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BILAN THERMIQUE Conduction dans les solides MISE EN EQUATION DU BILAN THERMIQUE SOMMAIRE Introduction Mise en équation du bilan thermique Cas simple du.

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1 BILAN THERMIQUE Conduction dans les solides MISE EN EQUATION DU BILAN THERMIQUE SOMMAIRE Introduction Mise en équation du bilan thermique Cas simple du système cartésien monodimensionnel = cas du mur Coordonnées cylindriques à symétrie axiale Cas simple des coordonnées cylindriques à symétrie axiale avec L >> R Cas simple des coordonnées sphériques à symétrie centrale 3 PAGES Denis BARRETEAU Jean - Stéphane CONDORET Nadine LE BOLAY 13 2 RETOUR SOMMAIRE GENERAL

2 2 Introduction INTRODUCTION Retour sommaire Chaque terme du bilan sera explicité, puis nous nous intéresserons à des cas simples, comme un volume plan ou un volume cylindrique. Dans ce chapitre, nous allons établir léquation de conservation de lénergie thermique par bilan sur un élément de volume.

3 = accumulation d'énergie interne 3 Mise en équation MISE EN EQUATION DU BILAN THERMIQUE Retour sommaire V flux de chaleur entrant P Ecrivons la conservation de l'énergie thermique dans un élément de volume de solide quelconque V + flux de chaleur générée - flux de chaleur sortant

4 4 Retour sommaire V P dS On définit le vecteur normal unitaire orienté vers l'extérieur flux de chaleur entrant - flux de chaleur sortant = flux de chaleur à travers la surface est la densité de flux thermique Remarque : Le signe moins est dû au fait que la normale est dirigée vers l'extérieur et que, par convention, tout ce qui entre dans le volume V est compté positivement. Alors : La chaleur entre dans lélément et en sort par conduction.

5 5 Retour sommaire flux de chaleur générée = P est la puissance générée (au sens large) par unité de volume en J.s -1.m - 3. Elle peut être générée dans lélément par dégradation dénergie électrique (effet joule), par fission ou comme le résultat dune réaction chimique. Il est compté positivement si il génère de l'énergie, et négativement si il en consomme. V P

6 6 Retour sommaire accumulation d'énergie interne = Si U représente l'énergie interne par unité de masse Dans le cas d'un solide, l'énergie interne par unité de masse U s'écrit : V P

7 7 Retour sommaire flux de chaleur entrant + flux de chaleur générée - flux de chaleur sortant = accumulation d'énergie interne En transformant l'intégrale de surface en intégrale de volume (théorème de GREEN-OSTROGRADSKI) et en revenant à l'élément différentiel, on écrit alors : devient alors : démonstration Le bilan de conservation de l'énergie thermique V P

8 8 Retour sommaire est la densité de flux thermique, par conduction dans le cas de solides qui s'exprime par la loi de Fourier : Dans l'équation générale que nous venons de démontrer V P

9 9 Retour sommaire Ces équations seront écrites dans les configurations géométriques habituelles, en utilisant les expressions des div et grad adaptées. Dans le cas dun système cartésien tridimensionnel dz dx dy z y x les équations ci-dessus conduisent à :

10 10 Cas du mur Retour sommaire 0 x seule la variable x intervient. Il reste : Dans léquation générale Considérons le mur représenté ci-dessous CAS SIMPLE DU SYSTEME CARTESIEN MONODIMENSIONNEL = CAS DU MUR

11 11 Cylindre Retour sommaire Léquation générale sécrit dans ce cas : COORDONNEES CYLINDRIQUES A SYMETRIE AXIALE

12 L >> R CAS SIMPLE DES COORDONNEES CYLINDRIQUES A SYMETRIE AXIALE AVEC L >> R 12 Retour sommaire la variable z n'intervient plus. On a donc : L R Dans léquation générale

13 13 sphère Retour sommaire r Léquation générale sécrit dans ce cas : Les résultats présentés précédemment ont été obtenus d'une manière purement mathématique, certes élégante, mais peut être difficile à raccrocher au sens physique. Vous trouverez sous ce lien une démonstration par bilan direct sur un élément différentiel (ici le cas cylindrique). On retrouve les résultats de l'équation générale, après adaptation et simplification, mais on visualise mieux la démarche. démonstration FIN CHAPITRE CAS SIMPLE DES COORDONNEES SPHERIQUES A SYMETRIE CENTRALE


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