La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Produit de Matrices Produit de Matrices.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Produit de Matrices Produit de Matrices."— Transcription de la présentation:

1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Produit de Matrices Produit de Matrices

2 Nous présentons lopération de multiplication de deux matrices en utilisant la mise en situation qui nous a servi pour définir les matrices. Introduction Nous verrons à quelle condition les matrices sont compatibles pour la multiplication et nous présenterons quelques pro- priétés de cette opération.

3 Mise en situation Deux marchands ambulants vendent des jus de fruits dans les parcs de la municipalité durant les fins de semaine. Les tableaux suivants donnent les ventes, les prix et les coûts PARC BEAUSÉJOUR Jours Vendredi Samedi Dimanche OrangeRaisinPomme Jus PARC DE LA MAIRIE Jours Vendredi Samedi Dimanche OrangeRaisinPomme Jus 1,00 1,40 1,20 0,40 0,60 0,50 Jus Orange Raisin Pomme PrixCoût

4 Matrices de linformation Linformation contenue dans ces tableaux est plus simplement véhiculée par les matrices suivantes : 3x2 1,00 1,40 1,20 0,40 0,60 0,50 P = x3 B = x3 M = Ventes au parc Beauséjour : Ventes au parc de la Mairie : Prix de vente et coût des jus :

5 Multiplication de matrices Supposons que le propriétaire de lentreprise demande de calculer les revenus et le coût dacquisition des jus pour chaque jour de cette fin de semaine au parc Beauséjour. On peut obtenir cette information par une opération sur les matrices B et P. Voici comment : 3x2 1,00 1,40 1,20 0,40 0,60 0,50 BP = = 27x1,0043x1,4033x1,20++=126,8027 x 0, x 0, x 0,50 = 53,1036 x 1, x 1, x 1,20 = 200,8036 x 0, x 0, x 0,50 = 84,2039 x 1, x 1, x 1,20 = 174, x x2 1,00 1,40 1,20 0,40 0,60 0,50 39 x 0, x 0, x 0,50 = 73,10 126,80 3x2 200,80 174,80 53,10 84,20 73,10 126,80 3x2 200,80 174,80 53,10 84,20 73,10 Vendredi Samedi Dimanche Revenus Coûts Cet exemple nous indique comment définir le produit de deux matrices

6 Le produit de ces matrices, noté A B (ou AB), est une matrice C = (c ij ) mxn Multiplication de matrices Soit A = (a ik ) mxp et B = (b kj ) pxn, deux matrices. DÉFINITION dont les éléments c ij sont définis par : c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + a i3 b 3j a ip b pj, pour tout i et pour tout j. c 11 c 12 =A B = c 21 c 22 a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 = c 11 a 11 b 12 + a 12 b 22 + a 13 b 32 = c 12 a 11 a 21 a 12 a 22 a 13 a 23 2x3 a 21 b 11 + a 22 b 21 + a 23 b 31 = c 21 b 11 b 21 b 31 b 12 b 22 b 32 3x2 a 21 b 12 + a 22 b 22 + a 23 b 32 = c 22 2x2

7 AmxpBpxnAmxpBpxn Compatibilité pour la multiplication La multiplication des matrices est définie seulement si le nombre de colonnes de la matrice à gauche du symbole dopération est égal au nombre de lignes de la matrice à droite du symbole dopération. On dit alors que les matrices sont compatibles pour la multiplication. A mxp B pxn = CmxnCmxn Le nombre de lignes de la matrice produit est le même que celui de la matrice à gauche du symbole dopération. Le nombre de colonnes de la matrice produit est le même que celle de la matrice à droite du symbole dopération.

8 Remarque Lélément c ij est obtenu en faisant la somme des produits des éléments de la ligne i de la matrice A et des éléments de la colonne j de la matrice B. Ainsi, lélément de la première ligne et de la deuxième colonne, soit c 12, est obtenu en effectuant le produit de la première ligne de la matrice à gauche du symbole dopération et de la deuxième colonne de la matrice à droite du symbole dopération. De la même façon, lélément c 31 est obtenu en effectuant le produit de la troisième ligne de la matrice à gauche du symbole dopération et de la première colonne de la matrice à droite du symbole dopération.

9 Exercices Effectuer les multiplications demandées lorsquelles sont définies. (cliquer pour les réponses) 2 –3 – A = 4 2 –1 – –2 B = 2–14 C = 1. AB 4. BC t 2. BA 3. CB nest pas définie 1 – –5 4 = 23–3 = –13 =

10 Transposition et produit Considérons à nouveau la matrice donnant les ventes au parc Beauséjour et celle des prix et des coûts. On a obtenu le revenu et les coûts par jour par un produit des matrices. P tP t En transposant ces matrices, on véhicule la même information en la structurant différemment et il faut modifier lordre des matrices transposées dans le produit. 3x2 1,00 1,40 1,20 0,40 0,60 0,50 3x ,80 200,80 174,80 3x2 53,10 84,20 73,10 = 3x x3 1,00 0,40 1,40 0,60 1,20 0,50 126,80 53,10 200,80 84,20 174,80 73,10 2x3 = B tB t P tB t P B BP 126,80 3x2 200,80 174,80 53,10 84,20 73,10 Vendredi Samedi Dimanche Revenus Coûts 126,80 53,10 200,80 84,20 174,80 73,10 2x3 Comparons les résultats : Revenus Coûts Vendredi Samedi Dimanche On obtient la même information mais la matrice est transposée.

11 Matrices carrées Les matrices carrées dun même ordre sont toujours compatibles pour la multiplication des matrices, et la matrice obtenue est toujours du même ordre que les matrices multipliées. Lensemble des matrices carrées dun même ordre est donc fermé pour la multiplication. 2x2 2 –3 –1 5 A = On notera A 2 pour AA et A 3 pour AAA, ainsi de suite. Soit : 2x2 4 –3 –2 5, B = et I = 2x Calculer AB = A 2 = 2x2 11 –27 –9 31 2x2 7 –21 –7 28 Cliquer pour la suite. Calculer AI = IB = 2x2 2 –3 –1 5 2x2 4 –3 –2 5 La matrice I est neutre pour la multiplication.

12 Exercice Dans le diagramme suivant, les liaisons aériennes journalières entre les villes de deux pays ont été représentées par des flèches et le nombre de ces liaisons est indiqué sur chacune des flèches. Représenter cette information par une matrice. 2x ABAB 1010 C D E Cliquer pour la réponse. 3x CDECDE F G H Représenter par une matrice les liaisons aériennes journalières des villes C, D et E vers les villes F, G et H. Utiliser la multiplication des matrices pour déterminer le nombre de liaisons aériennes journalières des villes A et B vers les villes F, G et H. 2x x x = Combien y a-t-il de liaisons journalières de A vers H et de B vers H? Cliquer pour la réponse. 2x F G H ABAB Il y a trois liaisons journalières de A vers H et aucune de B vers H.

13 Conclusion La multiplication des matrices permet de dégager de nouvelles informations à partir de celles véhiculées par les matrices. Il est important de bien saisir le sens des propriétés du produit et de la transposition des matrices. Elles permettent souvent de simplifier des équations matricielles et déviter les écueils car ce ne sont pas les mêmes que celles des opérations sur les nombres. Ces propriétés sont données en page 13 du volume.

14 Exercices Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 10.2, p. 312 et 313. Lecture Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 10.3, p. 306 à 311.


Télécharger ppt "Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Produit de Matrices Produit de Matrices."

Présentations similaires


Annonces Google