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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Laire, limite dune somme Laire, limite dune somme.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Laire, limite dune somme Laire, limite dune somme

2 Introduction Dans cette présentation, nous allons voir comment on peut définir laire sous une courbe comme limite dune somme de différentielles.

3 Exemple Décomposer laire sous la courbe définie par f(x) = x 2 dans lintervalle [0; 1] en 5 rectan- gles de même base et estimer laire sous la courbe à laide de ces rectangles. SSS Considérons limage des frontières de gauche des sous-intervalles comme hauteur : A > A1 A1 + A2 A2 + A 3 + A4 A4 + A5A5 A > f(0) dx + f(1/5) dx f(4/5) dx A < f(1) dx + f(2/5) dx f(5/5) dx A > 30/125 A < A1 A1 + A2 A2 + A 3 + A4 A4 + A5A5 A < 55/125 Considérons les images des frontières de droite des sous-intervalles : A > 30/125 A < 55/125

4 En augmentant le nombre de sous- intervalles, on augmente la précision de lestimation. Discussion SS A > 30/125 A < 55/125 A > 285/1000 A < 385/1000 REMARQUE : Cette discussion nous indique comment obtenir laire exacte sous la courbe. Il faut diviser lintervalle en un nombre infini de sous-intervalles.

5 Sommes de puissances dentiers SSS Les sommes des puissances des n premiers entiers positifs sont données par les expressions suivantes :

6 Exemple En considérant les frontières droites, déterminer laire sous la courbe définie par f(x) = x 2 dans lintervalle [0; 1] en évaluant la limite de la somme des aires de rectangles lorsque leur nombre tend vers linfini. SS Considérons que lintervalle [0; 1] est divisé en n sous-intervalles : [0; 1/n], [1/n; 2/n], [2/n; 3/n],..., [(n–1)/n; n/n]n/n] Considérons les images des frontières de droite des sous-intervalles : SSS Laire sous la courbe de f(x) = x 2 dans lintervalle [0; 1] est donc égale à 1/3 unité daire.

7 Exercice En considérant les frontières gauches, déterminer laire sous la courbe définie par f(x) = x 2 dans lintervalle [0; 1] en évaluant la limite de la somme des aires de rectangles lorsque leur nombre tend vers linfini. SS Considérons que lintervalle [0; 1] est divisé en n sous-intervalles : [0; 1/n], [1/n; 2/n], [2/n; 3/n],..., [(n–1)/n; n/n]n/n] Considérons les images des frontières de gauche des sous-intervalles : SSS Laire sous la courbe de f(x) = x 2 dans lintervalle [0; 1] est donc égale à 1/3 unité daire.

8 Somme de Riemann DÉFINITION Somme de Riemann Soit f, une fonction définie sur [c; d] et P = {x 0, x 1, x 2,..., x n } une partition de cet intervalle, où x 0 = c et x n = d. On appelle somme de Riemann toute somme de la forme : En utilisant une somme de Riemann, on peut calculer une valeur approchée de laire sous la courbe dune fonction positive. De plus, en considérant la limite lorsque la largeur du plus grand des sous- intervalles tend vers 0, soit : et x i = x i – x i–1 on obtient la grandeur réelle de cette aire.

9 Intégrale définie DÉFINITION Intégrale définie Soit f, une fonction définie sur [c; d] et P = {x 0, x 1, x 2,..., x n } une partition de cet intervalle. Lintégrale définie de la fonction f sur lintervalle [c; d] est notée : et définie par : lorsque cette limite existe. Lorsque cest le cas, on dit que la fonction est intégrable sur lintervalle [c; d]. Dans cette notation, c est appelée la borne inférieure et d la borne supérieure de lintégration. La fonction f(x) est appelée lintégrande.

10 Procédure dintégration Calcul de laire par une somme de Riemann 1.Déterminer la largeur x des sous-intervalles, x = (d–c)/n. 2.Déterminer la frontière droite du i e sous-intervalle et calculer son image par la fonction (cette image est la hauteur du rectangle). 3.Déterminer laire du i e rectangle (terme général de la somme). 4.Écrire la somme de Riemann, effectuer les simplifications algébriques et écrire les sommes sous forme compacte. SSS 5.Évaluer la limite de la somme et interpréter le résultat selon le contexte en tenant compte des unités sil y a lieu. S

11 Calculer lintégrale définie suivante : Exemple SS S On doit déterminer laire sous la courbe de f(x) = 4 – x 2 sur lintervalle [0; 2]. La frontière droite du i e rectangle est 2i/n et son image est : Laire du i e rectangle est : S

12 Calculer lintégrale définie suivante : Exemple SS S On doit déterminer laire sous la courbe de f(x) = x 2 sur lintervalle [2; 5]. La frontière droite du i e rectangle est 2 + 3i/n et son image est : Laire du i e rectangle est : Les rectangles seront de largeur 3/n.


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