La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Modèles.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Modèles."— Transcription de la présentation:

1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Modèles de Leontieff Modèles de Leontieff

2 Introduction Léconomiste américain dorigine russe Wassily Leontieff a reçu, en 1973, le prix Nobel de sciences économiques pour ses travaux de modélisation mathématique des échanges interindustriels. Il sintéresse en particulier à la question suivante : dans une économie constituée de n industries interreliées, quelle doit être la production de celles-ci pour répondre exactement à la demande? Nous allons présenter sa démarche de modélisation de ce type de problème à laide dun exemple simple.

3 Une entreprise compte trois secteurs spécialisés dans la production dune forme dénergie : le mazout (M), le gaz naturel (G) et lélectricité (E). Les échanges entre les secteurs dactivité permettent de satisfaire aux besoins énergétiques de chacun. Mise en situation Pour produire une unité de mazout, il faut 0,2 unité de gaz naturel et 0,2 unité délectricité; pour produire une unité de gaz naturel, 0,2 unité de mazout, 0,1 unité de gaz naturel et 0,3 unité délectricité; pour produire une unité délectricité, 0,1 unité de mazout, 0,2 unité de gaz naturel et 0,1 unité délectricité. Pour faciliter lanalyse de la situation, linformation est représentée sous forme matricielle. Production dune unité Besoins MGE 00,20,1 0,20,10,2 0,30,1 M G E

4 La matrice obtenue est la matrice de la consommation interne que nous noterons Q = (q ij ). Matrice de consommation interne Lélément q ij représente le nombre dunités du secteur i nécessaires pour produire une unité du secteur j. Production dune unité Besoins MGE 00,20,1 0,20,10,2 0,30,1 M G E Ainsi, la première colonne indique que, pour produire une unité de mazout, il faut consommer 0,2 unité de gaz naturel et 0,2 unité délectricité. Quelle information est véhiculée par la deuxième colonne ? Par la troisième colonne ? 00,20,1 0,20,10,2 0,30,1 Q =

5 Le carnet de commandes de lentreprise (demande externe) pour le mois de juin est de 450 unités de mazout, 400 unités de gaz naturel et 430 unités délectricité. Déterminer la production permettant de répondre aux besoins de la production et à la demande externe. Calcul des besoins La matrice de production est : S Pour répondre à la demande externe tout en satisfaisant à ses propres besoins, lentreprise doit sassurer que la condition suivante est satisfaite : P = p1p1 p2p2 p3p3 où p j est le nombre dunités total quil faut produire dans chaque secteur : mazout, gaz et électricité. P = Q P + D, production = demande interne + demande externe; P – Q P = D, par les propriétés des opérations; I P – Q P = D, puisque I est la matrice identité; (I – Q) Q) P = D, par les propriétés des opérations. S (I – Q) Q) = 00,20,1 0,20,10,2 0,30,1 – = 1–0,2–0,1 –0,20,9–0,2 –0,30,9 On a donc : 1–0,2–0,1 –0,20,9–0,2 –0,30,9 p1p1 p2p2 p3p3 = En résolvant, on obtient : 1–0,2–0,1 –0,20,9–0,2 –0,30, Il faut donc produire 700 unités de mazout, 800 unités de gaz naturel et 900 unités délectricité. REMARQUE : On dit que le système économique est en équilibre si la production est égale à la somme de la demande interne et de la demande externe, soit : P = Q P + D Le système est donc en équilibre lorsque la matrice de production P satisfait à la condition : (I – Q) P = D Cest cette équation quil faut résoudre pour trouver la matrice de production.

6 Modèle de Leontieff S Définition Modèle de Leontieff Un modèle de Leontieff est un modèle économique constitué de n industries interdépendantes, chacune produisant pour : répondre à ses besoins et aux besoins des (n – 1) autres industries, ce qui constitue la demande interne; répondre aux besoins des clients, ce qui constitue la demande externe. On se sert du modèle de Leontieff pour analyser léconomie dune région, dun secteur dactivité ou dune entreprise qui a différents secteurs qui séchangent des biens ou des services. Il est souvent utile de pouvoir chiffrer ces échanges en dollars. On peut construire un modèle économique de Leontieff en remplaçant les unités de biens échangés par leur valeur en dollars.

7 Représentation matricielle Représentation matricielle du modèle de Leontieff Dans un modèle de Leontieff, les échanges entre les industries sont décrits dans une matrice Q appelée matrice de consommation. On désigne par : P la matrice de production et par D la matrice de la demande externe; p j la production de lindustrie j; q ij le nombre dunités de la production de lindustrie i nécessaires pour produire 1 unité de la production de lindustrie j; q ij p j la quantité de la production de lindustrie i consommée par lindustrie j; d i la demande externe adressée à lindustrie i : cest la portion de la production qui excède la demande interne.

8 Modèle de Leontieff Procédure pour résoudre une problème satisfaisant à un modèle de Leontieff 2.Décrire la condition à satisfaire par une équation matricielle (I – Q)P = D. 3.Résoudre léquation matricielle. 4.Interpréter les résultat selon le contexte. 1.Structurer linformation sous forme matricielle si cela nest pas déjà fait dans lénoncé.

9 Exemple Production dune unité Besoins U1U1 U2U2 U3U3 0,10,20,3 0,1 0,20,10 U1U1 U2U2 U3U3 Une entreprise gère trois usines. La matrice de consommation des échanges interusines est : Dans cette matrice, lentrée q ij indique la valeur en dollars des produits de lusine U i nécessaires pour fabriquer chaque dollar de produits de lusine U j. La demande externe D en millions de dollars est : Déterminer la valeur, en millions de dollars, de la production de chaque usine pour répondre à la demande externe D = S (I – Q) Q) = 0,10,20,3 0,1 0,20,10 – = 0,9–0,2–0,3 0,7–0,1 –0,2–0,11 On a donc : 0,9–0,2–0,3 0,7–0,1 –0,2–0,11 p1p1 p2p2 p3p3 = En résolvant, on obtient : 0,9–0,2–0,3 0,7–0,1 –0,2–0, La production de lusine U1 U1 doit être de 90 M$, celle de U2 U2 100 M$ et celle de U3 U3 120 M$.

10 Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines. Section 2.4, # 18 à 20. Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines. section 2.3, p. 50 à 52.


Télécharger ppt "Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Modèles."

Présentations similaires


Annonces Google