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Bloc 2 : Modèles doptimisation par la programmation linéaire Mohamed Ali Aloulou

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Présentation au sujet: "Bloc 2 : Modèles doptimisation par la programmation linéaire Mohamed Ali Aloulou"— Transcription de la présentation:

1 Bloc 2 : Modèles doptimisation par la programmation linéaire Mohamed Ali Aloulou

2 Plan du bloc 2 1.Présentation générale et exemples 2.Forme générale dun PL 3.Résolution géométrique (2 variables) 4.Les différents résultats dun PL 5.Résolution et analyse de sensibilité avec le solveur Excel 6.Programmation linéaire en nombres entiers

3 1.Présentation générale et exemples Exemple 1 : Une usine fabrique 2 produits finis P1 et P2 à laide de 3 matières premières M1,M2 et M3 selon le procédé suivant M1M2M3 Prix de vente unitaire P11242 euros P26213 euros Nombre d'unités disponibles Question Comment organiser la production de manière à atteindre le CA le plus élevé ?

4 1.Présentation générale et exemples Modélisation de lexemple 1 –Définition des variables de décision : ce sur quoi porte la décision x1 : nombre dunités de P1 à produire x2 : nombre dunités de P2 à produire –Spécification des contraintes du problème Contraintes liées à la disponibilité des MP Contraintes de non négativité –Spécification de la fonction objectif Maximiser CA = 2x1+3x2 –Écriture du modèle (récap)

5 1.Présentation générale et exemples Exemple 2 : Une raffinerie produit du super SP98 (P1) et du super SP95 (P2) à partir de 3 constituants C1,C2 et C3. Question Chercher la structure de production journalière qui maximise la marge dexploitation de la raffinerie. C1C2C3Prix de vente par baril P1 au plus 30% au moins 40% au moins 50% 18 euros P2 au plus 50% au moins 10% euros Nombre de barils disponibles par jour Prix d'achat par baril12 euros24 euros20 euros

6 1.Présentation générale et exemples Modélisation de lexemple 2 –Définition des variables de décision Ui : Quantité journalière du constituant Ci utilisée (en baril), i=1,2,3 Vj : Quantité journalière du carburants Pj produite (en baril), j=1,2 Xij : Quantité journalière du constituant Ci intervenant dans le carburant Pj (en baril), i=1,2,3 et j=1,2 –Lien entre les variables de décision

7 1.Présentation générale et exemples Modélisation de lexemple 2 –Spécification des contraintes du problème Contraintes liées à la disponibilité des constituants Contraintes liées au respect des proportions Contraintes de non négativité –Spécification de la fonction objectif 22V1+18V2 – (12U1+24U2+20U3) CACoût

8 2.Forme générale dun PL Un PL peut sécrire Max ou Min j c j x j j a ij x j b i pour i =1,…,m 1 j a ij x j b i pour i =m 1 +1,…,m 1 +m 2 j a ij x j = b i pour i =m 1 +m 2 +1,…,m 1 +m 2 +m 3 x j 0 pour j =1,…, n 1 x j 0 pour j =n 1 +1,…, n 1 +n 2 x j s.r.s. pour j =n 1 +n 2 +1,…, n 1 +n 2 +n 3

9 3.Résolution géométrique Illustration avec lexemple 1 : Max 2x 1 + 3x 2 x 1 + 6x x 1 + 2x x 1 + x 2 24 x 1,x 2 0

10 3.Résolution géométrique a.Représentation géométrique de lensemble des solutions réalisables Chaque solution est un couple de valeurs (x 1,x 2 ). Elle est représentée par un point de IR² Chaque contrainte élimine un demi-plan de IR² délimité par la droite associée à la contrainte Lensemble des solutions réalisables est un sous-ensemble de points E IR², appelé polyèdre des solutions réalisables

11 3.Résolution géométrique a.Représentation géométrique de lensemble des solutions réalisables

12 3.Résolution géométrique b.Résolution géométrique –Tous les points de la droite 2x 1 + 3x 2 = M (D) donnent la même valeur M à la fonction objectif –On remarque quen déplaçant la droite (D) vers le Nord-Est on obtient 2x 1 + 3x 2 = M (D) avec M>M –On continue jusquà ce quon trouve le dernier point admissible : ici cest le point B.

13 3.Résolution géométrique b.Résolution géométrique –Dune façon générale, la direction déterminée par le gradient de la fonction objectif est une direction daugmentation de cette fonction –Vecteur gradient f (x 1,x 2 ) = ( f/ x 1, f/ x 2 ) –Si f (x 1,x 2 )= 2x 1 +3x 2 alors f (x 1,x 2 ) =(2,3)

14 3.Résolution géométrique c.Introduction graphique à lanalyse de sensibilité –Question 1 : Quelle modification sur les coefficients de la fonction objectif peut laisser invariant loptimum ? –Question 2 : Jusquà quelle quantité d peut on restreindre les disponibilités en matière première M3 sans changer de solution optimale –Question 3 : On a la possibilité de disposer dune quantité supplémentaire de M2. Est-ce intéressant ? Jusquà quelle quantité ?

15 3.Résolution géométrique c.Introduction graphique à lanalyse de sensibilité –Question 1 : Quelle modification sur les coefficients de la fonction objectif peut laisser invariant loptimum ? (D) : c1x1+c2x2 Il faut que la pente de (D) soit comprise entre celle de (D1) et celle de (D2) -1 -c1/c2 -1/6

16 3.Résolution géométrique c.Introduction graphique à lanalyse de sensibilité –Question 2 : Jusquà quelle quantité d peut on restreindre les disponibilités en M3 sans changer de solution optimale La contrainte associée à M3 4x1+x2 d =24 nest pas active. Si on diminue d, on déplace parallèlement la droite vers louest La valeur limite est obtenue quand la droite passe par B

17 3.Résolution géométrique c.Introduction graphique à lanalyse de sensibilité –Question 3 : On a la possibilité de disposer dune quantité supplémentaire de M2. Est-ce intéressant ? Jusquà quelle quantité ?

18 4.Les différents résultats dun PL a.Cas usuel –Le PL a une solution optimale unique –Cette solution correspond à un somment du polyèdre : ceci reste vrai même si n>2 –Résultat général : Si un PL admet une ou plusieurs solutions optimales alors une au moins de ces solutions est un sommet du polyèdre des solutions réalisable

19 4.Les différents résultats dun PL b.Plusieurs solutions optimales Max x 1 + x 2 x 1 + x 2 2 x 1 1 x 1,x 2 0 –Lensemble des solutions optimales se situe sur le segment [A,B] : ensemble infini

20 4.Les différents résultats dun PL c.Aucune solution optimale c.1 E=vide Max 2x1 + x2 x1 + x2 2 x1 3 x1,x2 0 c.2 E non borné Max 2x1 + x2 x1 + x2 2 x1 1 x1,x2 0 Attention : E peut être non borné et admettre une solution optimale

21 5.Résolution et analyse de sensibilité avec le solveur Excel

22 6.Programmation linéaire en nombres entiers


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