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CHAPITRE VII Torsion pure Hautes Etudes dIngénieur 13, rue de Toul 59046 Lille Cedex Résistance des Matériaux Cours de Tronc Commun.

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2 CHAPITRE VII Torsion pure Hautes Etudes dIngénieur 13, rue de Toul Lille Cedex Résistance des Matériaux Cours de Tronc Commun

3 Le solide est composé dun matériau homogène et isotrope, Sa ligne moyenne est rectiligne, Les actions extérieures dans les sections extrêmes sont modélisables par deux moments opposés portés par la ligne moyenne. I. Hypothèses

4 La section droite est constante sur toute la longueur et circulaire. En effet, pour rester dans le domaine de la RDM, il faut que notre solide vérifie lhypothèse de Bernoulli (les sections droites planes et perpendiculaires à la ligne moyenne, restent planes et perpendiculaires à la ligne moyenne après déformation). I. Hypothèses Section circulaire (avant déformation)Après déformation: rotation des sections les unes / aux autres autour de Gx Section rectangulaire (avant déformation) Après déformation: gauchissement des sections

5 Une poutre est sollicitée à la torsion pure si le seul élément de réduction au centre de gravité de chaque section des forces de cohésion est un moment autour de la ligne moyenne appelé moment de torsion. N=T y =T z =0, M fy =M fz =0, M t 0 II. Définition

6 (S 0 )(S 1 )(S) l l1l1 Essai de torsion Soit une poutre circulaire pleine, parfaitement encastrée en S 0 (section de référence), soumise à lextrémité S 1 à un moment de torsion M t : III. Etude des déformations M0M0 M M1M1 M M 1 MtMt M M G Lexpérience montre que, pour une section et un moment de torsion donnés, on a : :angle de torsion unitaire (rad/mm) : angle total de torsion de (S)/(S 0 ) (rad) l : distance entre (S) et (S 0 ) (mm) On pose :

7 Si M t M A, on est dans le domaine plastique, langle nest plus proportionnel au moment appliqué III. Etude des déformations MtMt MAMA (S 0 )(S 1 )(S) l l1l1 M0M0 M M1M1 M M 1 On appelle, langle MM 0 M. Cet angle représente langle de glissement de (S)/(S 0 ) (ou distorsion). On a :

8 En torsion, les sections du solide sont soumises à une contrainte tangentielle (ou de cisaillement). Nous avons vu (cf. chapitre VI) la relation liant les contraintes et les déformations: III. Etude des déformations M M G On obtient donc: Avec: : la contrainte de cisaillement, G : le module de Coulomb, : angle unitaire de torsion, : distance du point considéré à laxe Gx.

9 On coupe le cylindre en une section (S) et on exprime que la partie isolée est en équilibre sous laction du moment de torsion M t et des forces de cohésion dans la section (S). IV. Etude des contraintes G r dS dS : élément de surface situé à une distance de laxe Gx, soumis à une contrainte de cisaillement Leffort élémentaire de cisaillement dF vaut donc: Léquilibre de lélément isolé sécrit donc: Or : Doù : Comme G. est identique pour chaque dS, on obtient finalement :

10 On sait aussi que : IV. Etude des contraintes max On peut donc exprimer la contrainte de cisaillement en fonction de M t, on obtient: On a donc : La contrainte de cisaillement est donc proportionnelle à la distance / au c.d.g. de la section et est maximale pour = r :

11 V. Dimensionnement V.1 Condition de résistance Le dimensionnement des solides soumis à la torsion pure se fera en limitant la valeur de la contrainte tangentielle à une valeur notée R pg (résistance pratique au glissement = contrainte tangentielle admissible adm ) définie par : On obtient ainsi linéquation (déquarrissage) suivante: Limite élastique au cisaillement Coefficient de sécurité

12 V. Dimensionnement V.2 Condition de déformation On utilise souvent langle limite de torsion pour dimensionner une pièce soumise à la torsion (surtout dans le cas darbres de grande longueur). On obtient ainsi linéquation suivante:

13 VI. Relation entre puissance et moment de torsion Avec : P : puissance en Watts M t : moment de torsion en N.m : vitesse angulaire en rad/s Si la vitesse de rotation est donnée en tours/min, il faut convertir :

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