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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Calcul de volume méthode des tranches Calcul de volume méthode des tranches.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Calcul de volume méthode des tranches Calcul de volume méthode des tranches

2 Introduction On a vu comment déterminer laire dune surface plane par un découpage en tranches et en prenant la limite lorsque la largeur de ces tranches tend vers 0 (maxx i 0). De façon analogue, on peut considérer plusieurs solides comme des empilements de tranches de même forme. On peut calculer le volume de certains solides par un découpage en tranches et en prenant la limite lorsque lépaisseur de ces tranches tend vers 0 (maxy i 0).

3 Cylindre droit S - Définition Cylindre droit On appelle cylindre droit tout solide engendré par la translation dune surface plane le long dune droite (ou dun axe) qui lui est perpendiculaire.

4 Cylindre droit S - Définition Volume dun cylindre droit Le volume dun cylindre circulaire droit est le produit de sa surface génératrice par sa hauteur. V = Ah Lorsquil est possible de diviser le solide en tranches semblables dont la surface varie de façon proportionnelle à une des dimensions, on peut déterminer un élément différentiel du volume et lexprimer en fonction dune seule variable en utilisant la proportionnalité des dimensions du solide. Lexemple suivant illustre cette procédure.

5 Exemple SS Déterminer le volume de la pyramide droite dont le côté de la base est de 4 m et la hauteur est de 6 m. Construisons un système daxes de telle sorte que la hauteur se confonde avec laxe vertical et dont laxe des x traverse la base parallèlement à un des côtés. Considérons une tranche de ce solide parallèle à la base et notons c la longueur du côté de cette tranche. Toutes les tranches parallèles à celle représentée sont de surface carrée. De plus, la longueur du côté dune tranche dépend de sa hauteur dans la pyramide. Établissons cette relation. En considérant une coupe de la pyramide dans le plan du système daxes, on obtient des triangles semblables. On peut alors établir le rapport des côtés et on obtient : Lélément de volume est le produit de sa surface c 2 par sa hauteur y, soit : V = c 2y Et, par substitution : La différentielle du volume est alors : S En intégrant, on obtient : Le volume de la pyramide est donc de 32 m 3.

6 Tranches dun solide Procédure pour calculer le volume dun solide (méthode des tranches) 1.Faire une esquisse du solide et représenter la tranche qui servira pour déterminer la différentielle du volume du solide. 2.Déterminer le volume de cette tranche. 4.Rédiger la conclusion et interpréter le résultat, sil y a lieu. 3.Déterminer les bornes dintégration et intégrer.

7 Exercice SS Déterminer le volume du cône droit dont le rayon de la base est de 2 cm et la hauteur est de 12 m. Construisons un système daxes de telle sorte que la hauteur se confonde avec laxe vertical et dont laxe des x traverse la base et forme un diamètre. Considérons une tranche de ce solide parallèle à la base et notons r le rayon de cette tranche. Toutes les tranches parallèles à celle représentée sont de surface circulaire. De plus, le rayon dune tranche dépend de sa hauteur dans le cône. Établissons cette relation. En considérant une coupe du cône dans le plan du système daxes, on obtient des triangles semblables. On peut alors établir le rapport des côtés et on obtient : Lélément de volume est le produit de sa surface πr 2 par sa hauteur y, soit : V = πr 2y Et, par substitution : La différentielle du volume est alors : S En intégrant, on obtient : Le volume du cône est donc de 16π cm 3.

8 Exercice SS Déterminer le volume de la sphère dont le rayon est de 10 dm. Construisons un système daxes dont lorigine est au centre de la sphère. Considérons une tranche de ce solide et notons r le rayon de cette tranche. Toutes les tranches parallèles à celle représentée sont de surface circulaire. De plus, le rayon dune tranche dépend de sa distance au centre de la sphère S Il nous faut établir la relation entre le rayon dune tranche et sa distance au centre. En considérant une coupe de la sphère et en notant x la distance de la tranche au centre, on peut établir, par Pythagore, que le rayon de la tranche est : La tranche étant un cylindre droit dépaisseur x, son volume est : La différentielle du volume est alors : En intégrant, on obtient : Le volume de la sphère est donc de 4000π/3 dm 3.

9 Exercice SS La base du solide illustré, dans le plan Oxy, est la courbe définie par y = 4 – x 2. Les sections transversales perpendiculaires à la base sont des quarts de cercle. Déterminer le volume de ce solide. Considérons une tranche quelconque dépaisseur y de ce solide. Cette tranche est un quart de cercle, son aire est donc A = πr 2 /4. et Il nous faut exprimer ce rayon en fonction de x en isolant dans léquation y = 4 – x 2. On obtient : Le volume dune tranche est alors : On doit intégrer selon y et lintervalle dintégration est [0; 4]. Par lintégrale définie, on a : On obtient donc 2π unités de volume.

10 Disques pleins et disques troués La surface génératrice est décomposable en bandes rectangulaires perpendiculaires à laxe. Dans plusieurs situations, la tranche du solide est un disque qui peut être plein ou troué selon que le solide est plein ou creux. On peut alors considérer que le solide est engendré par la rotation autour dun axe dune région plane appelée surface génératrice. Axe de rotation Surface génératrice La rotation de chacune de ces bandes autour de laxe engendre un disque.

11 Solide de révolution S - Définition Solide de révolution Un solide de révolution est un solide engendré par la rotation dune surface plane autour dun axe situé dans le même plan que cette surface. Cette surface est appelée surface génératrice. Un solide de révolution peut être plein ou creux. Il est plein lorsque laxe de rotation est une des frontières de la surface génératrice. Les tranches du solide sont alors des disques pleins. Le solide est creux lorsque laxe de rotation nest pas une des frontières de la surface génératrice. Les tranches du solide sont alors des disques troués.

12 Tranches circulaires dun solide plein Procédure pour calculer le volume dun solide (méthode des disques pleins) 1.Faire une esquisse de la surface génératrice et dune bande rectangulaire perpendiculaire à laxe de rotation. 2.Utiliser la fonction décrivant la frontière de la surface génératrice pour exprimer la longueur de cette bande en fonction de la variable appropriée en tenant compte de laxe de rotation. 5.Rédiger la conclusion et interpréter selon le contexte, sil y a lieu. 4.Déterminer les bornes dintégration et intégrer. 3.Décrire le volume du disque engendré en fonction de la variable dintégration, en déduire la différentielle du volume du solide.

13 Exemple SS En utilisant la méthode des disques pleins, déterminer le volume du solide de révolution engendré par la révolution de la région bornée par y = x 2, x = 0 et y = 4 autour de laxe des y. Représentons la surface génératrice et une bande rectangulaire perpendiculaire à laxe de rotation. S La longueur de la bande rectangulaire est égale à labscisse x. Cette longueur est le rayon du disque, on a donc r = x. De plus, lépaisseur du disque est y. Lélément de volume est donc : Faisons une esquisse du solide engendré. x y y r V = πx 2y Pour intégrer, il faut que cet élément de volume soit exprimé en fonction dune seule variable. Puisque lon intègre par rapport à y et que y = x 2, on a : V = πy y En intégrant par rapport à y, les bornes dintégration sont 0 et 4. Cela donne : y = x 2 (2; 4) 0 4 Par la définition de lintégrale définie, on a : On trouve donc 8π unités de volume. x y y

14 Exercice SS En utilisant la méthode des disques pleins, déterminer le volume du solide engendré par la révolution autour de laxe des y de la région bornée par : Représentons la surface génératrice et une bande rectangulaire perpendiculaire à laxe de rotation. S Le rayon du disque est r = x = y 2 et : Esquissons le solide engendré. V = πr 2y = πy 4y, x = 0 et y = 2 La différentielle du volume du solide est : dV = πy 4 dy On intègre par rapport à y, les bornes dintégration sont 0 et 2. Lintégrale donne : On trouve donc 32π/5 unités de volume. 2 r = x y 0

15 Exemple SS En utilisant la méthode des disques pleins, déterminer le volume du solide de révolution engendré par la révolution de la région bornée par y = 1/x, x = 1/2 et x = 3 autour de laxe des x. Représentons la surface génératrice et une bande rectangulaire perpendiculaire à laxe de rotation. S La longueur de la bande rectangulaire est égale à lordonnée y. Cette longueur est le rayon du disque, on a donc r = 1/x. De plus, lépaisseur du disque est x. Lélément de volume est donc : Faisons une esquisse du solide engendré. On intègre par rapport à x, les bornes dintégration sont donc 1/2 et 3. Cela donne : Par la définition de lintégrale définie, on a : V = x πx2πx2 On trouve donc 5π/3 unités de volume. y y = 1/x (1/2; 2) x x y r x x

16 Exercice SS En utilisant la méthode des disques pleins, déterminer le volume du solide engendré par la révolution autour de laxe des x de la région bornée par : Représentons la surface génératrice et une bande rectangulaire perpendiculaire à laxe de rotation. S Le rayon du disque est r = y = 3 – x et : Esquissons le solide engendré. V = πr 2y = π(3 – x) 2y y = 3 – x, x = 0 et x = 2 La différentielle du volume du solide est : dV = π(3 – x) 2 dx On intègre par rapport à x, les bornes dintégration sont 0 et 2. Lintégrale donne : On trouve donc 26π/3 unités de volume. 2 r = y x 0

17 Disques troués Laire du disque troué est la différence des aires de deux disques : A = πR 2 – πr 2 où R est le rayon extérieur et r le rayon intérieur. Lorsque laxe de rotation nest pas une des frontières de la surface génératrice, la rotation de la bande rectangulaire, perpen- diculaire à laxe donne un disque troué. Le rayon extérieur est donné par la fonction décrivant la frontière de la surface génératrice la plus éloignée de laxe de rotation. Le rayon intérieur est donné par la fonction décrivant la frontière de la surface génératrice la plus rapprochée de laxe de rotation. r R

18 Disques troués et solide engendré Considérons quelques tranches de la région ci-contre. Lorsque laxe de rotation nest pas une des frontières de la surface génératrice, le solide engendré est creux. La rotation de chacune de ces tranches donne un disque troué et le solide engendré est creux. On peut déterminer le volume dun représentant de ces disques troués pour obtenir une différentielle du solide de révolution. La sommation des volumes de ces disques troués lorsque leur épaisseur tend vers 0 donne le volume du solide creux.

19 Tranches dun solide creux Procédure pour calculer le volume dun solide (méthode des disques troués) 1.Faire une esquisse de la surface génératrice et dune bande rectangulaire perpendiculaire à laxe de rotation. 2.Déterminer le rayon extérieur et le rayon intérieur du disque engendré par la rotation de cette bande. 5.Rédiger la conclusion et interpréter selon le contexte, sil y a lieu. 4.Déterminer les bornes dintégration et intégrer. 3.Décrire la surface du disque troué et son volume, en déduire la différentielle du volume du solide.

20 Le rayon intérieur est donné par la fonction y = x, on a donc r = x. Exemple SS En utilisant la méthode des disques troués, déterminer le volume du solide engendré par la révolution autour de laxe des x de la région bornée par : Représentons la surface génératrice et une bande rectangulaire perpendiculaire à laxe de rotation. S Le rayon extérieur du disque engendré par la rotation est donné par la fonction y = x + 1/2. On a donc R = x + 1/2. Esquissons le solide engendré. R La surface du disque troué est donnée par : x r, y = x + 1/2, x = 0 et x = 2. A = π(R 2 – r 2 ), où R = x + 1/2 et r = x. On a donc : Le volume du représentant des disques troués est alors : La différentielle du volume du solide est donc : Les bornes dintégration sont 0 et 2. Lintégration donne : On trouve donc 14π/3 unités de volume.

21 Exercice SS En utilisant la méthode des disques troués, déterminer le volume du solide engendré par la révolution autour de laxe des x de la région bornée par : Représentons la surface génératrice et une bande rectangulaire perpendiculaire à laxe de rotation. S Le rayon extérieur du disque engendré par la rotation est donné par la fonction y = x On a donc R = x. Esquissons le solide engendré. La surface du disque troué est donnée par : y = x 2 et y = x Le rayon intérieur est donné par la fonction y = x 2, on a donc r = x 2. A = π(R 2 – r 2 ), où R = x et r = x 2. On a donc : Le volume du représentant des disques troués est alors : La différentielle du volume du solide est donc : Les bornes dintégration sont 0 et 1. Lintégration donne : On trouve donc 2π/15 unité de volume. R x r

22 Exemple SS En utilisant la méthode des disques troués, déterminer le volume du solide engendré par la révolution autour de laxe des y de la région bornée par : Représentons la surface génératrice et une bande rectangulaire perpendiculaire à laxe de rotation. S Le rayon extérieur du disque engendré par la rotation est donné par la fonction y = x 2. On a donc Esquissons le solide engendré. R La surface du disque est donnée par : y r y = x et y = x 2 Le rayon intérieur est donné par la fonction y = x, on a donc r = x. A = π(R 2 – r 2 ), où r = y et R = y. On a donc : Le volume du représentant des disques troués est alors : La différentielle du volume du solide est donc : Les bornes dintégration sont 0 et 1. Lintégration donne : On trouve donc π/6 unité de volume.

23 Exercice SS En utilisant la méthode des disques troués, déterminer le volume du solide engendré par la révolution autour de laxe des y de la région bornée par : Représentons la surface génératrice et une bande rectangulaire perpendiculaire à laxe de rotation. S Le rayon extérieur du disque engendré par la rotation est donné par la fonction x = 1. On a donc R = 1. Esquissons le solide engendré. R = 1 La surface du disque est donnée par : y r y = x 2, y = 0 et x = 1 A = π(R 2 – r 2 ), où R = 1 et r = y. Le rayon intérieur est donné par la fonction y = x 2, on a donc r = y. On a donc : Le volume du représentant des disques troués est alors : La différentielle du volume du solide est donc : Les bornes dintégration sont 0 et 1. Lintégration donne : On trouve donc π/2 unité de volume. dV = π(1 – y) dy

24 Axe de rotation Laxe de rotation dune surface génératrice nest pas nécessairement laxe des x ou laxe des y. Toute droite de la forme x = c et y = d peut être considérée comme axe de rotation. Pour déterminer le rayon interne et le rayon externe dun disque troué, il faut déterminer la distance entre laxe de rotation et les frontières de la surface génératrice.

25 Le rayon intérieur est la distance entre laxe de rotation et la fonction y = x, on a donc r = x + 1/2.. Exemple En utilisant la méthode des disques troués, déterminer le volume du solide engendré par la révolution autour de la droite y = –1/2 de la région bornée par : Représentons la surface génératrice, une bande rectangulaire perpendiculaire à laxe de rotation et esquissons le solide engendré. Le rayon extérieur du disque engendré par la rotation est donné par la distance entre laxe de rotation et la fonction y = x + 1/2. On a donc R = x + 1. La surface du disque troué est donnée par :, y = x + 1/2, x = 0 et x = 2. A = π(R 2 – r 2 ), où R = x + 1 et r = x + 1/2. SSS R x r On a donc : La différentielle du volume du solide est : Les bornes dintégration sont 0 et 2. Lintégration donne : On obtient unités de volume.

26 Exercice En utilisant la méthode des disques troués, déterminer le volume du solide engendré par la révolution autour de la droite y = –1 de la région bornée par : Représentons la surface génératrice, une bande rectangulaire perpendiculaire à laxe de rotation et esquissons le solide engendré. Le rayon extérieur du disque engendré par la rotation est donné par la distance entre laxe de rotation et la droite y = 1. On a donc R = 2. La surface du disque troué est donnée par : y = x, x = 0 et y = 1. A = π(R 2 – r 2 ), où R = 2 et r = x + 1. Le rayon intérieur est la distance entre laxe de rotation et la fonction y = x, on a donc r = x + 1. SSS R x r On a donc : La différentielle du volume du solide est : Les bornes dintégration sont 0 et 1. Lintégration donne : On obtient 5π/3 unités de volume.

27 Conclusion Lorsque laxe de rotation est une des frontières de la surface génératrice, les tranches sont des disques pleins et le solide également. On peut calculer le volume dun solide en considérant quil est formé de tranches parallèles à sa base. Le volume du représentant des tranches est le produit de laire de la tranche par son épaisseur. On en déduit la différentielle du volume du solide et, par lintégrale, on fait la somme du volume des tranches pour obtenir celui du solide. Dans certains cas, les tranches sont des disques, pleins ou troués. Dans ces situations, on peut considérer que le solide est engendré par la rotation dune région autour dun axe. Lorsque laxe de rotation nest pas une des frontières de la surface génératrice, les tranches sont des disques troués et le solide est creux.


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