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David Rolland, formateur en mathématiques. I- Vos connaissances II- Généralités sur les grandeurs III. Mesurer une grandeur IV- Longueurs et distances.

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1 David Rolland, formateur en mathématiques

2 I- Vos connaissances II- Généralités sur les grandeurs III. Mesurer une grandeur IV- Longueurs et distances dans le plan V- Aires dans le plan VI. Angles VII. Les durées VIII. Quelques éléments de didactique 2

3 1. Faites-vous une différence entre les expressions «longueur dun ruban» et «mesure dun ruban» ? Si oui, laquelle ? 2. Faites-vous une différence entre les mots « aire » et « surface » ? Si oui, laquelle ? 3. Quelles sont les grandeurs étudiées à lécole primaire ? 4. Quelle définition donneriez-vous du « mètre » ? 5. Comment définiriez-vous le périmètre dune figure ? 6. « Plus laire dune figure augmente, plus son périmètre augmente ». Cette phrase est-elle vraie ou fausse ? 7. Si on multiplie les dimensions dun rectangle par 5, par combien est multipliée son aire ? 8. Si on multiplie par 3 les dimensions dun pavé, par combien est multiplié son volume ? 9. Convertir en heures, minutes, secondes : 7 h 47 min 12 s + 5 h 54 min 49 s puis 2,56 h.

4 Nous avons tellement lhabitude de mesurer des longueurs, calculer des aires, exprimer des durées en heures, minutes et secondes, que nous avons du mal à penser ces grandeurs autrement quen termes de nombres, autrement dit que de manière quantifiée. Des expressions comme « calculer le périmètre dun rectangle ou dun cercle », « appliquer une formule pour trouver laire dun disque ou dun triangle » signalent des liens profonds, une parenté très forte entre la notion de grandeur et celle de nombre. En effet, ces expressions évoquent la possibilité de calculs avec des grandeurs alors que classiquement les opérations seffectuent entre nombres.

5 Une grandeur est une qualité commune à certaines catégories dobjets : - la longueur pour les lignes ; - les aires pour les surfaces ; - langle pour les secteurs du plan ; - le volume pour les solides ; - la masse pour les objets matériels ; - la durée pour les événements…

6 Pour expliquer ces deux propriétés, prenons lexemple des lignes.

7 La longueur possède ces deux propriétés. Cela a du sens de dire que deux lignes ont la même longueur et chaque catégorie de lignes contient toutes les lignes ayant la même longueur. Cela a aussi du sens de dire quune ligne est plus longue quune autre. Dautre part, si une ligne L1 est plus longue quune ligne L2, elle-même plus longue quune ligne L3, alors L1 est plus longue que L3, cest la propriété de transitivité.

8 Toutes les qualités que lon peut attribuer aux objets nont pas de telles propriétés. En effet, considérons la qualité pour une ligne dêtre brisée ou non. On peut constituer deux catégories de lignes : celles des lignes brisées et celles des lignes non brisées. En revanche, cette qualité ne permet pas dordonner les lignes.

9 Une grandeur peut avoir une troisième propriété, elle peut être additive ou sommable. Prenons des exemples.

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11 Considérons deux récipients remplis de liquides, à des températures variées. Toutes les grandeurs nont pas cette propriété. Examinons un contre-exemple, celui de la température.

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13 Pour mesurer une grandeur G, on choisit une unité u, cest-à-dire la grandeur dun étalon U de référence. Les grandeurs que lon qualifie de mesurables possèdent les propriétés évoquées ci-dessus.

14 Si la grandeur est sommable, ajouter deux, trois, quatre unités, etc., cela a du sens. On peut même définir les multiples de u, cest-à-dire les grandeurs 2u, 3u, plus généralement nu comme étant respectivement égales à u+u, u+u+u, u+u+u+…+u, somme dans laquelle u est répétée n fois.

15 Il se peut que G soit égale à un multiple particulier de u, on écrit alors G = n u, ou que G soit comprise entre deux multiples successifs de u, on écrit alors nu

16 Si la grandeur nétait pas sommable, parler des multiples de lunité ou écrire des égalités ou inégalités comme ci-dessus nauraient pas de sens. Dans la pratique, la mesure conduit à une mesure exacte ou à un encadrement, cela dépend des unités dont on dispose.

17 La longueur est une grandeur attribuée aux lignes. Ces lignes peuvent être composées de segments ou de courbes. La longueur dune ligne fermée sappelle son périmètre. Pour un cercle, on dit indifféremment : périmètre dun cercle, longueur dun cercle ou circonférence dun cercle.

18 Supposons que lon ait choisi une longueur de référence u. La mesure l de la longueur L dune ligne avec lunité u est par définition le nombre de fois que u est comprise dans L. On dit que « la mesure de L avec lunité u est égale à l », on dit aussi « la mesure de L est égale à l u ». Ce nombre peut être entier, décimal ou même non décimal.

19 Voici la liste des unités du système métrique :

20 Kilomètrekm1000 m10 3 m hectomètrehm100 m10 2 m décamètredam 10 m10 1 m mètrem1 m décimètredm0,1 m10 -1 m centimètrecm0,01 m10 -2 m millimètremm0,001 m10 -3 m micromètre (micron)μm (μ)0, m10 -6 m nanomètrenm0, m picomètrepm0, m m

21 Remarque : Il peut être utile de connaître une unité utilisée en astronomie : lannée lumière (a.l.) qui équivaut à la distance parcourue par la lumière en une année, soit environ 9,46x10 12 km.

22 Quand on change dunités pour mesurer une longueur, ce nest pas la longueur qui change mais sa mesure. Ainsi on peut parfaitement écrire : 30 cm = 0,3 m = 3 dm = 300 mm.

23 On peut si lon dispose dune figure à léchelle mesurer la longueur de ce segment à laide dune règle graduée. On obtient alors une valeur approchée de la mesure. Cette valeur est approchée pour au moins deux raisons : - imprécision des graduations - inexactitude possible de la figure. On peut utiliser une méthode plus mathématique à laide de théorèmes connus, comme celui de Pythagore.

24 La tâche est plus délicate. Dans la pratique, on utilise un instrument, par exemple un curvimètre ou un mètre souple.

25 En labsence dun tel instrument, on peut tracer une ligne brisée dont les sommets sont sur la ligne courbe. En mesurant la ligne brisée on obtient une approximation de la mesure de la ligne courbe. Intuitivement, il paraît clair que plus les points choisis sont resserrés, plus lerreur commise est réduite.

26 Pour exprimer le résultat dune mesure physique, il est préférable dutiliser le symbole signifiant « à peu près égal à » ou de fournir un encadrement. Par exemple, si en mesurant un segment de longueur L avec une règle graduée au demi- millimètre, on trouve 3,2 cm, on écrira L 3,2 cm ou mieux, puisque la précision est connue : 3,15 cm < L < 3,25 cm.

27 Quand les calculs permettent dobtenir la mesure exacte dune longueur, en supposant exactes les données de lénoncé, on donne cette valeur exacte comme réponse et on donne une valeur approchée si lénoncé le demande en tronquant ou en arrondissant convenablement le développement décimal de la valeur exacte fournie par les calculs. Exemple : L = 2 π cm valeur arrondie de L à 0,1 près : L 6,3 cm.

28 3/ Formules : a/ rappel de quelques mesures obtenues en utilisant le théorème de Pythagore : Mesure de la diagonale dun carré de côté mesurant a : avec la même unité. Mesure de la hauteur dun triangle équilatéral de côté mesurant a : avec la même unité. b/ Mesure du périmètre dun polygone : somme des mesures des longueurs des côtés. c/ Mesure du périmètre dun cercle de rayon R : 2πR2πR

29 a/ Distance de deux points A et B La distance entre deux points A et B est la mesure de la longueur du segment [AB]. On la note d(A,B) ou AB.

30 Si lon considère toutes les lignes de lespace dont les extrémités sont A et B, elles ont toutes une longueur supérieure ou égale à AB.

31 On a en particulier ce que lon appelle linégalité triangulaire : AB AC + CB quels que soient les 3 points A,B et C. Linégalité est stricte sauf si A, B et C sont alignés et C entre A et B. En langage courant, on dit : « la ligne droite est le plus court chemin dun point à un autre ».

32 Par un point M extérieur à une droite (D), on peut mener une seule droite (D) perpendiculaire à la droite (D). Soit H le point dintersection de (D) et de (D). On appelle « distance de M à (D) » la mesure de la longueur [MH].

33 NB : si le point M est sur (D), alors H=M, la distance de M à (D) est nulle. En langage courant, on dit que « MH est le plus court chemin du point M à la droite (D) ».

34 Voici quatre figures : Dans chaque figure, F est une région délimitée par une ligne fermée. N est un point quelconque de cette ligne et M est un point fixe extérieur à F.

35 Les figures ci-dessous montrent où doit être placé le point N pour que la mesure de MN soit minimale. Sur les trois premières figures à partir de la gauche, il ny a quune seule possibilité, cest le point H. Sur la quatrième, il y a les deux possibilités H 1 et H 2.

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37 Sur cette figure, on a deux droites fixes (D) et (D) et deux points M de (D) et N de (D). La mesure de la longueur du segment [MN] dépend de la position de M et N. La valeur minimale de cette mesure est ce que lon appelle la distance de (D) et (D).

38 La distance de deux droites sobtient en traçant une perpendiculaire commune (D) à ces deux droites. La mesure du segment porté par (D), délimité par (D) et (D) donne la valeur de cette distance (sur la figure : H 1 M 1 ou H 2 M 2 ).

39 Laire est une grandeur attribuée aux surfaces (régions) du plan. Toute surface occupe une étendue ; cette étendue est ce que lon appelle « laire ». Les mots « aire » et « superficie » sont synonymes en mathématiques. Dans le plan, les seules surfaces que nous allons considérer seront composées dune ou dun nombre fini de régions délimitées chacune par un nombre fini de lignes fermées.

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41 Mesure dune aire : Supposons que lon ait choisi une aire de référence u. La mesure a de laire A dune surface avec lunité u est par définition le nombre de fois que u est comprise dans A. On dit « la mesure de A avec lunité u est égale à a.u » ou « la mesure de A est égale à au ». On écrit : mes u A= a ou plus simplement A = au. Ce nombre peut être entier, décimal ou non décimal.

42 Les contenus mathématiques de ce paragraphe mettent en relation trois notions différentes : La surface (objet géométrique) Laire (grandeur) La mesure (nombre). Vous devez faire attention dans les expressions et les notations utilisées de ne pas confondre ces trois notions.

43 En particulier, il vaudrait mieux ne pas utiliser le mot « surface » quand on veut parler « daire ». Il faudrait aussi éviter de dire ou décrire que les deux surfaces sont égales sous le prétexte quelles ont la même aire.

44 Les aires de ces trois figures sont toutes égales à 4 cm 2, mais les trois surfaces ne sont pas égales entre elle, elles ne sont même pas superposables.

45 Voici la liste des unités les plus usitées du système métrique. Kilomètre carrékm m10 6 m Hectomètre carréhm m10 4 m Décamètre carrédam m10 2 m Mètre carrém2m2 1 m Décimètre carrédm 2 0,01 m10 -2 m Centimètre carrécm 2 0,000 1 m10 -4 m Millimètre carrémm 2 0, m10 -6 m

46 Chaque unité est cent fois plus petite que celle qui la précède dans le tableau. Les unités daires du système international sont construites comme produit de deux longueurs. Ainsi : 1 décamètre 2 = (1 décamètre) 2 = (10 mètres) 2 = 10 2 mètres 2 = 100 mètres 2. La puissance deux (« au carré ») affecte aussi le préfixe déca qui ne signifie plus 10 mais On dit souvent quun cm 2 cest un carré de un cm de côté. Cette phrase est maladroite. Elle laisse à penser que lunité daire, ici le cm 2, est une surface de forme carrée. Il vaut mieux dire « un cm 2, cest laire dun carré de un cm de côté » de ne pas oublié que quun cm 2, cest aussi laire des diverses surfaces dessinées ci-après.

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49 Quand on change dunités pour mesurer une aire, ce nest pas laire qui change mais sa mesure. Ainsi, on peut parfaitement écrire : 30 cm 2 = 0,003 m 2 = 0,3 dm 2 = mm 2. Plus lunité choisie est petite, plus le nombre qui exprime la mesure augmente, mais laire ne change pas.

50 Pour certaines surfaces, il existe des formules. Pour les surfaces planes quelconques, il est souvent commode de les décomposer en surfaces plus simples pour lesquelles il existe une formule de calcul. On peut aussi procéder par soustraction. Exemple :

51 La décomposition de loctogone en cinq carrés et quatre triangles isocèles rectangles permet den calculer laire : Mes cm² (aire de loctogone) = x 0,5. Laire de loctogone est de 7 cm².

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54 Les Points A 1, A 2, A 3, A 4 sont tous sur la droite D parallèle à (BC). Ils sont tous à la même distance de la droite (BC). Donc les hauteurs issues de A 1, A 2, A 3, A 4 dans les triangles A 1 BC, A 2 BC, A 3 BC, A 4 BC ont la même mesure. Comme ces triangles ont une base commune [BC], les triangles A 1 BC, A 2 BC, A 3 BC, A 4 BC ont la même aire.

55 Langle est une grandeur attribuée aux secteurs du plan, régions délimitées par deux demi-droites de même origine.

56 La notion dangle correspond à lidée intuitive douverture. Sur la figure, les secteurs, numérotés dans lordre croissant sont de plus en plus ouverts, les angles associés à ces secteurs sont de plus en plus grands.

57 Mesure dun angle : Supposons que lon ait choisi un angle de référence u. La mesure a de langle A dun secteur avec lunité u est par définition le nombre de fois que u est comprise dans A. On écrit : mes u A = a ou plus simplement A = au. Quand lunité est le degré (°), on dit que la mesure de A est égale à a° ou que A est égal à a°. On écrit : A = a°. Ce nombre peut être entier, décimal ou non. Il est compris entre 0° et 360°.

58 Lunité utilisée est le degré ; son abréviation est °. Pour les angles dont la mesure en degrés nest pas un nombre entier, on peut utiliser deux notations : La notation décimale, par exemple 23,6° La notation sexagésimale, par exemple 23°1243, qui se lit 23 degrés 12 minutes 43 secondes. On a les égalités suivantes : 1° = 60= et 1 = 60.

59 Il existe dautres unités. Le grade (abréviation gr). Certains rapporteurs sont gradués en grades. Un angle droit mesure 100 gr. Le radian (abréviation rd), que lon utilise dès la seconde du lycée (le degré étant abandonné au profit du radian).

60 Soit un cercle de centre O et de rayon R, deux points A et B de ce cercle tels que la longueur de larc soit égale à R. Par définition, langle mesure 1 rd.

61 La durée est une grandeur attribuée aux phénomènes, aux événements qui se découlent dans notre vie, dans notre environnement.

62 Pour comparer les durées de deux phénomènes, il y a deux cas théoriquement simples : Si les deux phénomènes débutent en même temps, le plus long est celui qui sachèvent en deuxième ; Si les deux phénomènes sachèvent en même temps, le plus long est celui qui a débuté en premier. Dans les autres cas, on compare le plus souvent leurs mesures.

63 Ce phénomène peut être naturel – la rotation de la terre autour de son axe, la révolution de la terre autour du soleil – ou artificiel, créé par lhomme, comme par exemple les oscillations dun pendule entretenue par des poids dans une horloge.

64 Les anciens (Babyloniens, Hébreux, Grecs, Egyptiens, Musulmans…) dont les connaissances en astronomie étaient parfois assez développées, ont pour la plupart défini les unités de durées à partir de lobservation de phénomènes comme le passage du soleil dans le plan méridien dun lieu, les phases de la lune, les équinoxes du printemps, phénomènes qui se reproduisent à intervalles réguliers respectivement dun jour, dun mois (en fait 29,5 jours) et dun an.

65 Malheureusement à cause du caractère elliptique de lorbite terrestre, de linclinaison de son axe par rapport au plan de son orbite, du fait aussi que la direction de cet axe varie un peu au cours des siècles, les périodes des phénomènes observés ne sont pas rigoureusement constantes. Lunité de base pour la mesure des durées, la seconde, est actuellement définie à partir de phénomènes se passant au niveau des électrons de latome de césium.

66 Semaine7 jours = 168 h = s Jourj24 h = s heureh3600 s minutemn60 s secondes millisecondems0,001 s = s microsecondeμs0, s = s nanosecondens0, s = s picosecondeps0, s = s On remarque quen dessous de la seconde, la logique est décimale alors quau dessus, les équivalences obéissent à un principe sexagésimal jusquà lheure.

67 Au-delà du jour de la semaine qui sont des multiples fixes de la seconde, on a coutume dutiliser le mois, lannée, le siècle comme autres unités, mais celles-ci sont variables. Les mois à 31 jours sont janvier, mars, mai, juillet, août, octobre et décembre. Ceux à 30 jours sont avril, juin, septembre et novembre. Le mois de février compte 29 jours ou 28 selon que lannée est bissextile ou non. Sont bissextiles les années des centenaires multiples de 400, donc 2000, 2400, 2800 mais pas 1900, 2100, Parmi les années autres que celles de ces centenaires, sont bissextiles les années multiples de 4, donc 1996, 2004, 2008 mais pas 2002,2003,2005.

68 De façon générale, le maître doit aider les élèves à percevoir les différences quil y a entre « un objet », « une grandeur » et « une mesure ». Les difficultés à comprendre que lon peut associer plusieurs grandeurs à un même objet sont une des principales sources derreurs chez les élèves.

69 Lélève doit aussi être capable de mettre en place des procédures de comparaisons de grandeurs sans faire appel aux nombres. Enfin, il doit comprendre que la notion de mesure intervient lorsque les procédures de comparaisons précédentes deviennent insuffisantes pour comparer des grandeurs (il peut être impossible par exemple de comparer laire dun carré et celle dun disque en les superposant).

70 En conséquence, dès lécole maternelle, les programmes demandent daborder la notion de grandeur au travers des activités de classement, de rangements dobjets ou à travers des activités de repérage dévénements dans le temps. Ces premières activités visent à construire chez les élèves le sens de la grandeur, indépendamment de la mesure et avant que celle-ci nintervienne.

71 Au cycle 3 sont abordées les mesures daires et de capacité. Attention : le m 3, ses multiples et ses sous-multiples ne sont pas au programme de lécole primaire. Dans ce cycle, le travail sur les mesures permet de renforcer les connaissances sur les décimaux.

72 Le maître doit exercer une certaine vigilance sur le langage utilisé pour évoquer les grandeurs. Le mot grandeur na pas à être utilisé en classe : il est remplacé par longueur, masse, aire, etc. selon le contexte. Les mots du domaine des longueurs sont assez nombreux. Citons hauteur dun monument, dun arbre (attention la hauteur du soleil est un angle); altitude dun sommet, dun avion en vol; dénivelé dune route; profondeur dune piscine; taille dune personne; tour de cou; distance entre deux lieux; largeur dun fleuve; périmètre dun polygone; circonférence dun cercle. Il est important pour lélève que tous ces mots, utilisés dans des contextes différents, se réfèrent au même concept, appelé en mathématiques longueur.

73 Certains mots désignant des unités de longueur (mètre, décimètre, décamètre) sont aussi utilises pour nommer un outil de mesure : mètre ruban, mètre de couturière, double-décimètre de lélève, décamètre darpenteur. Le mot aire doit être différencié de ses homonymes : lair que nous respirons, lair quon fredonne, laire géographique (apparentée à une surface), lère (lépoque). Dans le domaine des volumes, le terme contenance désigne un volume intérieur, les deux termes contenance et volume peuvent être utilisés, tout en soulignant leur différence avec le volume du son (qui évoque son intensité), le volume posé sur létagère (le livre)… A lécole primaire, le mot masse est considéré comme synonyme de poids, comme dans le langage courant.

74 Dabord identifier les grandeurs et les différencier de la mesure. ObjetGrandeurMesure Figures LongueurLignes Aire

75 Le parallélogramme a la même « étendue » que le rectangle :

76 Un rectangle mesure 24 carreaux : 6 4 Peut-on trouver un autre rectangle qui ait la même aire ?

77 Trouver une figure dont laire est plus petite que le rectangle et le périmètre plus grand Trouver une figure dont laire est plus grande et qui ait le même périmètre. Trouver une figure dont laire est plus grande et le périmètre plus petit.

78 Décrivons quelques activités pour lesquelles les élèves de lécole élémentaire ou du début de collège manifestent souvent des hésitations ou des erreurs de jugement.

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80 Deux baguettes de même longueur sont présentées à un enfant, comme lindique la figure 1a. il est invité à dire si une baguette est plus longue que lautre. En général, lenfant répond que non. La même question lui est reposée ensuite après que les baguettes aient été placées, sous ses yeux, dans la disposition représentée sue la figure 1b. Beaucoup denfants (GS, CP) donnent alors une réponse positive ; pour eux, tout se passe comme si la longueur dune baguette au moins avait été modifiée, comme si elle ne sétait pas conservée entre les deux moments de lexpérience.

81 Figure 2aFigure 2bFigure 2c

82 Deux ficelles de même longueur sont présentées à un enfant, comme lindique la figure 2a. Il est invité à dire si une ficelle est plus longue que lautre. En général, il convient facilement que non. La même question lui est reposée ensuite après que lune des ficelles ait été froissée (figure 2b) ou enroulée (figure 2c) sous ses yeux. Beaucoup denfants (GS, CP) donnent alors une réponse positive ; pour eux, tout se passe comme si la longueur dune ficelle au moins avait été modifiée, comme si elle ne sétait pas conservée entre les deux moments de lexpérience.

83 Ces deux expériences rappellent les expériences décrites et analysés par J. Piaget dans « la Géométrie spontanée de lenfant » (PUF, 1948). Pour lui, la « conservation » de la longueur nest en général atteinte quaux alentours de 6 ans et demi.

84 Entoure le chien qui suivra le chemin le plus court pour arriver à los

85 Absence de réponse ……….……………… 1,1 % En voici les résultats nationaux : Réponse juste (chien de gauche entouré) ……………………………………………………..… 58,9 % Chien de droite entouré …………………………………………..…………… 23,1 % Autres réponses…..……………………….… 16,9 %

86 Les élèves se laissent influencer par ce quils voient – le chien de droite est « à vol doiseau » plus près de los que le chien de gauche – mais en répondant ainsi ils ne prennent pas en compte la longueur des chemins.

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88 56% pensent que le périmètre du carré est plus grand que celui de la croix. Les élèves semblent raisonner, à propos des périmètres, comme ils le font pour les aires. Or il leur serait facile de compter les segments unités le long de chaque contour pour contrôler leur réponse. Ils ne le font pas parce quils sont sûrs de leur jugement. 67% des élèves pensent que laire du carré est plus grande que celle de la croix, la réponse exacte est apportée par une majorité délèves mais pas par la totalité. 22% des élèves seulement pensent que le périmètre du carré est égal à celui de la croix.

89 Les élèves sont invités à se prononcer sur léventuelle égalité dangles regroupés par paires ; dans six cas les angles sont bien égaux, dans deux cas la somme des mesures vaut 360°.

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91 Il ny a que : 39% de réussite pour la paire {(c), (d)] et 44% de réussite pour la paire {(g), (h)]. Pour plus de la moitié dentre eux, tout se passe comme sils pensaient que plus les côtés dun angle sont longs, plus langle est grand. Pour des élèves de 6 e, le taux de réussite de cette activité est denviron 40%.

92 Question I 1 : volume de laquarium Matériel : lélève a devant lui une boîte en carton (« laquarium ») de 39 cm de longueur, 17 cm de hauteur, 20 cm de largeur. Il dispose dun mètre ruban. Consigne : « Est-ce-que tu peux me dire la quantité deau quon peut mettre dans cet aquarium en le remplissant complètement ? »

93 Question I 4 : calcul du nombre de cubes (1cm darête) nécessaires pour construire un parallélépipède rectangle dont les arêtes mesurent 4 cm, 3 cm et 2 cm. Matériel : une centaine de cubes emboîtables de 1 cm darête. Consigne : « Combien faut-il que je te donne de cubes pour construire une boîte pleine (comme une boîte de sucres) de 3 cm de large, 4 cm de long et 2 cm de haut ? » Remarque : la question I 4 na été posée quaux élèves ayant échoué aux questions I 1 et I 2.

94 QuestionsI1I1 I2I2 I4I4 Taux de réussite globale (6 e, 5 e, 4 e, 3 e ) 44 %48 %54 % Les réussites sont obtenues grâce au produit des trois dimensions. Les erreurs consistent souvent à ajouter les trois dimensions, ou à ajouter deux et à multiplier le résultat par la troisième.

95 Toutes ces activités montrent que les élèves : Se laissent influencer par des aspects perceptifs de la situation (ce quils voient les pousse à une fausse interprétation de la tâche ou les abuse). Ou confondent certaines grandeurs voisines : longueur dune ligne / distance des extrémités ; aire / périmètre ; grandeur dun angle et longueur des côtés dessinés. Ou mettent difficilement en relation les grandeurs entre elles.

96 Les difficultés persistantes au collège à propos des volumes ont conduit les auteurs des programmes de 2002 à limiter, à lécole élémentaire, létude des volumes à celles des contenances ou capacités.

97 Lecture de la graduation dune règle ou dun verre doseur Mauvais positionnement de lorigine des graduations

98 Oubli dindiquer les unités dans les réponses aux problèmes Oubli de convertir les mesures dans la même unité avant de calculer dans un problème (doù des réponses invraisemblables)

99 La confusion entre unités, fréquente à propos du poids et de la taille chez les jeunes élèves, se poursuit au cycle 3, entre celles de longueur et daire, entre les cL et les cm 3, etc. (doù labandon des unités issues du m 3 ) Seul le litre, ses multiples et ses sous-multiples sont au programme de lécole primaire.

100 La représentation des unités par des élèves est souvent stéréotypée : un cm² est presque toujours imaginé par les élèves comme un carré de un cm de côté ; on peut faire lhypothèse quun telle « définition » va faire obstacle pour comprendre ce que représente laire dune surface qui ne peut visiblement pas être recouverte de tels carrés Difficulté à comprendre que si lon change dunités, cest la mesure qui change et non la grandeur qui change

101 Méconnaissance de quelques ordres de grandeur de référence (hauteur dune maison, dun immeuble, dun arbre…) Difficultés sur les durées (elles ne sexpriment pas dans le système décimal)

102 - Préparer lépreuve de mathématiques, vol. 3 « approche pédagogique », CNED, Cours de mathématiques 2009 de M. Bourguet, formateur à lIUFM de la Polynésie française. - Childrens understanding of angle at the primary/ secondary transfer age, G-S Close,1982) - La Géométrie spontanée de lenfant, J. Piaget, PUF, Documents dapplication des programmes, CNDP, Livret dévaluation nationale à lentrée en 6 e (1997). - Livret d évaluation nationale de début CE2 (1991).

103 Fin David Rolland, PIUFM Mathématiques


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