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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Évolution à taux constant Évolution à taux constant.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Évolution à taux constant Évolution à taux constant

2 Introduction Dans cette présentation, nous verrons que dans certaines situations laire sous une courbe peut représenter une grandeur physique.

3 S Le réservoir illustré ci-contre contient 500 L de liquide. Lopérateur ouvre la valve de la conduite principale pour augmenter le volume de liquide. Lindicateur de débit donne une lecture de 15 L/min et lopérateur referme la valve après 1 h 40 min. Exemple a)Représenter graphiquement la fonction débit et calculer le volume de liquide ajouté dans le réservoir 60 minutes après louverture de la valve. Le débit est constant, sa représentation graphique est une droite horizontale. Le volume de liquide ajouté après 60 minutes est le produit du débit par lintervalle de temps écoulé. Cet intervalle est : Débit (L/min) Temps (min) V t t t = 60 – 0 = 60 min et V(60) = 15 L/min 60 min = 900 L

4 S Exemple b)Construire un modèle décrivant le volume de liquide dans le réservoir en fonction du temps et représenter graphiquement ce modèle. Le volume de liquide au temps t est le volume initial plus le volume de liquide ajouté. On a donc : V = V 0 + V = 15t Débit (L/min) Temps (min) V t t V(t) = 500 L + 15 L/min t min = 15 t L Dans la situation présente, lintervalle de temps est : t = t – 0 = t min On a donc : Volume (kL) Temps (min) t V(t)V(t) 2,0 1,5 1,0 0, Le modèle obtenu décrit laire sous la courbe du débit en fonction du temps t.

5 S S La vitesse étant constante, la représentation graphique de la vitesse en fonction du temps est une droite horizontale. La vitesse étant constante, la variation de la position est le produit de la vitesse par le temps, soit : t = 4 – 0 = 4 s et s = 0,4 m/s 4 s = 1,6 m La vitesse étant constante, la représentation graphique de la vitesse en fonction du temps est une droite horizontale. La vitesse étant constante, la variation de la position est le produit de la vitesse par le temps, soit : t = 4 – 0 = 4 s et s = 0,4 m/s 4 s = 1,6 m Vitesse (m/s) t v(t)v(t) 0,8 0, Un mobile part dun point fixe O et séloigne vers la droite à une vitesse constante de 0,4 m/s pendant 5 secondes. Exemple a)Représenter graphiquement la fonction vitesse et évaluer s, la variation de la position de ce mobile durant les quatre premières secondes. s t t Temps (s) O s b)Décrire la position du mobile par rapport au point O en fonction du temps t et représenter graphiquement cette fonction. La position du mobile est donnée par : s = s 0 + v t où v = 0,4 m/s et s 0 = 0 puisque, à linstant t = 0, le mobile est au point O. De plus, t = t – 0 = t. La position est alors : s(t) = 0,4t m Graphiquement, cette fonction est un segment de droite de pente 0,4 m/s passant à lorigine et dont le domaine de validité est lintervalle [0; 5]. Position (m) Temps (s) t s(t)s(t) 2,0 1,6 1,2 0,8 0,

6 Temps (min) À laide de ces données, estimer le volume de liquide dans le réservoir et représenter graphiquement la fonction décrivant le volume en fonction du temps t. Un réservoir contient initialement 0,5 m 3 de liquide. On ouvre les vannes à pleine capacité et on diminue graduellement louverture à mesure que le réservoir se remplit. Exemple Débit (m/min) À chaque diminution du débit, on a fait la lecture de lindicateur de débit et on a obtenu les données suivantes : 0,01,25 1,20,75 2,80,50 3,40,25 3,80,00

7 S Temps (min) Débit (m/min) 0,01,25 1,20,75 2,80,50 3,40,25 3,80,00 Exemple La variation du volume de liquide est donnée par laire sous la courbe du débit puisque le débit est constant par intervalle. V(1,2)= V(0) + V| [0;1,2[ = 0,5 + 1,25 1,2 = 2 m3m3 V(0) = 0,5 m3m3 V(2,8)= V(1,2) + V| [1,2;2,8[ = 2 + 0,75 1,6 = 3,2 m3m3 V(3,4)= V(2,8) + V| [2,8;3,4[ = 3,2 + 0,50 0,6 = 3,5 m3m3 V(3,8)= V(3,4) + V| [3,4;3,8[ = 3,5 + 0,25 0,4 = 3,6 m3m3 a = 1,25 m 3 /min a = 0,75 m 3 /min a = 0,50 m 3 /min a = 0,25 m 3 /min 1,5 m 3 a = 0 m 3 /min 1,2 m 3 0,3 m 3 0,1 m 3

8 Conclusion Laire sous la courbe dune grandeur physique peut également représenter une grandeur physique. Nous navons pas défini de façon stricte ce que lon entend par une aire délimitée par une courbe. Nous avons eu recours à une compréhension intuitive. Nous devrons éventuellement donner une telle définition en ayant recours à la notion de limite. Évidemment, les cas les plus intéressants sont ceux pour lesquels la courbe nest pas une droite horizontale. Cest-à-dire : comment procède-t-on lorsque le débit nest pas constant ? comment procède-t-on lorsque la vitesse nest pas constante ? comment procède-t-on lorsque laccélération nest pas constante ? Nous étudierons ces cas dans une prochaine présentation.


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