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Introduction à la logique Cours #2: GPA-140 Hiver 2005.

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1 Introduction à la logique Cours #2: GPA-140 Hiver 2005

2 2 Introduction aux fonctions logiques Systèmes binaires ¤Deux états fondamentaux et distincts; ¤Vrai/Faux, Marche/Arrêt, Oui/Non. Par convention: ¤Un état est représenté par « 1 »; ¤Lautre est représenté par « 0 ».

3 3 La logique Booléenne En 1847, George Boole invente une algèbre pour traiter les variables binaires. ¤Il écrira « The Mathematical Analysis of Logic », Cambridge, Il définit 3 opérateurs de base, ainsi quune foule de règles et de postulats.

4 4 Types de représentation Les fonctions logiques peuvent être représentées de plusieurs façons: ¤Tables de vérités ¤Diagrammes échelle (Ladder) ¤Équations logiques

5 5 Types de représentation Tables de vérités ¤Tables qui énumèrent toutes les combinaisons possibles d'entrées, et les sorties correspondantes. ¤Le nombre de colonnes est la sommes du nombre d'entrée et de sortie ¤Pour "N" entrées, le nombre de lignes est 2 N Exemple: 3 entrées et 1 sorties 4 colonnes et 8 lignes

6 6 Types de représentation Tables de vérités 3 entrées et 1 sorties 4 colonnes et 8 lignes Chaque ligne est une équation logique

7 7 Types de représentation Diagrammes échelle (Ladder)

8 8 Types de représentation Équations logiques ¤Reposent sur 3 opérateurs de base: ET, OU, NON Toutes les équations logiques sont formées de ces 3 opérateurs

9 9 Fonction logique NON En anglais: NOT Représentation: ¤F = A ou F = /A

10 10 Fonction logique ET En anglais: AND Représentation: ¤F = A * B ou A B ou AB

11 11 Fonction logique OU En anglais: OR Représentation: ¤F = A + B

12 12 Fonction logique NON-ET En anglais: NAND Représentation: ¤F = A * B

13 13 Fonction logique NON-OU En anglais: NOR Représentation: ¤F = A + B

14 14 Fonction OU-EXCLUSIF En anglais: XOR Représentation: ¤F = A B /B*A B*/A /B*A+B*/A

15 15 Fonction NON OU-EXCLUSIF En anglais: XNOR Représentation: ¤F = A B /B*/A B*A /B*/A+B*A

16 16 Fonctions à 2 variables Il existe 16 fonctions logiques possibles avec 2 variables. ¤Deux variables permettent 4 combinaisons (2 2 ) 00, 01, 10, 11 ¤Ces 4 combinaisons donnent 16 fonctions (2 4 ) F0, F1, … F15

17 17 Fonctions à 2 variables 16 fonctions logiques avec 2 variables.

18 18 Fonctions à 2 variables

19 19 Fonctions à 3 variables Il existe 256 fonctions logiques possibles avec 3 variables. ¤Trois variables permettent 8 combinaisons (2 3 ) 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 ¤Ces 8 combinaisons donnent 256 fonctions (2 8 ) F0, F1, … F255 ¤Pas très convivial !

20 20 Fonctions logiques utilisant des interrupteurs En électronique, on représente les fonctions logiques avec des diagrammes d'échelle. En automatisation, on utilise des interrupteurs et des relais pour représenter les fonctions logiques.

21 21 Fonction logique NON Interrupteur normalement fermé

22 22 Fonction logique ET Utilise deux interrupteurs normalement ouvert en série.

23 23 Fonction logique OU Utilise deux interrupteurs normalement ouvert en parallèle.

24 24 Fonction logique NON-ET Utilise deux interrupteurs normalement fermés en parallèle.

25 25 Fonction logique NON-OU Utilise deux interrupteurs normalement fermés en série.

26 26 Fonction OU-EXCLUSIF Utilise deux interrupteurs à deux contacts

27 27 Fonction NON OU-EXCLUSIF Utilise deux interrupteurs à deux contacts

28 28 Fonctions logiques utilisant des relais En automatisation, on utilise les relais pour réaliser des fonctions logiques. Le relais est une composante électromécanique.

29 29 Fonction logique NON Relais avec un contact normalement fermé

30 30 Fonction logique ET 2 relais avec des contacts N.O. en série.

31 31 Fonction logique OU 2 relais avec des contacts N.O. en parallèle.

32 32 Fonction logique NON-ET 2 relais avec des contacts N.F. en parallèle.

33 33 Fonction logique NON-OU 2 relais avec des contacts N.F. en série.

34 34 Fonction OU-EXCLUSIF Lampe = K L = /K.L + K./L

35 35 Fonction NON OU-EXCLUSIF Lampe = M N = M.N + /M./N

36 36 Règles, postulats et théorèmes ¤Utiles pour la simplification des équations logiques ! Lalgèbre Booléenne

37 37 Fermeture: ¤Si A et B sont des variables Booléennes, alors A+B, A*B sont aussi des variables Booléennes. Commutativité ¤A + B = B + A ¤A * B = B * A Lalgèbre Booléenne Règles, postulats et théorèmes

38 38 Associativité ¤A + (B + C) = (A + B) + C ¤A * (B * C) = (A * B) * C Distributivité ¤ET/OU: A(B + C) = AB + AC ¤OU/ET: A+(B*C) = (A+B)*(A+C) Lalgèbre Booléenne Règles, postulats et théorèmes

39 39 Lalgèbre Booléenne Idempotence ¤A + A = A ¤A * A = A Complémentarité ¤A + A = 1 ¤A * A = 0 Règles, postulats et théorèmes

40 40 Lalgèbre Booléenne Identités remarquables ¤1 + A = 1 et 1 * A = A ¤0 + A = A et 0 * A = 0 Distributivité interne ¤A + (B + C) = (A + B) + (A + C) ¤A * (B * C) = (A * B) * (A * C) Règles, postulats et théorèmes

41 41 Lalgèbre Booléenne Règles et postulats

42 42 Lalgèbre Booléenne Règles, postulats et théorèmes

43 43 Lalgèbre Booléenne Règles, postulats et théorèmes

44 44 Table de vérité versus diagramme échelle Pour une table de vérité donnée, nous pouvons trouver léquation logique et le diagramme échelle correspondant Il faut utiliser lalgèbre de Boole pour simplifier.

45 45 Exemple Trouver léquation de S.

46 46 Exemple Solution: ¤On construit léquation de S en écrivant tous les termes donnant S=1. ¤Ainsi, S = 1: si C=0 et B=1 et A=0; ou si C=0 et B=1 et A=1; ou si C=1 et B=0 et A=1; ou si C=1 et B=1 et A=0.

47 47 Exemple Solution pour S=1. si C=0 et B=1 et A=0; ou si C=0 et B=1 et A=1; ou si C=1 et B=0 et A=1; ou si C=1 et B=1 et A=0. On peut donc écrire: ¤S = /C.B./A + /C.B.A + C./B.A + C.B./A

48 48 Exemple S = /C.B./A + /C.B.A + C./B.A + C.B./A On peut simplifier: ¤S = /C.B.(/A+A) + C./B.A + C.B./A ¤S = /C.B.(1) + C./B.A + C.B./A ¤S = /C.B + C./B.A + C.B./A ¤S = /C.B + C.(A B) "ou-exclusif"

49 49 Exemple S = /C.B./A + /C.B.A + C./B.A + C.B./A On peut simplifier: ¤S = /C.B./A + C.B./A + /C.B.A + C./B.A ¤S = B./A.(/C+C) + /C.B.A + C./B.A ¤S = B./A.(1) + /C.B.A + C./B.A ¤S = B./A + /C.B.A + C./B.A ¤S = B./A + A.(C B) "ou-exclusif"

50 50 Exemple Inspection visuelle ? S = /C.B + C./B.A + C.B./A S = /C.B + C.(A B) S = B./A + /C.B.A + C./B.A S = B./A + A.(C B)

51 51 Si nous utilisions des relais... S = /C.B + C./B.A + C.B./A = C.(/B.A + B./A) + /C.B

52 52 La simplification des équations La simplification est essentielle. ¤On veut avoir le circuit le plus simple possible... La simplification peut être un processus long si le système est complexe. Heureusement, il existe des techniques simples pour simplifier.

53 53 Méthodes de simplification Il est possible d obtenir directement une équation sous sa forme simplifiée en utilisant une méthode de simplification graphique. Méthodes de simplification graphique: ¤Tables de Karnaugh ¤Tables de Mahoney

54 54 Table de Karnaugh Représentation de la table de vérité sous forme graphique. Nombre de cases = nombre de lignes de la table de vérité. ¤Multiple de 2 n (1, 2, 4, 8, 16,...) n = Nombre d entrées

55 55 Table de Karnaugh Avec n = 2: ¤Entrées B et A ¤4 cases

56 56 Table de Karnaugh Avec n = 3: ¤Entrées C, B et A ¤8 cases

57 57 Table de Karnaugh Avec n = 4: ¤Entrées D, C, B et A ¤16 cases

58 58 Exemple (Karnaugh) TABLE DE VÉRITÉ TABLE DE KARNAUGH

59 59 Table de Karnaugh À partir de la table, on simplifie en groupant les 1 adjacents. Les 1 adjacents sont mis en évidence par l'ordre utilisé pour former la table La taille dun groupe est un multiple de 2 k (1, 2, 4, 8,...). Le groupe est soit rectangulaire ou carré.

60 60 Exemple (Karnaugh) Simplification: S = /C.B + B./A + C./B.A /C.B.A+/C.B./A = /C.B /C.B./A+C.B./A=B./A C./B.A

61 61 Table de Karnaugh Former les plus gros groupes possibles. ¤Termes plus simples. Un 1 peut faire partie de plusieurs groupes.

62 62 Exemple (Karnaugh) Les 1 des bords extrêmes sont adjacents. ¤La table se referme sur elle même /C./A /C.B /D.C./B.A

63 63 Table de Mahoney La table de Mahoney est semblable à celle de Karnaugh pour 2 variables

64 64 Table de Mahoney Pour 3 variables, la table est composée de celle pour 2 variables et de son miroir Charnière

65 65 Exemple (Mahoney) TABLE DE VÉRITÉ TABLE DE MAHONEY

66 66 Exemple (Mahoney) Rappel: S = /C.B + B./A + C./B.A /C.B.A+/C.B./A = /C.B /C.B./A+C.B./A=B./A C./B.A

67 67 Exemples de table de Mahoney Avec n = 3: ¤Entrées C, B et A ¤8 cases

68 68 Exemples de table de Mahoney Avec n = 4: ¤Entrées D, C, B et A ¤16 cases

69 69 Exemples de table de Mahoney Avec n = 5: ¤Entrées E, D, C, B et A ¤32 cases

70 70 Exemples de table de Mahoney Avec n = 6: ¤64 cases

71 71 Les états indifférents (dont care) Ils sont représentés par des X En sortie, ils correspondent à des combinaisons dentrées pour lesquelles la sortie na pas été définie. ¤Ex.: Un réservoir ne peut être à la fois vide et plein.

72 72 Contrôle de niveau dun réservoir Capteur de niveau haut h = 1 -> plein Capteur de niveau bas b = 0 -> vide Sélecteur de pompe s = 0 -> Pompe 1 s = 1 -> Pompe 2

73 73 Contrôle de niveau... Si réservoir plein: Aucune pompe en marche; Si réservoir vide: Les 2 pompes en marche; Si réservoir ni vide, ni plein: Faire fonctionner la pompe sélectionnée par le sélecteur « s ».


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