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1 AMPERES Enseigner de façon dynamique le produit scalaire en première S ?

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Présentation au sujet: "1 AMPERES Enseigner de façon dynamique le produit scalaire en première S ?"— Transcription de la présentation:

1 1 AMPERES Enseigner de façon dynamique le produit scalaire en première S ?

2 2 RECIT dune EXPERIENCE Françoise Barachet LYCEE MONTDORY de THIERS

3 3 OBJECTIF DE LAER Introduire le produit scalaire de façon motivée Introduire le produit scalaire de façon motivée –Ne pas partir d'une des définitions du produit scalaire –Prendre en compte les connaissances antérieures des élèves –Mettre l'accent sur la nécessité de se situer en repère orthonormal

4 4 Premier moment de l'étude En module En module Travail en groupe Travail en groupe

5 5 Première question On sait analytiquement démontrer que deux droites sont parallèles. On sait analytiquement démontrer que deux droites sont parallèles. Quen est-il pour deux droites perpendiculaires?

6 6 Les différentes approches élaborées dans les groupes A1: situation connue où les droites sont perpendiculaires et sécantes à lorigine du repère ( axes des abscisses, bissectrices) A1: situation connue où les droites sont perpendiculaires et sécantes à lorigine du repère ( axes des abscisses, bissectrices) A2: à partir de la formule " aa= -1"(bien que non au programme de seconde mais connu par certains élèves) A2: à partir de la formule " aa= -1"(bien que non au programme de seconde mais connu par certains élèves) A3: directement dans un cas général A3: directement dans un cas général

7 7 Intervention dans les groupes Pour un rappel de la condition de parallélisme Pour un rappel de la condition de parallélisme "xy'-x'y=0 ". "xy'-x'y=0 ". Que représente x, x',y, y'? Que représente x, x',y, y'? (x,y), (x',y') coordonnées de points? (x,y), (x',y') coordonnées de points? de vecteurs? de vecteurs? Choix du repère? Choix du repère?

8 8 Situation A1 repère orthonormé Points A(1,1) et B(-1,1), 1 x ( -1) + 1 x 1 = 0

9 9 Situation A1 Des questions Des questions –"Si on translate les droites (OA) et (OB), quelle relation obtient-on ?" Avec les coordonnées des points Avec les coordonnées des points Avec les coordonnées de vecteurs Avec les coordonnées de vecteurs

10 10 Situation A1

11 11 Situation A1 Questions Questions –"Si on translate les droites (OA) et (OB), quelle relation obtient-on ?" Avec les coordonnées des points Avec les coordonnées des points Avec les coordonnées de vecteurs Avec les coordonnées de vecteurs –"Pourquoi avez-vous choisi votre repère orthonormé?"

12 12 Situation A1

13 13 Situation A1 Questions Questions –"Si on translate les droites (OA) et (OB), quelle relation obtient-on ?" Avec les coordonnées des points Avec les coordonnées des points Avec les coordonnées de vecteurs Avec les coordonnées de vecteurs –"Pourquoi avez-vous choisi votre repère orthonormé?" –Quelle relation obtient-on en prenant un autre point sur chaque bissectrice?

14 14 Situation A1 Prise de conscience d'un travail sur les coordonnées des vecteurs O 1 A 1 et O 1 B 1 égaux aux vecteurs OA et OB par une translation de vecteur u Prise de conscience d'un travail sur les coordonnées des vecteurs O 1 A 1 et O 1 B 1 égaux aux vecteurs OA et OB par une translation de vecteur u vers une généralisation : l'utilisation du théorème de Pythagore est parue naturelle. vers une généralisation : l'utilisation du théorème de Pythagore est parue naturelle.

15 15 Situation A2 Que représente a et a'? Que représente a et a'? Comment le démontrer ? Comment le démontrer ? On revient au théorème de Pythagore On revient au théorème de Pythagore

16 16 Premier bilan Nous avons: Nous avons: D D' D D' OAB triangle rectangle en O OAB triangle rectangle en O AB 2 =OA 2 +OB 2 AB 2 =OA 2 +OB 2 2(x'x+y'y)=0 2(x'x+y'y)=0 x'x+y'y=0 x'x+y'y=0

17 17 Premier Bilan

18 18 Deuxième moment de létude En classe entière Deuxième question On a précédemment 'avec les notations introduites plus haut' prouvé que : On a précédemment 'avec les notations introduites plus haut' prouvé que : D D' xx' + yy' = 0 D D' xx' + yy' = 0 AB² = OA² + OB². AB² = OA² + OB². Que vaut xx' + yy' quand D et D' ne sont pas perpendiculaires? Que vaut xx' + yy' quand D et D' ne sont pas perpendiculaires?

19 19 Deuxième moment de létude Il est naturel de calculer: AB² – OA² – OB² = – 2 xx' – 2 yy' d'où Donc xx' +yy' ne dépend pas du repère choisi

20 20 Deuxième bilan

21 21 Troisième moment de létude En classe entière Troisième Question

22 22 Troisième moment de létude Utilisation d'un repère particulier pour dégager une autre signification et une autre expression du produit scalaire Avec ce repère le calcul donne:

23 23 Bilan intermédiaire: Utilité du produit scalaire 1° pour démontrer par le calcul une orthogonalité; 1° pour démontrer par le calcul une orthogonalité; 2° Pour déterminer un angle, avec la détermination du cosinus 2° Pour déterminer un angle, avec la détermination du cosinus Peut-il servir à autre chose? Peut-il servir à autre chose?

24 24 Le produit scalaire peut-il être d'une autre utilité? Si OA =OB alors on a OA. OA OA. OA =[OA] 2 =OA 2, =[OA] 2 =OA 2, le carré d'une longueur!! On peut donc se demander si le produit scalaire pourrait nous servir pour calculer des longueurs On peut donc se demander si le produit scalaire pourrait nous servir pour calculer des longueurs

25 25 Vers Al-Kashi Soit OAB un triangle et supposons que l'on connaisse OA, OB et l'angle en O. Soit OAB un triangle et supposons que l'on connaisse OA, OB et l'angle en O. Peut-on calculer la longueur AB? Peut-on calculer la longueur AB? On peut penser à calculer le carré de AB avec le produit AB ² On peut penser à calculer le carré de AB avec le produit AB ²

26 26 AB = AO + OB Calcul de AB 2 AB 2 = (AO + OB).(AO + OB) Mais, le produit scalaire est-il distributif par rapport à la somme vectorielle? Mais, le produit scalaire est-il distributif par rapport à la somme vectorielle?

27 27 Ce qui donne une raison d'être des propriétés …. … Pour justifier le théorème de Pythagore généralisé (AL Kashi) AB 2 = OA 2 + OB 2 – 2 OA.OB cos (AOB)


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