 (0) + 2 (–e 3 ) + 4 (–e 2 ) + 2 (e 1 )

6 Interprétation géométrique du module Dans le produit vectoriel, le module est égal au produit des modules et du sinus de langle entre ceux-ci. Théorème Soit u et v deux vecteurs de R 3. Aire du parallélogramme Alors, le module du produit vectoriel u v donne laire du parallélogramme construit sur les vecteurs u et v.

7 Produit vectoriel nul Théorème Soit u et v deux vecteurs non nuls. Produit vectoriel nul Alors, u v = 0 si et seulement si les deux u et v ont la même direction (ou sont colinéaires). u v = 0 u v sin = 0 sin = 0, car u 0 et v 0 = 0° ou = 180° u et v ont la même direction (ou sont colinéaires). S Considérons u et v, deux vecteurs géométriques non nuls tels que u v = 0, Alors :

8 Exemple Utiliser le produit vectoriel pour calculer laire du parallélogramme ABCD. Dans la figure ci-contre, les vecteurs géométriques e 1, e 2 et e 3 forment une base orthonormée. SS Le produit vectoriel donne alors : = (2 e 2 – e 3 ) (2 e 1 – e 3 ) = 2 e e e 3 = 4 (e 2 e 1 ) – 2 (e 2 e 3 ) – 2 (e 3 e 1 ) + (e 3 e 3 ) = 4 (e 3 ) – 2 (–e 1 ) – 2 (–e 2 ) + 2 (0) En exprimant ces vecteurs dans la base, on a : Pour déterminer laire du parallélo- gramme, il faut calculer le module du produit vectoriel AB AD. AB = 2 e 2 – e 3 et AD = 2 e 1 – e 3 AB AD On a donc : AB AD = 2 e e e 3 Le module est alors : Par conséquent, laire du parallélogramme est denviron 4,90 unités daire. AB AD = = 24 4,90

9 Plaçons la main droite pour quelle pointe dans le sens du vecteur à gauche du symbole dopération et de telle sorte que lon puisse fermer la main en tournant vers le vecteur qui est à droite du symbole dopération. Produit vectoriel des vecteurs orthonormés Il nous reste à voir comment effectuer le produit vectoriel de vecteurs algébriques. ij k = 0i– 0j k + 1 i j = SSSS ij k = 1i– 0j k + 0 j k = ij k = 0i+ 1j k + 0 k i = ij k = 0i+ 0j k – 1 j i = Considérons dabord le produit i j.Considérons maintenant le produit j k.Considérons maintenant le produit k i.Considérons maintenant le produit j i. Le pouce indique alors le sens du produit vectoriel. On peut de la même façon, considérer les autres produits. La règle de la main droite permet toujours dindiquer le sens du produit vectoriel. Pour le déterminer, nous aurons besoin du produit des vecteurs de la base orthonormée.

10 b c e f Produit vectoriel de vecteurs algébriques ijk abc def u v = S Soit u = ai + bj + ck et v = di + ej + fk, deux vecteurs de R 3. Par les propriétés du produit vectoriel, on a : u v = (ai + bj + ck ) (di + ej + fk) = ad(i i) + ae(i j) + af(i k) + bd (j i) + be(j j) + bf(j k)+ cd (k i) + ce(k j) + cf(k k) = (bf – ce)i – (af – dc)j + (ae – db)k Pour ne pas avoir à apprendre cette formule, on procède en disposant les composantes des vecteurs de la façon suivante : = i – j + k ab de On développe selon la première ligne en alternant les signes : i a d jk j i b e jk k ac df i j c f k = i (bf – ce) – – – – j (af – cd) + k (ae – bd) En pratique, on fait les calculs directement.

11 = Exemple ijk 3–25 24–3 u v = S Déterminer un vecteur w perpendiculaire aux vecteurs u = (3; –2; 5) et v = (2; 4; –3). (6 – 20) – ij (–9 – 10) + k (12 + 4) = –14 i + 19 j + 16 k Le vecteur cherché est donc : w = (–14; 19; 16). Remarque Les composantes du vecteur à gauche du symbole dopération occupent la deuxième ligne et celles du vecteur à droite du symbole dopération occupent la troisième ligne. En permutant ces deux lignes, on change le signe, donc le sens, du vecteur obtenu.

12 = Exercice ijk 2–3–4 –32 2 u v = S Déterminer un vecteur w perpendiculaire aux vecteurs u = (2; –3; –4) et v = (–3; 2; 2). (–6 + 8) – ij (4 – 12) + k (4 – 9) = 2 i + 8 j – 5 k Le vecteur cherché est donc : w = (2; 8; –5). Vérifier que le vecteur obtenu est bien perpendiculaire aux vecteurs donnés. S On peut vérifier la perpendicularité des vecteurs par le produit scalaire. u w = v w = (2; –3; –4) (2; 8; –5) = 4 – = 0 (–3; 2; 2) (2; 8; –5) = – – 10 = 0 Puisque les deux produits scalaires sont nuls, le vecteur obtenu est bien perpendiculaire aux deux vecteurs donnés.

13 Exemple Effectuer le produit vectoriel u v, sachant que : SS Le produit vectoriel est donné par : Calculer laire du parallélogramme construit sur ces vecteurs. On sait que ce vecteur est perpendiculaire aux deux vecteurs donnés et que son module donne laire du parallélogramme construit sur ceux-ci. Par conséquent, laire du parallélogramme est denviron 19,05 unités daire. u = 2 i – 3 j + k et v = –5 i + 2 j + 3 k ijk 2–3 1 –523 = (–9 – 2)2) i – (6 + 5) jk + (4 – 15) u v = u v = (–11) 2 + (–11) 2 + (–11) 2 = ,05 = –11i– 11 jk

14 Distances dans R 3 Distance dun point Q à une droite dont on connaît un vecteur directeur. Distance dun point Q à une droite dont on connaît deux points R et P. On détermine un point R de la droite ainsi que le vecteur RQ. Le module du produit vectoriel donne laire de ce parallélogramme et on divise par la longueur de la base, soit le module du vecteur directeur. La distance cherchée est alors la hauteur du parallélogramme construit sur les vecteurs RQ et D. On procède de la même façon en considérant D = RP.

15 Exemple SS Le vecteur directeur de est : = (2; –3; 4) D Trouver la distance du point Q(7; –2; 5) à la droite : x = 3 + 2t y = 6 – 3t z = –5 + 4t En posant t = 0 dans léquation de, on obtient le point R(3; 6; –5). La distance du point au plan est donc denviron 1,11 unités. La distance est alors donnée par : = (7;–2; 5) – (3; 6; –5 ) = (4; –8; 10). RQ On a alors le vecteur Le produit vectoriel donne : ijk 4–810 2–34 + (– )= (– )i– (16 – 20)jk RQ D = = –2i+ 4jk d(Q, ) = RQ D D = ,11

16 Distance dun point à une droite de R 3 pour trouver la distance dun point Q à une droite dans R 3 1.Déterminer le vecteur directeur de la droite. 2.Construire le vecteur allant dun point R quelconque de la droite au point Q. 3.Calculer laire du parallélogramme construit sur ces deux vecteurs (module du produit vectoriel). Procédure Remarque : Lorsque deux points de la droite sont connus, on peut déterminer un vecteur directeur en considérant le vecteur dont lorigine est un de ces points et dont lextrémité est lautre point. 4.Diviser laire du parallélogramme par la longueur de sa base (module du vecteur directeur) pour en obtenir la hauteur qui est la distance cherchée.

17 Exercice SS Le vecteur directeur de est : = (–5; –6; 7) D Trouver la distance du point Q(5; 4; –7) à la droite : x = 8 – 5t y = 2 – 6t z = 3 + 7t En posant t = 0 dans léquation de, on obtient le point R(8; 2; 3). La distance du point au plan est donc denviron 757,14 unités. La distance est alors donnée par : = (5; 4; –7) – (8; 2; 3) = (–3; 2; –10). RQ On a alors le vecteur Le produit vectoriel donne : ijk –32–10 –5–67 + ( )= (14 – 60)i– (–21 – 50)j k RQ D = = –46i + 71jk+ 28 d(Q, ) = RQ D D = ,14

18 Conclusion Le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs dont on effectue le produit, dont le sens est donné par la règle de la main droite et dont le module est égal au produit des modules et du sinus de langle entre les vecteurs. Lorsque les vecteurs sont donnés dans la base orthonormée usuelle, on peut trouver ce vecteur, exprimé dans cette même base, en effectuant le calcul dun déterminant. Le module du produit vectoriel de deux vecteurs donne laire du parallélogramme construit sur ceux-ci.

19 Lecture Exercices Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 9.4, p Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 9.3, p. 270 à 273.


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