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Chapitre 5 Volumes de solides de révolution Objectifs Être capable dutiliser lintégrale définie afin de calculer Un volume de solides de révolution : Méthode.

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1 Chapitre 5 Volumes de solides de révolution Objectifs Être capable dutiliser lintégrale définie afin de calculer Un volume de solides de révolution : Méthode des disques Méthode des beignes ou anneaux Méthode des tubes

2 2 3.1Volume dun solide de révolution Définition dun solide de révolution Solide engendré par la rotation dune région plane autour dun axe de révolution. Volume à visualiserVolume à visualiser Méthode Observation représentation de la région, de laxe de révolution et dun rectangle type. Ce rectangle type engendrera un disque, un tube ou un anneau (beigne) selon sa disposition par rapport à laxe de révolution. Le volume de chaque disque, tube ou anneau type donne une approximation du volume dune portion du solide de révolution. Mathématisation Calcul dun volume élémentaire ΔV i. Calcul de lélément différentiel dV. Calculs Recherche des bornes dintégration Calcul du volume en utilisant le théorème fondamental du calcul.

3 3 3.2Méthode des disques Introduction Laxe de révolution est une frontière de la région plane. La longueur du rectangle type est perpendiculaire à laxe de révolution et elle correspond au rayon du disque Méthode dans le cas Observation r i =distance entre la courbe et laxe de rotation ΔE= épaisseur = (Δx ou Δy) Mathématisation Comme ΔV i = π ·r i 2 · ΔE alors dV= π ·r 2 ·dE Calculs: x f ab f(ci)f(ci) cici ΔEΔE x ab riri ΔEΔE r

4 4 Exemple Soit la rotation autour de laxe des x de la surface bornée par: x f 1 3 f(ci)f(ci) cici ΔxΔx r

5 5 Méthode des tubes h R E Les rectangles sont parallèles à laxe de rotation La révolution du rectangle autour de laxe de rotation génère alors un tube R E h

6 6 Volume du solide h R E où R:rayon du tube (distance entre le rectangle et laxe de rotation) h: hauteur du tube (hauteur du rectangle) dE:élément différentiel dépaisseur du tube (dx ou dy)

7 7 dE RH Soit la rotation autour de laxe des y de la surface bornée par: Exemple


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