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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Modèle.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Modèle affine

2 Introduction Lorsquon tente de comprendre un aspect dun phénomène naturel, une approche possible est deffectuer des mesures et de tenter den déduire une relation. Dans cette approche, on modifie la valeur dune des variables, appelée alors variable indépendante, et on mesure limpact de ce changement sur une autre variable appelée variable dépendante. On obtient alors des couples de valeurs correspondante dont la représentation graphique donne une image du lien entre les variables. Lorsque les points qui représentent graphiquement les couples dune relation forment une droite, le lien entre les variables est décrit par léquation de cette droite. La démarche pour trouver cette équation et déterminer son domaine de validité est appelée modélisation affine.

3 Relation et fonction On soupçonne quil y a un lien entre la résistance dun conducteur et la température. Supposons que les mesures observées sont celles du tableau suivant : Pour sen assurer, on peut appliquer le protocole suivant : 1.Construire un circuit suivant le schéma ci- contre. 2.Refroidir celui-ci jusquà –20 °C, fermer le circuit. 4.Mesurer la résistance à différentes températures à intervalles de 10 °C. 3.Réchauffer le circuit jusquà 30 °C. T (°C)–20– R ()17,219,421,523,725,728,0

4 Relation et fonction En récoltant les données de ce tableau, on a couplé des mesures. Lensemble de ces couples constitue une relation. Dans notre mise en situation, ces couples donnent un aperçu de la relation entre la résistance et la température. Lensemble de ces couples peut également être représenté de la façon suivante : f : {(–20; 17,2), …,(–10; 19,4), …, (0; 21,5), …, (30; 28,0), …} Couple Préimage du couple Image du couple DÉFINITION Fonction Une fonction est une relation pour laquelle chaque préimage a une et une seule image.

5 Représentations dune fonction Extension Représentation sous la forme : Compréhension f : {(T; R) R 2 | Représentation sous la forme dun tableau ou dune liste de couples. où devrait être une phrase ou une équation décrivant la relation entre les variables observées et permettant den faire lanalyse dans des cas complexes. Graphique En associant à chaque couple dune relation un point dans un système de référence cartésien, on obtient une courbe qui est la représentation graphique de cette relation. La variable indépendante est représentée sur laxe horizontal et la variable dépendante sur laxe vertical.

6 Fonction affine DÉFINITION Fonction affine Une fonction affine est une fonction de la forme : f(x) = ax + b où a et b sont des nombres réels et a 0. La représentation graphique dune fonction affine est une droite dont lintersection avec laxe vertical est (0; b). (0; b) Le coefficient a est appelé pente de la droite ou taux de variation de la relation. a =a = yxyx = y2 y2 – y1y1 x2 x2 – x1x1 x = x2 x2 – x1x1 y = y2 y2 – y1y1 ( x 1 ; y 1 ) ( x 2 ; y 2 )

7 S Le taux de variation constant est une caractéristique du modèle affine. Dès que lon peut déterminer, dans une situation donnée, que le taux de variation est constant, on peut conclure que le phénomène est modélisable par une fonction affine. Voyons comment on peut tirer cette conclusion pour des données expérimentales à pas constant. Critère algébrique Supposons que des mesures expé- rimentales ont été prises pour des valeurs à intervalles réguliers de la variable indépendante. f p f f f ppp Si le phénomène est descriptible par un modèle affine. La représentation des couples aura laspect ci-contre. Cela permet dobtenir le critère algébrique suivant : fpfp = f(x + p) – f(x)f(x) p = a On remarquera quil est simple de faire appliquer ce critère en utilisant un tableur électronique comme Excel.

8 S Considérons à nouveau les données obtenues en utilisant une résistance à différentes températures. Application du critère algébrique –20 – ,2 19,4 21,5 23,7 25,7 28,0 T (°C) R () RipRip – 0,22 0,21 0,22 0,20 0,23 R(T i ) – 0,216T i 21,52 21,56 21,50 21,54 21,38 21,52 Identification des variables Définition du lien entre les variables La variable indépendante est la température T (°C) et la variable dépendante est la résistance R (). En appliquant le critère algébrique, on constate que les rapports sont relativement constants. Le lien entre les variables est donc de la forme : R(T) = 0,216T + b, doù b = R(T) – 0,216T 0,21621,50Moyenne Définition du lien entre les variables R(T) = 0,216T + 21,50 Le modèle est donc : Calculer la résistance à 15°C. Utilisation du modèle On doit déterminer limage de 15°C. Cela donne : R(15) = 0, ,50 = 24,74 La résistance sera de 24,7. S À quelle température la résistance est-elle de 26 ? On doit déterminer la préimage de 26. Cela donne : 0, ,50 = 26 La résistance est de 26 à une température de 20,8 °C. 0,216 = 4,50 T= 20,83

9 Équation dune droite On a parfois à trouver le modèle affine entre deux variables dont seulement deux couples sont connus ou dont un couple et le taux de variation (pente de la droite est connu). ( x 1 ; y 1 ) ( x 2 ; y 2 ) = y 2 – y 1 x 2 – x 1 y – y 1 x – x 1 = a ( x; y) Un point variable (x; y) est sur la même droite que les points connus si et seulement si le taux de variation est constant. Cela donne:

10 Exemple Trouver léquation de la droite passant par les points (–3; 1) et (4; 6). ( –3; 1) ( 4; 6) = 6 – 1 4 – (–3) y – 1 x – (–3) ( x; y) Un point variable (x; y) est sur la même droite que les points connus si et seulement si le taux de variation est constant. Cela donne : S = 5757 y – 1 x + 3, doù : On obtient alors : 7y – 7 = 5x + 15, doù : 7y = 5x + 22 En isolant y, on trouve : y =y = 5x75x

11 Variations directement proportionnelles Une variation directement proportionnelle est une relation décrite par une expression de la forme : y = ax = a yxyx Graphiquement, elle est représentée par une droite passant par lorigine. Cette caractéristique graphique permet de déceler visuellement lexistence dun lien directement proportionnel. La confirmation de lexistence de ce lien est obtenue si les rapports sont constants pour lensemble des données. Pour confirmer lexistence dun tel lien, on utilise la forme : x1x1 y1y1 y2y2 y3y3 x2x2 x3x3 == = … = a y1x1y1x1 y2x2y2x2 y3x3y3x3

12 S On a relevé expérimentalement les corres- pondances ci-contre. Application du critère algébrique ,71 11,41 17,12 22,83 28,54 34,24 39,95 x y y/x – 2,855 2,853 2,854 2,853 2,854 Représenter graphiquement ces données. 2,854 Moyenne S Quelle hypothèse peut-on faire sur le lien entre ces variables? x y Confirmer lexistence de ce lien par un critère algébrique. S Le nuage de points suggère une droite passant par lorigine. On peut donc supposer que le lien entre les variables est une variation directement proportionnelle. Pour les valeurs non nulles, les quotients sont relativement constants, ce qui confirme lexistence dun lien de variation directement proportionnelle. y = 2,854x

13 Conclusion On peut détecter que le lien entre deux variables est affine en représentant graphiquement les données. Le nuage de points doit former une droite pour que le lien soit affine. Un lien de variation directement proportionnelle est un cas particulier de lien affine, la constante est nulle et le nuage de points suggère une droite passant par lorigine. Pour confirmer lexistence dun lien, il faut appliquer un critère algébrique. Lien affineVariation directement proportionnelle = a yxyx fpfp = f(x + p) – f(x) p = a Critères algébriques

14 Exercices Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 2.2, p. 50 à 53. Lecture Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 2.1, p.34 à 49.


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