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1 2.5 Champ électrique produit par une distribution continue de charges. Pour quelles raisons devons-nous calculer ces champs? Notre tâche va consister.

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1 1 2.5 Champ électrique produit par une distribution continue de charges. Pour quelles raisons devons-nous calculer ces champs? Notre tâche va consister à calculer le champ électrique autour de ces objets en différents points de lespace? Pour déterminer la force électrique exercée par ces champs sur des particules chargées et prédire leurs mouvements dune part et dautre part pour calculer les différences de potentiel en différents points autour de ces objets et prévoir ainsi les effets électriques. Dans plusieurs situations, les champs électriques sont produits par des tiges, des sphères, des anneaux ou des plans chargés. Comment calculer des champs électriques en utilisant des techniques dintégration simples?

2 2 2.5 Champ électrique produit par une distribution continue de charges ( Calcul intégral) Comment allons-nous faire ? Nous allons procéder par sommation, autrement dit, par calcul intégral. En fait, pourquoi devons-nous procéder par calcul intégral? Pour déterminer la force électrique exercée par ces champs sur des particules chargées et prédire leurs mouvements dune part et dautre part pour calculer les différences de potentiel en différents points autour de ces objets et prévoir ainsi les effets électriques.

3 3 2.5 Champ électrique produit par une distribution continue de charges ( Calcul intégral) En fait, pourquoi devons-nous procéder par calcul intégral? Parce que chaque objet peut-être décomposé en petites parties et que chaque petite partie produit un petit champ électrique. De façon simple, lintégration consiste à faire la sommation sur un très grand nombre de petits termes dE dE dq

4 4 2.5 Champ électrique produit par une distribution continue de charges ( Calcul intégral ) Calculons le champ électrique à une distance « d= 10 cm » de lextrémité droite dune tige de 10 cm de longueur uniformément chargée de 5,0 C. Forme des lignes de champ autour de la tige. d

5 5 2.5 Champ électrique produit par une distribution continue de charges ( Calcul intégral ) Commençons par calculer le champ comme si toute la charge était concentrée au centre E1E1 5,0 C,15 m Nous aurions alors le champ produit par une charge ponctuelle approximatif

6 6 2.5 Champ électrique produit par une distribution continue de charges ( Calcul intégral ) En divisant la tige en deux E2E2 2,5 C,125 m Nous aurions alors le champ produit par deux charges ponctuelles 2,5 C,175 m approximatif ab

7 7 2.5 Champ électrique produit par une distribution continue de charges ( Calcul intégral ) approximatif En divisant la tige en cinq E5E5 Nous aurions alors le champ produit par cinq charges ponctuelles En divisant en 50 approximatif Pour avoir une valeur exacte ….??? 1,0 C abcde

8 8 2.5 Champ électrique produit par une distribution continue de charges ( Calcul intégral ) La valeur exacte du champ résultant sera la somme infinie, autrement dit, lintégrale des champs de chacune des petites charges « dq » placées à différentes valeurs de « x » dq dE x dq Chacun des éléments de charge dq est considéré comme une charge ponctuelle. Chaque élément de charge produit un élément infinitésimal de champ donné comme nous lavons vu par :

9 9 dq dE x Chacun des éléments de charge dq est considéré comme une charge ponctuelle. Chaque élément de charge produit un élément infinitésimal de champ donné comme nous lavons vu par : Pour trouver le champ électrique total, il faut faire la somme ( lintégrale ) de tous les éléments dE, en tenant compte de la nature vectorielle du champ, on écrira :

10 10 dq dE x Pour trouver le champ électrique total, il faut faire la somme ( lintégrale ) de tous les éléments dE, en tenant compte de la nature vectorielle du champ, on écrira : Pour trouver la solution, nous utiliserons une technique dintégration Mais avant que manque-t-il?

11 11 dq x dE Où la densité linéique de charge est C/m lambda On peut écrire Étant donné que la tige est chargée uniformément, on procède de la façon suivante, Il faut transformer les dq en dx puisque c est la position « x » des dq qui varie lorsque l on fait la somme des dEx Q L dq dx On obtient d où dq = dx dx élément de longueur

12 12 Reconsidérons la tige ayant une longueur de 10,0 cm et portant une charge de 5,0 C répartie uniformément sur toute sa longueur. On demande de déterminer le champ électrique résultant à 15,0 cm du centre de la tige ou à 10 cm de lextrémité droite. Problème : Je cherche la valeur de E à 10 cm de lextrémité droite Situation dq x dE 0,10 0,15

13 13 Solution possible: Jutilise lintégrale et lexpression du champ dune charge ponctuelle. Pour un élément de charge dq, nous aurons dq x dE 0,10 Quelle sera la variable d intégration ?

14 14 C est la position « x » des dq qui varie lorsque l on fait la somme des dE x Nous avons donc maintenant une relation entre les dq et les dx les éléments de longueur afin de calculer lintégrale. dq x dE 0,10 Il faut la même variable partout pour utiliser les techniques dintégration

15 15 C est la position « x » des dq qui varie lorsque l on fait la somme des dE x Nous avons donc maintenant une relation entre les dq et les dx les éléments de longueur afin de calculer lintégrale. dq x dE 0,10 Nous pouvons procéder maintenant et utiliser les techniques dintégration

16 16 dq x dE 0,10 x est la variable de position Il nous reste à placer les bornes dintégration

17 17 E On obtient Avec les chiffres Finalement

18 18 Résultat probable : Daprès mes calculs, le champ électrique à 15 cm du centre de la tige est donné par : E 0,15 La force électrique qui sexercerait sur une charge q placée à cet endroit sera donnée par : Justification : Nous avons procédé par intégration, à partir du champ produit par une charge ponctuelle.


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