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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Vecteurs.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Vecteurs algébriques Vecteurs algébriques

2 La description dun vecteur par ses composantes dans un repère est appelé vecteur algébrique et cest sur cette représentation des vecteurs que nous porterons maintenant notre attention. Dans cette étude, nous considérerons des repères particuliers du plan cartésien et de lespace cartésien. Introduction Létude des combinaisons linéaires de vecteurs géométriques nous a permis de voir quil est possible, dans un repère donné, de caractériser un vecteur par ses composantes. Lorsque le repère est celui dune droite, il suffit dune composante pour caractériser un vecteur de cette droite. Dans un plan de repère connu, un vecteur du plan peut être caractérisé par un couple de composantes. Pour caractériser un vecteur de lespace, il faut trois composantes.

3 On utilise un repère orthonormé dans la construction du plan cartésien ou plan réel que lon désigne également par R 2. En fait, il y a plusieurs repères orthonormés possibles, nous allons en privilégier un. Repère orthonormé DÉFINITION Repère orthonormé dun plan Un repère orthonormé dun plan est un ensemble contenant un point du plan et deux vecteurs de ce plan, unitaires et perpendiculaires entre eux (orthogonaux).

4 Plan cartésien DÉFINITION Plan cartésien Le plan cartésien (ou plan réel) est un plan de repère orthonormé {O, i j, }, où est vertical et orienté vers le haut. i horizontal et orienté vers la droite et est j Tout vecteur du plan peut alors sécrire sous la forme : vi = v1v1 j + v2v2 ou sous la forme : v = (v 1 ; v 2 ). En particulier : ii = 1 j + 0= (1; 0) et ji = 0 j + 1 = (0; 1)

5 Vecteur algébrique DÉFINITION Vecteur algébrique dans R 2 Un vecteur algébrique de R 2 est un couple (v 1 ; v 2 ). Il est représenté dans le plan cartésien par un vecteur dont lorigine coïncide avec lorigine du système daxes et dont lextrémité est le point (v 1 ; v 2 ). un sens défini par langle mesuré dans le sens antihoraire à partir de la direc- tion positive de laxe horizontal. SSS Le vecteur algébrique de R 2 possède les caractéristiques suivantes : une longueur appelée module, notée et définie par v v = v12 v12 + v22v22 une direction définie par langle entre la droite support du vecteur et la partie positive de laxe horizontal, où : = arctan v2v2 v1v1

6 sont égaux (ou équipol- lents) si et seulement si leurs composantes respectives sont égales. Symboliquement : Égalité DÉFINITION Égalité de vecteurs algébriques dans R2R2 Deux vecteurs u = (u 1 ; u 2 ) et v = (v 1 ; v2)v2) u = v u 1 = v 1 et u 2 = v2v2 Nous avons défini de nouveaux objets détudes, les vecteurs algébriques. Il nous faut maintenant définir légalité de tels objets. On peut maintenant avoir recours à légalité pour définir les opérations sur les vecteurs algébriques.

7 Opérations DÉFINITIONS Addition de vecteurs algébriques dans R 2 Le vecteur somme est défini par légalité suivante :, deux vec- teurs algébriques dans R 2. Soit u = (u 1 ; u 2 ) et v = (v 1 ; v 2 ) u= (u 1 ; u 2 ) + (v 1 ; v 2 ) = (u 1 + v 1 ; u 2 + v 2 )v + = (u 1 ; u 2 ), un vecteur algébrique dans R 2 et k un scalaire. Soitu Multiplication dun vecteur algébrique par un scalaire dans R 2 La multiplication du vecteur par le scalaire k donne le vecteur défini par légalité suivante : u= k(u 1 ; u 2 ) = (ku 1 ; ku 2 ) k S

8 1.Fermeture de laddition sur lensemble des vecteurs 2. Commutativité de laddition des vecteurs 3. Associativité de laddition des vecteurs 4.Existence dun élément neutre pour laddition des vecteurs 5.Existence dun élément opposé ( symétrique) pour laddition des vecteurs R 2, lensemble des vecteurs algébriques, et pour tout scalaire p et q R, les propriétés suivantes sappliquent : Pour tout vecteur u,u,vetw R 2 u+v = u+v v+u = u( + ) +vu+ ( + )vww Il existe, dans R 2, un vecteur nul, noté 0, tel que : Pour tout vecteur R 2, il existe, dans R 2, un vecteur opposé, noté – u u tel que : u+ (– ) = (– ) + =0uuu = u+u+00 = u Propriétés des opérations

9 6.Fermeture de la multiplication par un scalaire sur lensemble des vecteurs 7.Distributivité de la multiplication dun vecteur sur une somme de scalaires 8.Distributivité de la multiplication par un scalaire sur une somme de vecteurs 9.Associativité de la multiplication dun vecteur avec le produit de scalaires 10.Élément neutre pour la multiplication dun vecteur par un scalaire p R 2 u R 2, lensemble des vecteurs algébriques, et pour tout scalaire p et q R, les propriétés suivantes sappliquent : Pour tout vecteur u,u,vetw (p + q) = p + quuu (pq) = p (q ) u u 1 =uu p( + ) = p + p uuvv Propriétés des opérations

10 Représenter graphiquement les vecteurs u v = (6; 4) et= (1; –2) 1212 w Déterminer les composantes, le module et le sens du vecteur : = u + 3 v w (–4) 2 = arctan –4 6 = –33,69° Puisque le vecteur est dans le quatrième quadrant, on a : = 360° – 33,69° = 326,31° = En effectuant les opérations de multiplication par un scalaire et daddition des vecteurs, on obtient : = 7,211… 7,2 Le module est : Langle est : Les composantes sont 6 et –4. S w= 1212 u + 3 v = 1212 (6; 4) + 3(1; –2) = (3; 2) + (3; –6) = (6; –4) Exemple 8.1.2

11 Représenter graphiquement les vecteurs u v w = (2; 3) et= (2; 1) Déterminer les composantes, le module et le sens du vecteur : = 2 u – 3 v w (–2) = arctan 3 –2 = –56,31° Puisque le vecteur est dans le deuxième quadrant, on a : = + 180° = – 56,31° + 180° = 123,69° = En effectuant les opérations, on obtient : = 3,60555… 3,61Le module est : Langle est : w = 2 u – 3 v = 2(2; 3) – 3(2; 1) = (4; 6) + (–6; –3) = (–2; 3) Les composantes sont –2 et 3. S Exercice

12 Pour définir un vecteur géométrique de R 2, il suffit de donner son origine et son extrémité. Ainsi, le vecteur dont lorigine est le point (5; 3) et lextrémité le point (–2; 9) est entièrement défini. On remarque que, à chaque vecteur géométrique dont lorigine est au point (0; 0), on associe un vecteur algébrique qui est défini en ne donnant que les coordonnées du point à son extrémité. Ainsi, au vecteur géométrique OA = (5; 3). On dit que ce vecteur algébrique est le vecteur position du point A. OA, on associe le vecteur algébrique Localisation dun vecteur géométrique

13 DÉFINITION Translation dun vecteur La translation dun vecteur géométrique libre dans un repère est un déplacement qui conserve les caractéristiques du vecteur (module, direction et sens). Tout vecteur géométrique de R2 R2 peut être translaté de telle sorte que son origine coïncide avec lorigine du système daxes; on peut alors associer un vecteur algébrique au vecteur géométrique translaté. Pour translater un vecteur à lorigine, on peut utiliser la relation de Chasles. Rappelons ce théorème. Pour tout point A, B et X du plan ou de lespace, légalité : THÉORÈME Relation de Chasles est vérifiée. AXXBAB + = Translation dun vecteur

14 Considérons le vecteur dont lorigine est le point A(a 1 ; a 2 ) et dont lextrémité est le point B(b 1 ; b 2 ). Translation dun vecteur AOOBAB + = Considérons de plus le point O(0; 0). Par la relation de Chasles, on peut écrire que : Doù : OAOBAB += – OBOA –= Le vecteur géométrique translaté à lorigine est alors : ABOBOA –= En considérant les vecteurs positions OB= (b 1 ; b 2 ) etOA= (a 1 ; a 2 ), on a alors : AB = (b1; (b1; b 2 ) – (a1; (a1; a 2 ) = (b1 (b1 – a 1 ; b2 b2 – a 2 ). Le vecteur géométrique obtenu est un vecteur dont lorigine est le point O(0; 0) et lextrémité le point (b 1 – a 1 ; b 2 – a 2 ). On peut donc lui associer un vecteur algébrique. Nous le noterons : AB = (b1 (b1 – a 1 ; b2 b2 – a2)a2)

15 DÉFINITION Composantes dun vecteur dans R 2 AB x Considérons dans un système daxes un vecteur géométrique dont lorigine est le point A(a 1 ; a 2 ) et lextrémité le point B(b 1 ; b 2 ). AB On appelle projections orthogonales du vecteur les vecteurs obtenus en proje- tant le vecteur perpendiculairement sur les axes. AB La longueur dirigée de la projection horizontale, Ces longueurs dirigées sont les composantes algébriques du vecteur., est b 1 – a 1, AB y celle de la projection verticale,, est b 2 – a 2. Composantes dun vecteur dans R 2

16 (–7) = arctan 6 –7 = –40,6° Puisque le vecteur est dans le deuxième quadrant, on a : = + 180° = –40,6° + 180° = 139,4° = Puisque 85 = 9,219… 9,22 Le module est : Langle est : Les composantes sont –7 et 6. S Trouver les composantes du vecteur où A(5; 3) et B(–2; 9). À laide des com- posantes, déterminer les caractéristiques du vecteur. AB, Par la relation de Chasles, on a : OBOAAB – = OB = (–2; 9) – (5; 3) = (–7; 6) = (a; b)b) OA = (5; 3), on a : OBOA AB –= = = (–2; 9) et AB Exemple 8.1.3

17 (–7) 2 + (–5) 2 = arctan –5 –7 = 35,54° Puisque le vecteur est dans le troisième quadrant, on a : = + 180° = 35,54° + 180° = 215,54° = Puisque 74 = 8,6023… 8,60 Le module est : Langle est : Les composantes sont –7 et –5. S Trouver les composantes du vecteur où A(4; 7) et B(–3; 2). À laide des com- posantes, déterminer les caractéristiques du vecteur. AB, Par la relation de Chasles, on a : OBOAAB – = OB = (–3; 2) – (4; 7) = (–7; –5) = (a; b)b) OA = (4; 7), on a : OBOA AB –= = = (–3; 2) et AB Exercice

18 Lespace cartésien est un espace de repère orthonormé {O, Espace cartésien DÉFINITION Espace cartésien ij, }. Les vecteurs du repère sont orientés comme dans lillustration ci-contre. Tout vecteur de lespace peut alors sécrire sous lune des formes suivantes : ui = u1u1 j + u2u2 ou u= (u 1 ; u 2 ; u 3 ). En particulier : ii = 1 j + 0 = (1; 0; 0) ji = 0 j + 1 = (0; 1; 0), k k + u3u3 et ki = 0 j + 0 = (0; 0; 1) k + 0 k + 0 k + 1

19 On désigne par R 3 lespace tridi- mensionnel dans lequel chaque point est caractérisé par trois coordonnées qui forment un triplet. Les axes sont désignés par x, y et z et représentés comme dans lillustration ci-contre. Pour représenter un triplet dans cet espace, on procède comme dans R 2, en reportant perpendiculairement les coordonnées sur les axes. Espace R 3 Représentons les triplets (3; –4; 4) et (–4; 3; 4). On peut, tout comme dans R 2, considérer un vecteur dont lorigine est un point A et lextrémité un point B, et déterminer un vecteur algébrique égal dont lorigine est au point (0; 0; 0). Dans R 3, un vecteur algébrique est un triplet de la forme : u = (u 1 ; u 2 ; u 3 ) Il est caractérisé par les coordonnées du point à son extrémité.

20 Vecteur algébrique dans R 3 DÉFINITION Vecteur algébrique dans R3R3 Un vecteur algébrique de R 3 est un triplet (u 1 ; u 2 ; u 3 ), où les com- posantes sont toutes des nombres réels, ce que lon note u i R pour tout i. Le vecteur algébrique de R3 R3 est représenté par une flèche dont lorigine coïncide avec lorigine du système daxes et dont lextrémité est le point (u 1 ; u 2 ; u 3 ). Pour définir la direction, il nest pas suffisant de préciser langle que le vecteur fait avec laxe des x;x; il faut donner les angles que le vecteur fait avec chacun des axes. Remarque

21 S, un vecteur algébrique de R 3. Son module (ou sa norme) est : Module dun vecteur algébrique de R 3 Le module du vecteur est obtenu par une généralisation du théorème de Pythagore. En effet, daprès la figure ci-contre, on a : u = OP 2 OR 2 + u 3 2 = (u u 2 2 ) + u 3 2 On a donc : OP = u u u 3 2 Cela donne le théorème suivant : u= (u 1 ; u 2 ; u 3 ) THÉORÈME Module dun vecteur algébrique dans R3R3 Soit = u u u 3 2

22 Angles directeurs Les angles directeurs dun vecteur algébrique de R 3 sont les angles notés (alpha), (bêta) et (gamma), que le vecteur fait avec les axes orientés x, y et z respectivement : u oùest le module du vecteur. Les cosinus directeurs satisfont donc à la relation suivante : cos 2 + cos 2 cos 2 cos = u1u1 u cos = u2u2 u cos = u3u3 u, et On a alors :

23 sont égaux (ou équipollents) si et seulement si leurs composantes respectives sont égales. Symboliquement : Égalité de vecteurs algébriques de R 3 DÉFINITION Égalité de vecteurs algébriques dans R3R3 Deux vecteurs de R3,R3, u= (u 1 ; u 2 ; u 3 ) et v= (v 1 ; v 2 ; v 3 ) u = v u 1 = v 1, u 2 = v 2 et u 3 = v 3 La définition de légalité sur les vecteurs algébriques de R 3 est une simple généralisation de légalité dans R 2. Il en est de même pour laddition et la multiplication par un scalaire. Ces opérations ont les mêmes propriétés que les opérations dans R 2.

24 S deux vecteurs algébriques dans R3.R3. Opérations dans R 3 DÉFINITION Addition de vecteurs algébriques dans R3R3 Soit Le vecteur somme est défini par légalité suivante : u= (u 1 ; u 2 ; u 3 ) etv = (v 1 ; v 2 ; v 3 ), u= (u 1 ; u 2 ; u 3 ) + (v 1 ; v 2 ; v 3 ) = (u 1 + v 1 ; u 2 + v 2 ; u 3 + v 3 )v + = (u 1 ; u 2 ; u 3 ) un vecteur algébrique dans R 3 et k un scalaire. Soit u Multiplication dun vecteur algébrique par un scalaire dans R3R3 La multiplication du vecteur par le scalaire k donne le vecteur défini par légalité suivante : u= k(u 1 ; u 2 ; u 3 ) = (ku 1 ; ku 2 ; ku 3 ) k DÉFINITION

25 On dit que des vecteurs sont colinéaires si et seulement si, ramenés à une origine commune, ils ont la même droite support. Vecteurs colinéaires DÉFINITION Vecteurs colinéaires Deux vecteurs algébriques dans R 3, THÉORÈME Vecteurs colinéaires sont colinéaires si et seulement si : u= (u 1 ; u 2 ; u 3 ) etv= (v 1 ; v 2 ; v 3 ), u1u1 v1v1 u2u2 v2v2 u3u3 v3v3 === k Rappelons la définition de vecteurs colinéaires avant de voir un critère algébrique pour déterminer si deux vecteurs de R 3 le sont. Deux vecteurs algébriques sont colinéaires si et seulement si il existe un scalaire k tel que : (u 1 ; u 2 ; u 3 ) = k (v 1 ; v 2 ; v 3 ), doù lon tire :

26 1 Cela donne : =41 b) On trouve : et cos = S a)Déterminer = Soit u= (2; –4; 6) etv = (–1; 2; 0). b)Calculer le cosinus des angles que le vecteur somme fait avec les axes et vérifier que : c)Calculer ces angles. cos 2 + cos 2 cos 2 u + v = (2; –4; 6) + (–1; 2; 0) = (1; –2; 6) w w (–2) , –2 cos = 41, 6 cos = 41 a)a) cos 2 + cos 2 cos = 1 et = arccos –2 41 = 20,44° c)c) = arccos 1 41 = 81,02°, = arccos –2 41 = 108,20°, la somme des vecteurs. S S Exemple 8.1.6

27 8 Cela donne : = 114 b) On trouve : et cos = S a)a)Déterminer = Soit u= (3; 5; –3) etv = (5; 2; 4). b)Calculer le cosinus des angles que le vecteur somme fait avec les axes et vérifier que : c)Calculer ces angles. cos 2 + cos 2 cos 2 u + v = (3; 5; –3) + (5; 2; 4) = (8; 7; 1) w w , 7 cos = 114, 1 cos = 114 a)a) cos 2 + cos 2 cos = 1 et = arccos = 84,63° c)c) = arccos = 41,47°, = arccos = 49,03°, la somme des vecteurs. S S Exercice

28 Trouver les caractéristiques de (–5) (–3) 2 = Puisque 83 9,11 Le module est : S où A(2; –3; 5) et B(–3; 4; 2). AB, Par la relation de Chasles, on a : OBOAAB – = OB = (–3; 4; 2)– (2; –3; 5) OA = (2; –3; 5), OBOA AB –= = = (–3; 4; 2) et AB –5 et cos = 83, 7 cos = 83, –3 cos = 83 = (–5; 7; –3) = (a; b; c)c) et = arccos –3 83 = 109,23° = arccos –5 83 = 123,29°, = arccos 83 = 39,79° 7 Exemple 8.1.7

29 Trouver les caractéristiques de (–8) = Puisque ,85 Le module est : S où A(7; –6; 2) et B(–1; 4; 3). AB, Par la relation de Chasles, on a : OBOAAB – = OB = (–1; 4; 3) – (7; –6; 2) OA= (7; –6; 2), OBOA AB –= = = (–1; 4; 3) et AB –8 et cos = 165, 10 cos = 165, 1 cos = 165 = (–8; 10; 1) = (a; b; c) et = arccos = 85,54° = arccos –8 165 = 128,52°, = arccos 165 = 38,88° 10 Exercice

30 Vecteur algébrique dans R n DÉFINITION Vecteur algébrique dans R n Un vecteur algébrique de R n est une suite (u 1 ; u 2 ; …; u n ), où les composantes sont toutes des nombres réels, ce que lon note u i R pour tout i. u Le module ( ou la norme) du vecteur algébrique de R n est : = u u … + u n 2 On ne peut donner de représentation géométrique dun vecteur algébrique de R n. Cependant, tout phénomène comportant n variables se traite avec des vecteurs de R n.

31 sont égaux (ou équipollents) si et seulement si leurs composantes respectives sont égales. Symboliquement : Égalité de vecteurs algébriques de R n DÉFINITION Égalité de vecteurs algébriques dans R n Deux vecteurs de Rn,Rn, u = (u 1 ; u 2 ; ….; u n ) et v = (v 1 ; v 2 ; …; vn)vn) u = v u 1 = v 1, u 2 = v 2, … et un un = vnvn La définition de légalité sur les vecteurs algébriques de R n est une simple généralisation de légalité dans R 2 et dans R 3. Il en est de même pour laddition et la multiplication par un scalaire. Ces opérations ont les mêmes propriétés que les opérations dans R 2 et dans R 3.

32 S deux vecteurs algé- briques dans Rn.Rn. Opérations dans R n DÉFINITION Addition de vecteurs algébriques dans R n Soit Le vecteur somme est défini par légalité suivante : u = (u 1 ; u 2 ; …; u n ) et v = (v 1 ; v 2 ; …; v n ), u = (u 1 ; u 2 ; …; u n ) + (v 1 ; v 2 ; …; vn)vn) = (u 1 + v 1 ; u 2 + v 2 ; …; u n + vn)vn) v + = (u 1 ; u 2 ;…; u n ) un vecteur algébrique dans Rn Rn et k un scalaire. Soit u Multiplication dun vecteur algébrique par un scalaire dans R n La multiplication du vecteur par le scalaire k donne le vecteur défini par légalité suivante : u = k(u 1 ; u 2 ; …; u n ) = (ku 1 ; ku 2 ; …; ku n )k DÉFINITION

33 Conclusion Nous avons défini de nouveaux objets détude, les vecteurs algébriques. Nous avons déterminé à quelles conditions deux vecteurs algébriques sont égaux et défini deux opérations sur ces vecteurs : laddition et la multiplication par un scalaire. Nous avons également présenté les propriétés des opérations dont nous nous sommes servies pour manipuler des expressions algébriques comportant des vecteurs. On remarque que les propriétés de ces deux opérations sont les mêmes que celles des opérations daddition et de multiplication par un scalaire dans lensemble des matrices et dans lensemble des vecteurs géométriques.

34 Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 6.2, p. 16, no 1 à 18. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences humaines, Section 6.2, p. 159 et 160. Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 6.1, p. 147 à 157. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences humaines, Section 6.1, p. 147 à 158


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