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CHAPITRE II Caractéristiques géométriques des sections planes Hautes Etudes dIngénieur 13, rue de Toul 59046 Lille Cedex Résistance des Matériaux Cours.

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2 CHAPITRE II Caractéristiques géométriques des sections planes Hautes Etudes dIngénieur 13, rue de Toul Lille Cedex Résistance des Matériaux Cours de Tronc Commun

3 Ultérieurement, pour calculer les contraintes et les déformations des solides étudiés, nous aurons besoin de savoir déterminer un certain nombre de caractéristiques géométriques des sections planes : Centre de gravité, Moment statique, Moments quadratiques Introduction

4 Soit une section plane daire S définie dans un repère orthonormé Oxy. I. Centre de gravité Les coordonnées du centre de gravité G sont définies par : Si la section S peut être décomposée n en sous-sections simples, daires connues S i et de centres de gravités connus (x Gi et y Gi ) alors : Ox y G XGXG YGYG

5 Exemple : I. Centre de gravité mm 10 mm 50 mm O y x xGxG G 20

6 Pour un élément dS, de coordonnées X et Y, le moment statique élémentaire par rapport à laxe Ox est, par définition, la quantité : II. Moment statique De même : X Ox y dS Y (S)(S) Ce qui donne pour lensemble de la section :

7 II. Moment statique Remarques : pour tout axe passant par le centre de gravité, le moment statique par rapport à cet axe est nul. si la section S peut être décomposée n en sous-sections simples, daires connues S i et de c.d.g connus (x Gi et y Gi ) alors :

8 III.1 Moment quadratique par rapport à un axe Pour un élément dS, de coordonnées X et Y, le moment quadratique élémentaire par rapport à laxe Ox est, par définition, la quantité : III. Moments quadratiques De même : X Ox y dS Y (S)(S) Ce qui donne pour lensemble de la section :

9 III. Moments quadratiques Remarques : Le moment quadratique est aussi appelé moment dinertie de la section. Il est toujours positif.

10 III.2 Translation daxes : Théorème de Huygens Soit un élément dS de S dans le repère Oxy, et soit le repère Gxy qui passe par le centre de gravité G de S et dont les axes sont parallèles à Ox et Oy. III. Moments quadratiques De même : dS Ox y Gx y y YGYG y Soit : Ce qui donne : Finalement, on obtient : =S= moment statique/Gx = 0

11 Théorème : Le moment quadratique par rapport à un axe est égal au moment quadratique par rapport à un axe parallèle passant par le centre de gravité, augmenté du produit de la surface par le carré de la distance entre les deux axes. III. Moments quadratiques Calcul pratique : Si la surface peut être décomposée en n sous-sections de moments quadratiques connus I Ox i et I Oy i, alors:

12 III. Moments quadratiques Remarque : Généralement, pour le calcul des contraintes et des déformations, nous avons besoin de connaître le moment quadratique de la section par rapport à son centre de gravité. Donc si la section peut être décomposée en n sous-sections S i de centre de gravité G i et de moment quadratique I G i x ou I G i y connus:

13 III.3 Moment quadratique par rapport à un couple daxe Ce moment quadratique est aussi appelé moment produit. Pour un élément dS, le moment produit élémentaire par rapport aux axes Ox et Oy est par définition la quantité: III. Moments quadratiques Ce qui donne pour lensemble de la section: Théorème de Huygens: Remarques: Le moment produit est une grandeur algébrique Si un des deux axes est un axe de symétrie pour la section alors I Oxy =0

14 III. Moments quadratiques Calculs pratiques : Si la surface peut être décomposée en n sous-sections de moments produits connus I Oxyi, alors: Si on cherche le moment produit dune section par rapport à son centre de gravité et que celle-ci peut être décomposée en n sous- sections de c.d.g. G i connus et de moments produits par rapport à leur c.d.g. connus I G i xy, alors:

15 III.3 Moment quadratique par rapport à un point Ce moment quadratique est aussi appelé moment quadratique (ou dinertie) polaire. Pour un élément dS, à une distance de O,le moment quadratique polaire élémentaire par rapport à ce point est par définition la quantité: III. Moments quadratiques Ce qui donne pour lensemble de la section: Remarque: on peut écrire X Ox y dS Y (S)(S) soit: Finalement, on obtient:

16 III.3 Moment quadratique par rapport à un point Changement dorigine (Théorème de Huygens) III. Moments quadratiques Soit: ou: Finalement, on obtient: Ox y Gx y YGYG XGXG

17 III.3 Remarques pratiques concernant le calcul des moments quadratiques Les moments quadratiques sajoutent et se retranchent. Cette propriété permet une détermination aisée dans le cas de surfaces composées déléments simples. III. Moments quadratiques [1]+[2] [1]-[2]

18 III.4 Moments quadratiques daxes concourants III.4.1 Rotations daxes Soit la section plane S, et deux systèmes daxes Oxy et OXY obtenu par une rotation dangle. III. Moments quadratiques O x y dS (S)(S) x y X Y XY Les relations liant les coordonnées dans les deux repères sont: Calculons le moment quadratique / OX :

19 III.4.1 Rotations daxes III. Moments quadratiques Ce qui nous donne : En passant à langle double : On obtient :

20 III.4.1 Rotations daxes III. Moments quadratiques De même, pour le moment quadratique / OY, on obtient : Calcul du moment produit : Soit :

21 III.4.2 Recherche des directions principales III. Moments quadratiques Il sagit des directions donnant les moments quadratiques extrêmes (maximal et minimal). Pour les trouver, dérivons I OX et I OY / et annulons ces dérivées: Ces deux expressions sannulent pour :

22 III.4.2 Recherche des directions principales III. Moments quadratiques Cette expression nous donne deux directions conjuguées définies par les angles: Les directions ainsi déterminées sappellent les directions principales (ou axes principaux), elles sont orthogonales et définies par la relation: Remarques: Pour les directions principales, I OXY est nul. Tout axe de symétrie, est axe principal dinertie. Tout axe perpendiculaire à un axe de symétrie est également axe principal dinertie. O x y (A)(A) X Y

23 III.4.3 Expression des moments quadratiques principaux III. Moments quadratiques Pour connaître les expressions des moments quadratiques principaux (I maxi et I mini ), il suffit de remplacer, dans les formules donnant I OX, I OY et I OXY, la valeur de par les solutions de léquation: On obtient ainsi:

24 III.4.4 Représentation graphique – Cercle de Mohr III. Moments quadratiques Reprenons les expressions donnant I OX et I OXY Effectuons la somme des carrés, on obtient: Ce qui correspond à léquation dun cercle de centre C et de rayon R

25 III.4.4 Représentation graphique – Cercle de Mohr III. Moments quadratiques I axes I couples daxes O I maxi I mini C I Ox I Oxy I Oy -I Oxy -2

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